第2章 有理数的运算（复习课件）数学浙教版2024七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了有理数的加减乘除乘方运算法则、运算律、混合运算顺序及科学记数法、近似数等核心知识，通过单元知识图谱将各知识点逻辑串联，构建完整的有理数运算知识网络。 其特色在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”模式，如青蛙爬井问题培养数学建模意识，新定义运算题提升推理能力，错题纠错强化运算能力，分层练习满足不同学生需求，助力教师高效备课，帮助学生巩固知识并发展数学思维。

单元复习课件 第二章 有理数的运算 浙教版2024·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 掌握有理数加法、减法、乘法、除法、乘方的运算法则，能准确判断运算结果的符号，正确计算绝对值，熟练完成有理数运算；在解决实际问题时，将实际情境转化为有理数运算模型，培养数学建模与应用能力。 3. 灵活运用运算律以及混合运算顺序，掌握带单位或科学记数法的近似数精确位数。 2. 掌握有理数运算的核心法则以及混合运算顺序，熟练应用运算律解决问题。 单元学习目标 单元知识图谱 知识点一：有理数的加法 (一)加法法则： 1.同号两数相加，和取_____的符号，并把 _____ 相加. 2.异号两数相加，绝对值相等时，和为_____；绝对值不相等时，和 取_________________的加数的符号，并用 _________________减去 _________________. 相同 绝对值 0 绝对值较大的加数 较大的绝对值 较小的绝对值 核心：先确定符号，再计算绝对值 考点串讲 知识点一：有理数的加法 3.一个数同0相加，仍得_____. 4.加法运算律： ①加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。 即____________； ②加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 即__________________ . a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 0 考点串讲 知识点二：有理数的减法 1．减一个数，等于加上这个数的________，即a-b=a+________． 2．有理数的加减混合运算可以统一成________运算． 3. 减法的性质： . 相反数 （-b） 加法 (二)减法法则： 注意：减法是加法的逆运算 a−b−c=a−(b+c) 考点串讲 知识点三：有理数的乘法 （三）乘法法则 1．两数相乘，同号得____，异号得____，并把绝对值________． 2．任何数与0相乘，积仍为________． 3．多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为 ；负因数的个数是奇数时，积为 。 4.多个数相乘，若其中有因数0，则积等于 ；反之，若积为0，则至少有一个因数是 。 正 负 相乘 0 正数 负数 0 0 口诀：奇负偶正 考点串讲 知识点三：有理数的乘法 5．乘法运算律： （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。 （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两数相乘，或先把后两数相乘，积相等。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加. ab=ba (ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac 考点串讲 知识点四：有理数的除法 （四）除法法则 1．两数相除，同号得____，异号得_____，并把绝对值________． 2．0除以任何非0的数都得________． 注意：_______不能作除数． 3．除以一个数等于乘这个数的________， 即a÷b=________（b≠0）． 正 负 相除 0 0 倒数 a× 考点串讲 知识点五：有理数的乘方 指数 底数 幂 1．求n个相同因数a的______的运算叫乘方，记作，a是_______，n是________，乘方的结果叫作________． 2．正数的任何次幂都是________，负数的奇次幂是________，负数的偶次幂是________，0的任何正整数次幂都是________． 3．一个数的偶次幂是________数． 积 底数 指数 幂 正数 负数 正数 0 非负 考点串讲 知识点六：有理数的混合运算顺序 （1）先 ，再 ，最后 。 （2）同级运算，从 到 的顺序进行。 （3）如有括号，先算 的运算，按 ， ， 依次进行。 （4）在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定 ，再求 。 乘方 乘除 加减 右 括号内 小括号 中括号 大括号 左 符号 值 考点串讲 知识点七：科学计数法 1．一个大于10的数可以表示成________，其中1≤a<10的形式，n是________，这种记数方法叫科学记数法． 2．a与n的取法 在a×10n形式中，n的值是_____________________________，a则是______________________得来的． a×10n 正整数 原数整数位数减1 将原数保留一位整数 考点串讲 知识点八：近似数 1．