22.2二次函数与一元二次方程练习 2025-2026学年人教版九年级数学 上册

第13课 第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解(或称无实数根) 归纳如下： (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 知识点02 直线与抛物线的交点 1、轴与抛物线得交点为(0, ). 2、与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 3、抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. 4、平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. 5、一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. 6、抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故： 考点01 求二次函数的图象与坐标轴交点坐标 例题1.抛物线与轴的交点坐标是          ，与轴的交点坐标是          ． 【答案】；， 【解析】【分析】 本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键，此题难度不大． 根据题意得出，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标．令，求出的值，即可求出抛物线与轴交点的坐标． 【解答】 解：令， 得， 轴的交点坐标是：， 令， 即， 解得，． 所以抛物线与轴交点的坐标是，． 变式1（1）.二次函数的图象与轴的两个交点的坐标分别是______． 【答案】，  【解析】解：当时，，即， 解得，， 所以二次函数的图象与轴的交点坐标是，． 故答案为：，． 根据抛物线与轴的交点问题，通过解方程即可得到抛物线与轴的交点坐标． 本题考查了抛物线与轴的交点：从二次函数的交点式是常数，中可直接得到抛物线与轴的交点坐标，． 变式1（2）.一元二次方程的两根是          ，抛物线与轴的交点坐标是          和          ． 【答案】，；， 变式1（3）.抛物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是          ． 【答案】  【解析】由抛物线的表达式可得：该抛物线的对称轴为直线，设它与轴的另一个交点的横坐标为，列出方程，求解即可． 【详解】解：由抛物线的表达式可得：该抛物线的对称轴为直线， 设它与轴的另一个交点的横坐标为， 轴的一个交点坐标是， ， 解得：， 它与轴的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 变式1（4）.已知抛物线与轴交点的横坐标为，则          ． 【答案】  【解析】解：抛物线与轴交点的横坐标为， 抛物线经过， ， ， 故答案为． 本题考查了抛物线与轴的交点问题，是基础知识要熟练掌握． 根据题意，将代入解析式即可求得的值． 变式1（5）.函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别是，，则的值是          ． 【答案】  变式1（6）.抛物线与轴的交点坐标为          ． 【答案】  变式1（7）.抛物线与轴的交点坐标是______，与轴的交点坐标为______． 【答案】    【解析】解：令，则，得； 令，则，得． 故抛物线与轴的交点坐标是：，与轴的交点坐标为． 故答案为：，． 要求抛物线与轴的交点，令，即可求得的值，从而可以求得抛物线与轴的交点坐标；要求抛物线与轴的交点，只要令，求的值，即可得到抛物线与轴的交点的坐标． 本题考查抛物线与轴、轴的交点，解题的关键是明确抛物线与轴的交点的纵坐标为，与轴的交点的横坐标为． 变式1（8）.若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为______． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键．属于基础题． 由抛物线与轴的交点坐标可得出，将其代入中即可求出结论． 【解答】 解：抛物线与轴的交点坐标为， ，即， ． 故答案为：． 变式1（9）.已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别是，，则的值是          ． 【答案】   考点02 二次函数的图象与x轴交点个数和判别式△的关系 例题2.二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为          ． 【答案】且  【解析】解：二次函数的图象和轴有两个交点， 且． 故答案为：且 由于二次函数与轴有两个交点，故二次函数对应的一元二次方程中，，解不等式即可求出的取值范围，由二次函数定义可知，． 本题考查了抛物线与轴的交点，不仅要熟悉二次函数与轴的交点个数与判别式的关系，还要会解不等式． 变式2（1）.抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 【答案】  变式2（2）.若二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是________． 【答案】且  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数的概念，二次函数与一元二次方程有关知识，由抛物线与轴有两个不同的交点可得出一元二次方程有两个不相等的解，由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】 解：令，则． 二次函数的图象与轴有两个不同的交点， 一元二次方程有两个不相等的解， 解得：且． 故答案为且． 变式2（3）.二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ． 【答案】  变式2（4）.若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是          ． 【答案】且  变式2（5）.若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 【答案】  变式2（6）.若二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】解：二次函数的图象与轴有两个交点， ， 解得：， 故答案为：． 根据二次函数的图象与轴有两个交点，可知判别式，列出不等式并解之即可求出的取值范围． 本题考查判别式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键． 变式2（7）.若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是          ． 【答案】且  变式2（8）.抛物线与轴有交点，则的取值范围是          ． 【答案】且  变式2（9）.一元二次方程有两个实数根，则函数与轴的交点有          个． 若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则的值是          ． 对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是          ． 【答案】(1)1或2 (2)1或0  (3)  变式2（10）.若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是          ． 【答案】且  变式2（11）.抛物线与轴的交点有          个． 已知抛物线与轴有且只有一个交点，则的值是          ． 若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 抛物线与轴有交点，则的取值范围是          ． 抛物线与轴有交点，则的取值范围是          ． 【答案】(1)2  (2)9;​;;且​​​​​​​  考点03 二次函数的图象与x轴两个交点之间的距离 例题3. 抛物线与轴两个交点之间的距离为________ 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是两点之间的距离公式，抛物线的图象有关知识，首先令，求出抛物线与轴的交点坐标，然后再利用两点之间的距离公式进行解答即可得出答案． 【解答】 解：令，则， 解得：或， 则抛物线与轴的交点为，， 即两交点之间的距离为． 故答案为． 变式3（1）. 抛物线与轴的两个交点之间的距离为，则的值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是知道抛物线与轴交点的横坐标就是时的值． 根据题意，可以先求出抛物线与轴的两个交点的横坐标，即时的值，然后根据抛物线与轴的两个交点之间的距离为，即可得到的值． 【解答】 解：抛物线， 当时，， 解得，， 抛物线与轴的两个交点之间的距离为， ， 解得， 故答案为：． 变式3（2）. 二次函数的图象与轴的两个交点之间的距离是          ． 【答案】  变式3（3）. 若方程有一个根为，那么抛物线与轴两交点间的距离为______． 【答案】  【解析】解：抛物线的对称轴是直线． 方程的另一根为． 则两交点间的距离为． 故答案是：． 根据抛物线的对称轴方程和抛物线的对称性质得到方程的另一根为，易得两交点间的距离． 考查了抛物线与轴的交点，解题时，利用了抛物线的对称性质和对称轴的直线方程，难度不大． 变式3（4）. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，若顶点到轴的距离为，则线段的长度为______． 【答案】  【解析】解：设抛物线解析式为， 当时，， 解得，， 所以，， 所以， 故答案为：． 设顶点式，再解方程得，，然后把点和点的横坐标相减得到的长． 本题考查了抛物线与轴的交点，把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 变式3（5）. 二次函数与轴两交点之间的距离为_________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数与一元二次方程，两点之间的距离有关知识，利用二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式 【解答】 解：当时，． 解得，， ． 故答案为． 变式3（6）. 把抛物线的图象向上平移个单位后，它与轴的两交点之间距离为，则的值是______． 【答案】  【解析】解：令，则抛物线与轴两交点是和，对称轴是直线， 抛物线的图象向上平移个单位后得， 而抛物线可以看作抛物线上下平移得到的， 抛物线的对称轴仍为直线上下平移不改变抛物线的对称轴， 抛物线与轴的两交点之间距离为， 抛物线与轴的交点横坐标为和， 即抛物线过和， ，解得， 故答案为：． 令，则抛物线与轴两交点是和，对称轴是直线，由抛物线与轴的两交点之间距离为，可得抛物线与轴的交点横坐标为和，即抛物线过和，即可解得． 本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握抛物线上下平移不改变对称轴直线及求出平移后抛物线与轴交点坐标． 变式3（7）. 已知方程的两个根分别为，，则抛物线与轴的两个交点间的距离为______． 【答案】  【解析】解：方程的两个根分别为，， 抛物线与轴的两个交点的横坐标为，， 抛物线与轴两个交点间距离为， 故答案为： 根据抛物线与轴两交点横坐标为，，利用两根关系求的值． 本题考查了抛物线与轴的交点．求二次函数是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标． 变式3（8）. 抛物线与轴的交点坐标为          ，这两个交点间的距离是          ；抛物线与轴的交点坐标为          ，该交点到轴的距离是          ． 【答案】、       ；；； 变式3（9）. 若一元二次方程的两根为，，则抛物线与轴的两个交点间的距离是______． 【答案】  【解析】解：一元二次方程的两根时，， 二次函数的图象与轴的两个交点坐标为和， 两个交点的距离为， 故答案为：． 由方程的解可得出二次函数图象与轴的交点坐标，将两个横坐标做差后即可得出结论． 本题考查了抛物线与轴的交点，牢记解一元二次方程得出的值为交点的横坐标是解题的关键． 变式3（10）. 抛物线与轴的两交点间的距离为______． 【答案】  【解析】解：当时，有， 解得：，， ． 故答案为：． 利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与轴交点的横坐标，做差后即可得出结论． 本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出抛物线与轴交点的横坐标是解题的关键． 考点04 二次函数的图象与直线的交点 例题4.如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为          ． 【答案】，  【解析】【分析】 本题考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．根据题意得到方程组的解为，于是易得关于的方程的解． 【解答】 解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，， 方程组的解为 即关于的方程的解为，． 故答案为，． 变式4（1）.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程较大的根是          ． 【答案】  变式4（2）.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，则关于的方程的根为          ． 【答案】，  变式4（3）.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，则关于的方程的根为          ． 【答案】，  变式4（4）.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，． 的值为          ，方程的解是          ； 不等式的解集是          ，不等式的解集是          ． 