近似数是指与________相近的一个数． 2．近似数与准确数的接近程度，可以用________表示． 3．为了得到所需精确度的近似数，常采用____________． 准确数 精确度 四舍五入法 考点串讲 题型一、有理数的加法 例1 计算： （1）(－4)＋(－19)； （2）(－13)＋0； （3）15＋(－9)； （4）(－4.7)＋3.9； （5）(－)＋(＋). 解：（1）(－4) ＋(－19) ＝ 同号两数相加 － ( 4＋19 ) ＝－23； 取相同符号 把绝对值相加 题型剖析 题型一、有理数的加法 例1 计算： （1）(－4)＋(－19)； （2）(－13)＋0； （3）15＋(－9)； （4）(－4.7)＋3.9； （5）(－)＋(＋). 解：（2） (－13)＋0 ＝ －13; 一个数与0相加，仍得这个数. 题型剖析 题型一、有理数的加法 例1 计算： （1）(－4)＋(－19)； （2）(－13)＋0； （3）15＋(－9)； （4）(－4.7)＋3.9； （5）(－)＋(＋). 解：（3）15＋(－9)＝ ( 15 － 9 ) + ＝ ﹢6； 异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号 用较大的绝对值减较小的绝对值 题型剖析 题型一、有理数的加法 例1 计算： （1）(－4)＋(－19)； （2）(－13)＋0； （3）15＋(－9)； （4）(－4.7)＋3.9； （5）(－)＋(＋). 解：（4） (－4.7)+3.9= － (4.7－3.9) = －0.8; 异号两数相加 取绝对值较大的加数的符号 用较大的绝对值减较小的绝对值 题型剖析 题型一、有理数的加法 例1 计算： （1）(－4)＋(－19)； （2）(－13)＋0； （3）15＋(－9)； （4）(－4.7)＋3.9； （5）(－)＋(＋). 解：（5） (-) ＋ (＋) = 0. 互为相反数的两个数相加得 0. 【小结】在运算过程中，“先定和的符号，再算和的绝对值”，是一种有效的方法。 题型剖析 题型一、有理数的加法 有理数加法的运算步骤 1.先判断加法的类型(同号、异号); 2.再确定和的符号; 3.最后计算和的绝对值. 题型剖析 题型一、有理数的加法 例2 若|m|＝3，|n|＝4，且m>n，则m＋n的值是__________ ． －1或－7 例3 用“＞”、“＝”、“＜”填空 (1)若a＜0，b＜0，则a＋b____0 (2)若a＞0，b＞0，则a＋b____0 (3)若a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则a＋b____0 (4)若a＜0，b＞0，|a|＝|b|，则a＋b____0 ＜ ＞ ＜ ＝ 题型剖析 题型一、有理数的加法 解： 原式＝(16+24)+[(－25)+(－35)] ＝40+(－60) ＝－20. 例4 计算：16+(－25)+24+(－35). 解： 原式＝ ［ (－2) +2 ］+［ 3+(－3) ］+［ 1+(－4)］ ＝ 1 ＋(－4) ＝ －3 (－2) ＋ 3 ＋ 1 ＋ (－3) ＋ 2 ＋ (－4); 题型剖析 题型一、有理数的加法 应用加法运算律简化运算的技巧： (1)互为相反数的先相加； (2)能凑成整数的先相加； (3)符号相同的先相加； (4)分母相同的先相加； (5)同类的(整数和整数、小数和小数)先相加． 题型剖析 题型二、有理数的减法 例5 计算： （1） 6－9=________; （2） (＋4)－(－7) =________; （3）(－5)－(－8) =________; （4） 0 －(－5) =________; （5）0－0.2 =________; （6）(－2.5)－5.9 =________; （7） 1.9 －(－0.6) =______; （8）() =________; （9） ()() =________; （10）（－1）－0=________. －3 11 3 5 －0.2 －8.4 2.5 － －1 【小结】含“0”的有理数的减法 (1)0 减去任何数都等于这个数的相反数；(2)任何数减去 0，仍得这个数. 题型剖析 题型三、有理数的加减混合运算 解：设青蛙每次的爬行过程（上爬为正，下滑为负）， 以井口为基准，以井底为起点（记为－3.5米）， 青蛙每次爬行后距离地面的位置可表示为： －3.5＋0.7－0.1＋0.42－0.15＋1.25－0.2＋0.75－0.1+0.65=－0.28米， 即青蛙仍在地面下方 0.28 米处，未爬出井. 例6 一口深3.5米的深井，一只青蛙从井底沿井壁往上爬，第一次爬了0.7米又下滑了0.1米，第二次往上爬了0.42米又下滑了0.15米，第三次往上爬了1.25米又下滑了0.2米，第四次往上爬了0.75米又下滑了0.1米，第五次往上爬了0.65米. 请问小青蛙爬出井了吗？ 题型剖析 题型四、有理数的乘法 例7　计算： (1)8×(－1); (2) ; (3) . 解：(1) 8×(－1) =－(8×1) =－8; (2) = +(×2) =1; (3) = +(×) = . 一个数同(1)相乘，得原数的相反数. 我们说 和 2 互为倒数. 一般地，在有理数中仍然有： 乘积是1的两个数互为倒数. 【小结】有理数乘法的步骤：①确定积的符号；②确定积的绝对值． 题型剖析 题型四、有理数的乘法 计算： （4）(－85)×(－25)×(－4) 解： 原式=(－85)×[(－25)×(－4)] = －85×100 = －8500 （5）(－)×15×(－1) =(－)×(－)×15 =1×15 =15 解： 原式=(－)×15×(－) 题型剖析 题型四、有理数的乘法 (6) ×30 (7) 解：原式= 30－ 30 =27－2 =25. 