【答案】(1)  ; ， x2＝1  (2) ; 或 x≥1  变式4（5）.如图，抛物线与直线的两个交点的坐标分别为、，则关于的方程的解为          ． 【答案】，  变式4（6）.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为          ． 【答案】，  变式4（77）.若抛物线与直线没有交点，则的取值范围是          ． 【答案】  考点05 二次函数与不等式 例题5.如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，则时，自变量的取值范围是______． 【答案】或  【解析】解：二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线， 图象与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：或． 故答案为：或． 直接利用二次函数的对称性得出图象与轴的另一个交点，进而得出答案． 此题主要考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，正确利用数形结合分析是解题关键． 变式5（1）.如图为二次函数的图象，试根据图象回答下列问题： 方程的解为          ； 当时，的取值范围是          ； 当时，的取值范围是          ． 【答案】(1)，  (2)  (3)  变式5（2）.已知二次函数的图象如图所示，顶点是，回答下列问题： 方程的解为          ； 方程的解为          ； 当时，的取值范围是          ； 当时，的取值范围是          ； 当时，的取值范围是          ． 【答案】(1)，  (2)  (3)或  (4)  (5)或  变式5（3）.二次函数的图象如图所示． 由图象可知，抛物线与轴有          个交点，坐标为          ； 由可知，关于的一元二次方程有          个解，为          ； 由图象可知，当函数值时，对应的自变量的取值范围是          ；当函数值时，对应的自变量的取值范围是          ． 【答案】(1)2;(-5，0)和(1，0)  (2)2;x1＝-5，x2＝1  (3)-5＜x＜1 ;x＜-5或x＞1  变式5（4）.已知函数的图象经过点，当时，的取值范围是_____。 【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解，当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．把代入中可求出的值，从而得到二次函数解析式，把解析式配成顶点式，则可得到顶点坐标，然后利用描点法画函数图象，然后观察函数图象得到时的取值范围． 【解答】 解：把代入， 得， 解得， 所以二次函数解析式为； ， 所以抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：， 如图： 从图中可以看出，当或时，． 变式5（5）.二次函数图象的对称轴为直线，若关于的一元二次方程在的范围内有解，则的取值范围是______． 【答案】  【解析】解：二次函数图象的对称轴为直线， ， 解得：， ， 令， 则求其对称轴直线为：， 关于的一元二次方程在的范围内有解， 当时，，即， 解得：； 当时，，即， 解得：， ． 故答案为：． 先由抛物线对称轴求出的值，再设，求出抛物线对称轴，再根据抛物线与轴有交点的条件进行列式求解． 此题主要考查抛物线与轴的交点问题，会用临界值和对称轴进行分析列式是解题的关键． 变式5（6）.二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方，则的取值范围为________． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数的图像以及一元一次不等式的解法，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键，首先根据二次函数找到与轴的交点，然后根据条件列出不等式，进而求解； 【解答】 解：根据二次函数，令， 解得：，， 当时，不合题意； 当时，，即； 所以的取值范围为 变式5（7）.用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： 那么当该二次函数值时，的取值范围是______． 【答案】或  【解析】解：由上表可知函数图象经过点和点， 对称轴为，顶点坐标是， 抛物线开口向上， 当或时，， 故答案为：或． 根据表格得到图象经过点和点，抛物线开口向上，根据二次函数的性质解答． 本题考查的是抛物线与轴的交点、二次函数与不等式、二次函数的性质，掌握抛物线的对称性、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 变式5（8）.如图，是二次函数的图象，当时，的取值范围是__________ 【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，解题的关键是注重数形结合的思想，从函数的图象上寻找突破．根据题意，时即图象在轴下方时，观察图象可得答案． 【解答】 解：根据题意，要求当时即图象在轴下方时，自变量的取值范围， 观察图象易得，当或时，二次函数的图象在轴下方， 故答案为或． 变式5（9）.如图，抛物线与轴的一个交点坐标为，与轴交点坐标为，顶点坐标为，当时，二次函数的取值范围是______． 【答案】  【解析】解：抛物线的开口向上，顶点坐标为， ，对称轴为直线， 当时的值大于时的值，且当时，有最小值为， 当时，． 故答案为：． 由抛物线的开口方向及顶点坐标，可得出且对称轴为直线，观察图象结合二次函数的性质，即可找出当时二次函数的取值范围． 本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，观察图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是     ． A. B. C. D. 【答案】A  2.抛物线与坐标轴的交点个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 先计算自变量为对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再求解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断． 【解答】 解：当时，，则抛物线与轴的交点坐标为； 当时，即，解得，则抛物线与轴的交点坐标为． 所以抛物线与坐标轴有个交点． 故选：． 3.已知二次函数的最小值为，则  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B  4.二次函数的图象与轴交于点，，则关于的方程的解为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】解：二次函数的图象经过点，， 关于的方程的根为，． 故选：． 5.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：如图， 关于的一元二次方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标， 的图象的对称轴为直线， ， ， ． 当时，，当时，，时，， 一元二次方程为实数在的范围内有解， 直线在直线和直线之间，包括直线， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 6.抛物线与轴的交点坐标为          ． 【答案】  7.如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为          ． 【答案】  8.抛物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是          ． 【答案】  9.若抛物线与轴的交点为，，则方程的解为          ． 【答案】，  10.已知关于的函数的图象与轴只有一个交点，则的值为          ． 【答案】或  三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.若抛物线与轴有交点，求的取值范围． 【答案】解：抛物线与轴有交点，  则，且，解得的取值范围为且．  12.如图，直线和抛物线相交于点和点． 求点和点的坐标； 直接写出不等式的解集． 【答案】(1)解：由  解得或 ​​​​​​​∴点A(1，0)，点B(3，2)；  (2)解：由（1）得出点A，B的横坐标分别为1，3．  由图可得，当x≤1或x≥3时，  x2-3x+2≥x-1．故其解集为x≤1或x≥3．  【解析】 本题考查一次函数和二次函数的综合． 联立方程组，求出，的值，即可解答．  本题考查一次函数和二次函数的综合． 根据函数图像得出不等式的解集． 13.如图，已知抛物线与直线交于，两点． 求，两点的坐标； 若，请直接写出的取值范围          ． 【答案】(1)解：联立解得  ，；  (2)  14.如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点． 求点、、坐标； 若直线经过、两点，直接写出不等式的解集． 【答案】解：令，则， 解得或， 点坐标为，点坐标为， 令，， 点坐标为． 由图象可得，当时，抛物线在直线上方， 的解集为．  【解析】令可得点，坐标，令可得点坐标． 通过观察图象，之间的部分抛物线在直线上方，从而求解． 本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 15.二次函数的图象如图所示． 写出关于的一元二次方程的两个根； 写出关于的不等式的解集； 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1)，  (2)或  (3)  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13课 第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 知识点01 二次函数与一元二次方程的关系 判别式 二次函数 一元二次方程 图象 与x轴的交点坐标 根的情况 △＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根 △＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根 △＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解(或称无实数根) 归纳如下： (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根； (2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根； (3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根. 知识点02 直线与抛物线的交点 1、轴与抛物线得交点为(0, ). 2、与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). 3、抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. 4、平行于轴的直线与抛物线的交点 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. 5、一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. 6、抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故： 考点01 求二次函数的图象与坐标轴交点坐标 例题1.抛物线与轴的交点坐标是          ，与轴的交点坐标是          ． 变式1（1）.二次函数的图象与轴的两个交点的坐标分别是______． 变式1（2）.一元二次方程的两根是          ，抛物线与轴的交点坐标是          和          ． 变式1（3）.抛物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是          ． 变式1（4）.已知抛物线与轴交点的横坐标为，则          ． 变式1（5）.函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别是，，则的值是          ． 变式1（6）.抛物线与轴的交点坐标为          ． 变式1（7）.抛物线与轴的交点坐标是______，与轴的交点坐标为______． 变式1（8）.若抛物线与轴的交点坐标为，则代数式的值为______． 变式1（9）.已知二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标分别是，，则的值是          ． 考点02 二次函数的图象与x轴交点个数和判别式△的关系 例题2.二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为          ． 变式2（1）.抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 变式2（2）.若二次函数的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是________． 变式2（3）.二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ． 变式2（4）.若抛物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围是          ． 变式2（5）.若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 变式2（6）.若二次函数的图象与轴有两个公共点，则的取值范围是          ． 变式2（7）.若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是          ． 变式2（8）.抛物线与轴有交点，则的取值范围是          ． 变式2（9）.一元二次方程有两个实数根，则函数与轴的交点有          个． 