解： 原式= = ×5 =6. 题型剖析 题型五、有理数的除法 例8　已知a, b满足ab＜0，求 + 的值. 解：∵ab＜0， ∴a、b异号， 当a＞0，b＜0时， + = + = 1 + (－1) = 0， 当a＜0，b＞0时， + = + = (－1) + 1 = 0， ∴ + 的值为 0 . 【小结】当a＞0时， = =1 ；当a＜0时， = = －1. 题型剖析 题型六、有理数的实际问题 例9　某公司去年1月——3月平均每月亏损1.5万元，4月——6月平均每月盈利32万元，7月——10月平均每月盈利21.7 万元，11月——12月平均每月亏损2.3万元.这个公司去年总的盈亏情况如何? 分析：记盈利额为正数，亏损额为负数，先列式 答：这个公司去年全年盈利173.7万元. 题型剖析 题型七、有理数的乘方 例10　下列各组数中，运算结果相等的是(　　) A．(－7)3与－73      B．23与32 C．－22与(－2)2     D．与 A -343 -343 8 -9 -4 4 题型剖析 题型七、有理数的乘方 例11 观察下列算式： 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，， 根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 C 分析：由已知算式可知：末位数字以2、4、8、6四个数字为一组循环出现； 故用指数20除以4，余数是几，个位数字就和第几个数字相同，没有余数就和第四个数字相同，由此解答即可. 题型剖析 题型八、科学记数法 例12 共青团中央2025年5月3日发布数据显示，截至2024年12月底，全国共有共青团员7531.8万名，共青团组织439.7万个，2024年共发展团员641.7万名．数据“641.7万”用科学记数法表示为（　　） A．641.7×104 B．0.6417×107 C．6.417×106 D．6.417×108 D 注意：1万＝104，1亿＝108. 题型剖析 题型八、科学记数法 例13　比较下列各组数的大小：(填“＞”“＜”或“＝”) (1)9.53×1010________1.02×1011；　　　 (2)－2.7×106________－3.2×106. ＜ ＞ 【小结】对于正数，若指数不同，指数大的数更大； 若指数相同，则比较前面的系数，系数大的数更大； 对于负数，指数相同的情况下，系数的绝对值大的数反而小. 题型剖析 题型九、近似数 例14 下面的近似数各精确到哪一位？ （1）1.585 （2）1.0025 （3）5.93 （4）3 （5）33 （6）33.0 （7）3.0×102 （8）1.00253×103 （9）5.14万 千分位 万分位 百分位 个位 个位 十分位 十位 1.00253×103=1002.53 百分位 5.14万=51400 百位 【小结】利用四舍五入法得到的近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位． 3.0×102=300 题型剖析 题型九、近似数 例15 用四舍五入法，按括号内的要求对下列各数取近似值． （1）0.0012（精确到千分位） （2）12.5（精确到个位） （3）12.101（精确到0.01） （4）12.1002（精确到0.001） 按要求取近似值的要点： （1）先找到要精确的数位，对后一个数位进行四舍五入； （2）注意数字末尾是0，不能去掉. 对2四舍五入 对5四舍五入 对1四舍五入 对2四舍五入 题型剖析 1.规定上升为正，下潜为负．已知海平面的高度为 0 m，一艘潜艇从海平面先下潜 40 m，再上升 15 m，则用算式表示现在这艘潜艇相对于海平面的位置为____________________. (－40)＋15＝－25(m) 2．计算(－26)＋35＋16＋(－15)的结果是(　　) A．－10 B．10 C．40 D．62 B 针对训练 3．下列变形中，运算律运用正确的是(　　) A．5＋(－3)＝3＋5     B．8＋(－5)＋9＝(－5)＋8＋9 C．[6＋(－3)]＋5＝[6＋(－5)]＋3     D．＋(－2)＋(＋)＝()＋(＋2) B 针对训练 4.数a，b在数轴上表示的点如图所示，则 （1）a + b _____ a； （2）a + (－b)_____ a； （3） b+a _____ 0； （4）b+ (－a) _____0. (填“>”“<”或“=”) ＞ ＜ ＞ ＞ 针对训练 5. 某出租车一天下午以广州塔为出发地在东西方向营运，规定向东为正，向西为负，其行车里程(单位：km)依次记录如下：＋9，＋4，－7，＋5，－8，＋6，－3，－6，－4，＋10. 将最后一名乘客送到目的地时，该出租车在广州塔的什么方向？离广州塔多远？ 解：(＋9)＋(＋4)＋(－7)＋(＋5)＋(－8)＋(＋6)＋(－3)＋(－6)＋(－4)＋(＋10)＝6(km). 答：将最后一名乘客送到目的地时，该出租车在广州塔的东边，离广州塔6 km. 针对训练 6.已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示， 填空：(填“＞”“＜”或“＝”) (1) a－b________0； (2) b－c________0； (3) －c－b________0； (4) a－(－b)________0. ＞ ＜ ＞ ＜ 针对训练 7.“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响，大致海拔每升高100米，气温约下降0.6℃.有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是6℃，则此时山顶的气温约为_______℃. 【答案】-6或零下6 【分析】根据题意“海拔每升高100米，气温约下降0.6°C”，列出式子即可求解. 【详解】解:山顶的气温约为6-(2350-350)+100x0.6=-6 -6 针对训练 8．已知m，n两数在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列说法： ①m＋n＞0；②m－n＞0；③mn＜0；④(m＋1)(n－1)＜0. 其中正确的是________．(填序号) ①③ 针对训练 9.为以下运算过程进行纠错： 除法没有分配律 针对训练 10.一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 【答案】第一步开始出错；-2 针对训练 11. 小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王” “小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌上的数字分别为“2，3，5，6”，请帮小明列出一个结果等于24的算式 ______________． [答案](5-3+2)×6(答案不唯一) [分析]根据有理数的加、减、乘运算法则，进行计算即可解答. [详解]解:由题意得: (5-3+2) ×6=24, 故答案为:(5-3+2)×6(答案不唯一). 针对训练 【答案】 【详解】 针对训练 【答案】A 【详解】 A 针对训练 14.定义一种新运算*，规定运算法则为:m*n=mn-mn(m，n均为整数，且m≠0).例:2*3=23-2×3=2，则(-2)*2= . [答案]8 [分析]根据定义，得(-2)*2=(-2)2-2×(-2)=8，解得即可. 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键. [详解]根据定义，得(-2)*2=(-2)2-2×(-2)=8, 故答案为: 8. 8 针对训练 15．我们规定这样一种运算：a&b＝ab－ab＋1， 例如：2&3＝23－2×3＋1＝3，则（－3）&2的值为（　　） A．－14 B．－2 C．4 D．16 D [答案]D [分析]根据定义，得(-3)&2=(-3)2-(-3)×2+1=16，解得即可. 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键. [详解]根据定义，得(-3)&2=(-3)2-(-3)×2+1=16, 故答案为: D. 针对训练 16. 求的值，可令，则，因此，．参照以上推理，计算的值为（     ） A． B． C． D． C 针对训练 17.计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一"二进制数和十进制数可以互换例如，二进制数“01011011"换成十进制数表示的数为0x27+1x26+0x25+1x24+1x23+0x22+1x21+1x20=91.依此算法，二进制数“01001001"换成十进制数表示的数为 . [分析]本题考查了用数字表示数及有理数的混合运算，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键，根据二进制和十进制的互换规则即可解答， [详解]解:由二进制和十进制的互换规则得: 01001001=0x27+1x26+0x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20=73. 故答案为:73. 73 针对训练 18.计算： （1）(-1)10 ×2+(-2)3÷4； 解：原式 = 1×2+(-8)÷4 = 2 - 2 = 0 针对训练 （4）(-10)4+[(-4)2-(3+32)×2]. 原式 = 10000+[16-12×2] = 10000 - 8 = 9992 针对训练 19.若a＝1.1×105，b＝1.2×103，c＝5.6×104，d＝－5.61×102， 则a，b，c，d的大小关系是（　　） A．a<b<c<d B．d<b<c<a C．d<c<b<a D．a<c<b<d B 针对训练 20.“盛年不重来，一日难再晨．”这句古诗警示我们：生命短暂且不可逆，唯有把握当下、勤勉行动，方能不负此生．一日是24小时，一小时是60分钟，1分钟是60秒，将1日的时间换算成秒，用科学记数法表示为_________________ 解：24×60×60＝86400（秒）＝8.64×104（秒） 8.64×104秒 针对训练 2.07495×105=207495≈2.075×105 （或20.75万） 21.按括号里的要求用四舍五入法对下列各数取近似数. (1) 60290（精确到千位）； (2) 2345000（精确到万位）； (3) 2.07495×105 （精确到百位）； (4) 2.9554万(精确到千位) 60290≈6.0万（或6.0×104） 2345000≈235万（或2.35×106） 2.9554万≈3.0万（或3.0×104） 针对训练 有理数及其运算 减法 加法 科学记数法 乘法 近似数 运算 运算法则及运算律 乘方 除法 混合运算 减法可转换成加法 倒数 运算法则 运算律 除法可转换成乘法 乘方的结果叫作幂 表示方法：a×10n，其中1≤a<10 课堂总结 感谢聆听! $$