若函数的图象与坐标轴只有两个交点，则的值是          ． 对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是          ． 变式2（10）.若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是          ． 变式2（11）.抛物线与轴的交点有          个． 已知抛物线与轴有且只有一个交点，则的值是          ． 若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 抛物线与轴有交点，则的取值范围是          ． 抛物线与轴有交点，则的取值范围是          ． 考点03 二次函数的图象与x轴两个交点之间的距离 例题3. 抛物线与轴两个交点之间的距离为________ 变式3（1）. 抛物线与轴的两个交点之间的距离为，则的值是          ． 变式3（2）. 二次函数的图象与轴的两个交点之间的距离是          ． 变式3（3）. 若方程有一个根为，那么抛物线与轴两交点间的距离为______． 变式3（4）. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，若顶点到轴的距离为，则线段的长度为______． 变式3（5）. 二次函数与轴两交点之间的距离为_________． 变式3（6）. 把抛物线的图象向上平移个单位后，它与轴的两交点之间距离为，则的值是______． 变式3（7）. 已知方程的两个根分别为，，则抛物线与轴的两个交点间的距离为______． 变式3（8）. 抛物线与轴的交点坐标为          ，这两个交点间的距离是          ；抛物线与轴的交点坐标为          ，该交点到轴的距离是          ． 变式3（9）. 若一元二次方程的两根为，，则抛物线与轴的两个交点间的距离是______． 变式3（10）. 抛物线与轴的两交点间的距离为______． 考点04 二次函数的图象与直线的交点 例题4.如图，抛物线与直线的两个交点为，，则关于的方程的解为          ． 变式4（1）.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程较大的根是          ． 变式4（2）.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，则关于的方程的根为          ． 变式4（3）.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，则关于的方程的根为          ． 变式4（4）.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，． 的值为          ，方程的解是          ； 不等式的解集是          ，不等式的解集是          ． 变式4（5）.如图，抛物线与直线的两个交点的坐标分别为、，则关于的方程的解为          ． 变式4（6）.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为          ． 变式4（77）.若抛物线与直线没有交点，则的取值范围是          ． 考点05 二次函数与不等式 例题5.如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴是直线，则时，自变量的取值范围是______． 变式5（1）.如图为二次函数的图象，试根据图象回答下列问题： 方程的解为          ； 当时，的取值范围是          ； 当时，的取值范围是          ． 变式5（2）.已知二次函数的图象如图所示，顶点是，回答下列问题： 方程的解为          ； 方程的解为          ； 当时，的取值范围是          ； 当时，的取值范围是          ； 当时，的取值范围是          ． 变式5（3）.二次函数的图象如图所示． 由图象可知，抛物线与轴有          个交点，坐标为          ； 由可知，关于的一元二次方程有          个解，为          ； 由图象可知，当函数值时，对应的自变量的取值范围是          ；当函数值时，对应的自变量的取值范围是          ． 变式5（4）.已知函数的图象经过点，当时，的取值范围是_____。 变式5（5）.二次函数图象的对称轴为直线，若关于的一元二次方程在的范围内有解，则的取值范围是______． 变式5（6）.二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于轴的下方；当时，它的图象位于轴的上方，则的取值范围为________． 变式5（7）.用“描点法”画二次函数的图象时，列出了如下表格： 那么当该二次函数值时，的取值范围是______． 变式5（8）.如图，是二次函数的图象，当时，的取值范围是__________ 变式5（9）.如图，抛物线与轴的一个交点坐标为，与轴交点坐标为，顶点坐标为，当时，二次函数的取值范围是______． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是     ． A. B. C. D. 2.抛物线与坐标轴的交点个数为(    ) A. B. C. D. 3.已知二次函数的最小值为，则  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.二次函数的图象与轴交于点，，则关于的方程的解为(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.二次函数的图象如图所示，对称轴为直线若关于的一元二次方程为实数在的范围内有解，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 6.抛物线与轴的交点坐标为          ． 7.如图，抛物线的对称轴是直线，关于的方程的一个根为，则另一个根为          ． 8.抛物线与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点的坐标是          ． 9.若抛物线与轴的交点为，，则方程的解为          ． 10.已知关于的函数的图象与轴只有一个交点，则的值为          ． 三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.若抛物线与轴有交点，求的取值范围． 12.如图，直线和抛物线相交于点和点． 求点和点的坐标； 直接写出不等式的解集． 13.如图，已知抛物线与直线交于，两点． 求，两点的坐标； 若，请直接写出的取值范围          ． 14.如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点． 求点、、坐标； 若直线经过、两点，直接写出不等式的解集． 15.二次函数的图象如图所示． 写出关于的一元二次方程的两个根； 写出关于的不等式的解集； 若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$