2025-2026学年八年级数学上册竞赛培优：专题卷二 全等三角形

专题卷二 全等三角形 (满分:120分 考试时间:120分钟) 一、选择题(每题5分，共30分) 1.[第三十届世界奥林匹克数学竞赛]如图，AB，CD 相交于点E，且AB=CD，试添加一个条件，使得△ADE≌△CBE。现给出如下五个条件:①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB。其中符合要求的有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2.[2024·武汉硚口区自主招生]如图,在△ABC,△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,C,D,E三点在同一条直线上,连结BD,BE。有以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE=AC+AD。其中正确的结论是 ( ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④ 3.[2023·广东拔尖创新人才学科知识竞赛]如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连结AC。若AC=6,则四边形ABCD 的面积为 ( ) A.12 B.14 C.16 D.18 4.[安庆中学自主招生]如图,AD 是△ABC 的中线,E,F 分别在AB,AC上(E,F 不与端点重合),且DE⊥DF,则 ( ) A. BE+CF>EF B. BE+CF=EF C. BE+CF<EF D. BE+CF 与EF 的大小关系不确定 5.[2024·温州瑞安新纪元学校竞赛]如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=40°,BD 是∠ABC 的平分线,延长 BD 到点 E,使 DE=AD,则∠E 的度数为 ( ) A.40° B.60° C.70° D.80° 6.[四川竞赛]如图,在△ABC中,CB>CA,∠A=80°。D 为AB 上一点,满足CB—CA=BD,I为△ABC 三条角平分线的交点，则∠IDA 的度数为 ( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 二、填空题(每题 5 分,共30 分) 7.在△ABC中,AB=5,AC=3,则BC 边上的中线AD 的取值范围是 。 8.[2024·宁波鄞州区宋诏桥竞赛]若△ABC 的重心为点G,AG=6,BG=8,CG=10,则S△ABC= 。 9.如图,CA⊥AB,垂足为A,AB=8cm,AC=4 cm,射线BM⊥AB,垂足为B。一动点 E 从点A 出发以 2cm /s的速度沿射线 AN 运动，D 为射线BM 上一动点，随着点E 运动而运动，且始终保持ED=CB。当点 E 离开点A 后,运动 s时,△DEB 与△BCA 全等。 10.[2024·广州越秀区自主招生]在△ABC 中,高线 AD 和高线BE 所在的直线相交于点F,且 BF=AC,则∠ABC 的度数为 。 11.[浙江自主招生]如图，在锐角三角形ABC中，AH 是BC 边上的高，分别以 AB，AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG。连结CE,BG 和EG,EG 与HA 的延长线相交于点M,有下列结论:①BG=CE;②BG⊥CE;③AM是△AEG 的中线;④∠EAM=∠ABC。其中正确的结论是 (填序号)。 12.[“新知杯”上海竞赛]如图,已知∠BAD=∠DAC=9°,AD⊥AE,且AB+AC=BE,则∠B= °。 三、解答题(共60分) 13.(10分)[2024·长沙雨花区校级自主招生]如图,在△ABC 中,∠BAC=∠BCA=44°。M 为△ABC 内一点,使得∠MCA=30°,∠MAC=16°,求∠BMC 的度数。 14.(12分)[北京竞赛]如图,点C在线段AB上,DA⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB。∠AFB=51°,求∠DFE 的度数。 15.(12分)[潮州期末]如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F。 (1)求证:△ABC≌△ADE。 (2)求∠FAE 的度数。 (3)求证:CD=DE+2BF。 16.(12分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,且AB=AC,D 是AC 的中点,AE⊥BD 于点F,交 BC于点E，连结DE。求证： (1)∠BAF=∠ADB。 (2)∠ADB=∠EDC。 17.(14分)[2024·景德镇乐平自主招生](1)如图1,在四边形ABCD 中, E,F 分别是边 BC,CD 上的点,且 请直接写出线段E F，BE，FD之 间的数量关系: 。 (2)如图 2,在四边形 ABCD 中, ,E,F 分别是边 BC,CD 上的点,且 (1)中的结论是否仍然成立?请说明理由。 (3)如图3,在四边形 ABCD 中, ,E,F 分别是边 BC,CD 所在直线上的点，且 求线段 EF,BE,FD 之间的数量关系。 专题卷二 全等三角形 1. A 【解析】如答图,延长 DA,BC,使它们相交于点F,连结 BD。 ∵∠DAB=∠DCB,∠AED=∠BEC, ∴∠B=∠D。 又∵∠F=∠F,AB=CD, ∴△FAB≌△FCD(AAS), ∴AF=FC,FD=FB, ∴AD=BC, ∴△ADE≌△CBE(SAS),①正确;同理可证明②正确； ∵AE=CE,AB=CD, ∴DE=BE。 又∵∠AED=∠BEC, ∴△ADE≌△CBE(SAS),③正确;同理可证明④正确； ∵AD=CB,AB=CD,BD=BD, ∴△ADB≌△CBD(SSS), ∴∠DAB=∠BCD, ∴△ADE≌△CBE(AAS),⑤正确。故选 A。 2. C 【解析】∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 即∠BAD=∠CAE。 在△ABD 和△ACE 中, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD=CE,①正确; ∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE。 ∵∠CAB=90°, ∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°, ∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°, ,②正确; ∵∠BAC = 90°, AB = AC, ∴ ∠ABC = 45°, ∴∠ABD+∠DBC=45°, ∴∠ACE+∠DBC=45°,③正确; ④在△ABE 中,BE<AB+AE。 又∵AD=AE,∴BE<AB+AD,即 BE<AC+AD,④错误。故选 C。 3. D 【解析】如答图,延长 CB 到点 E,使 BE=CD,连结AE, ∴∠ABE+∠ABC=180°。 ∵∠BAD=∠BCD=90°, ∴∠D+∠ABC=180°, ∴∠D=∠ABE。 ∵AD=AB,BE=DC, ∴△ABE≌△ADC(SAS), ∴∠EAB=∠DAC,AE=AC,S△ABE=S△ADC, ∴∠CAB+∠EAB =∠BAC+∠DAC=90°,即∠EAC=90°, ∴△EAC 是等腰直角三角形， ∴四边形 ABCD 的面积=△EAC 的面积 =18。 4. A 【解析】如答图,延长 ED 到G,使 DG=ED,连结CG,FG。 在△BED 与△CGD 中, ∴△BED≌△CGD(SAS),∴CG=BE, 又∵DE⊥DF,∴FD 是EG 的垂直平分线, ∴FG=EF。∵GC+CF>FG,∴BE+CF>EF。 5. D 【解析】如答图,在 BC 上截取 BF=AB,连结 DF, 则有△ABD≌△FBD(SAS), ∴DF=DA=DE。 又∵∠ACB=∠ABC=40°,∠DFC=180°-∠A=80°, ∴∠FDC=60°。 ∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180° ∴△DCE≌△DCF(SAS), 6. B 【解析】如答图,在 CB 上取点 A₁,使得( 连结IA₁,IA,A₁D,CI,BI,则 BD=BA₁,易证△ACI≌△A₁CI,△A₁BI≌△DBI, 4 学科网（北京）股份有限公司 7.1<AD<4 【解析】如答图,延长AD 到点 E,使 DE=AD,连结 BE。 在△ADC 和△EDB 中,• ∴△ADC≌△EDB(SAS),∴BE=AC=3。 在△ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE, 即2<2AD<8,∴1<AD<4。 8.72 【解析】如答图,延长AG到点 G',与 BC 相交于点D,使 DG=DG',连结CG',则△BDG≌△CDG', ∵CG=10,∴△CGG'是直角三角形, 9.2或6 或8 【解析】根据题意，分2种情况讨论： ①点 E 在线段AB 上, 当AC=BE时,△ACB≌△BED, ∵AC=4 cm,∴BE=4 cm,∴AE=8-4=4(cm), ∴点 E 的运动时间为4÷2=2(s); ②点 E 在射线 BN 上, 当AC=BE 时, ∵AC=4 cm,∴BE=4 cm,∴AE=8+4=12(cm), ∴点 E 的运动时间为12÷2=6(s); 当AB=EB时,△ACB≌△BDE,AE=8+8=16(cm),点 E 的运动时间为16÷2=8(s)。 综上所述,点 E 的运动时间为 2 s 或 6 s 或 8 s 时,△DEB 与△BCA 全等。 10.45°或135°【解析】分 2种情况讨论: ①当△ABC 为锐角三角形,∠BAC 为锐角时,如答图1。 ∵AD⊥BC,BE⊥AC, ∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°, ∴∠C+∠CBE=90°,∠C+∠CAD=90°, ∴∠CBF=∠CAD。 在△BDF 和△ADC 中, ∴△BDF≌△ADC(AAS), ∴BD=AD, ∴∠ABD=45°, 即∠ABC=45°。 ②当△ABC 为钝角三角形,∠ABC 为钝角时,如图2, 同理可证△BDF≌△ADC(AAS), ∴BD=AD, ∴∠ABD=45°, ∴∠ABC=135°。 综上所述,∠ABC 的度数为45°或 135°。 11.①②③④ 【解析】在正方形 ABDE 和ACFG 中,AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°,∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC,即∠CAE=∠BAG。 ∵在△ABG 和△AEC 中, ∴△ABG≌△AEC(SAS), ∴BG=CE,①正确; 如答图,设 BG,CE 相交于点 N。 ∵△ABG≌△AEC,∴∠ACE=∠AGB。 ∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°, 5 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠CNG=360°-(∠NCF+∠NGF+∠F)= ∴BG⊥CE,②正确; 如答图,过点 E 作 EP⊥HA,交 HA 的延长线于点 P,过点 G 作GQ⊥AM 于点 Q。 ∵AH⊥BC,∴∠ABH+∠BAH=90°。 ∵∠BAE=90°, ∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°, ∴∠ABH = ∠EAP, 即∠EAM = ∠ABC,④正确； ∵在△ABH 和△EAP 中, ∴△ABH≌△EAP(AAS), ∴EP=AH,同理可得GQ=AH,∴EP=GQ。 在△EPM 和△GQM 中, ∴△EPM≌△GQM(AAS), ∴EM=GM, ∴AM 是△AEG 的中线,③正确。 综上所述，结论①②③④都正确。 12.48 【解析】如答图,延长 BA 到点 F,使 AF=AC,连结EF。 ∵AB+AC=BE, ∴AB+AF=BE,即BF=BE, ∵∠BAD=∠DAC=9°,AD⊥AE,即∠DAE=90°, ∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-9°=81°, ∴∠FAE=∠CAE。 在△AFE 和△ACE 中, ∴△AFE≌△ACE(SAS),∴∠F=∠ACE。 又∵∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+18°, ∴∠F=∠B+18°, 解得 13.解:如答图,过点 B 作 BD⊥AC 交AC 于点 D,延长 CM 交 BD 于点 E,连结 AE。 ∵∠BAC=∠BCA =44°,∴△ABC 是等腰三角形,AB=CB,∠ABC=92°。 又∵BD⊥AC, ∴BD 垂直平分AC,∠CBD=∠ABD=46°, ∴EC=EA, ∴∠EAC=∠ECA=30°。 ∵∠EAC =∠EAM +∠MAC = 30°,∠BAC =∠BAE+∠EAD, ∴∠EAM=∠EAC-∠MAC=30°-16°=14°,∠BAE=∠BAC-∠EAC=44°-30°=14°, ∴∠BAE=∠EAM=14°。 ∵∠EMA=∠ECA+∠MAC=30°+16°=46°, ∴∠EMA=∠EBA=46°。 又∵AE=AE, ∴△BEA≌△MEA(AAS), ∴AB=AM, ∴△ABM 为等腰三角形。 ∵∠BAM=∠BAE+∠EAM=14°+14°=28°, 又∵∠CMA=180°-∠MCA-∠MAC=180°- ∴∠BMC=360°—∠CMA—∠BMA=360°—134° 14.解:如答图,连结 BD,AE。 ∵DA⊥AB,FC⊥AB, ∴AD∥CF,∠DAB=∠BCF=90°。 在△DAB 和△BCF 中, ∴△DAB≌△BCF(SAS), ∴BD=BF, ∴∠BDF=∠BFD。 又∵AD∥CF,∴∠ADF=∠CFD, ∴ ∠ABF = ∠ADF + ∠DFB = ∠BFC +2∠CFD。 同理可得,∠BAF=∠AFC+2∠CFE。 又∵∠AFB=51°,∴∠ABF+∠BAF=129°, ∴∠BFC+2∠CFD+∠AFC+2∠CFE=51°+2∠DFE=129°, 解得∠DFE=39°。 15.解:(1)∵∠BAD=∠CAE=90°, ∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°, ∴∠BAC=∠DAE。 在△ABC 和△ADE 中, ∴△ABC≌△ADE(SAS)。 (2)∵∠CAE=90°,AC=AE,∴∠E=45°。 由(1)知△ABC≌△ADE, ∴∠BCA=∠E=45°。 ∵AF⊥BC,∴∠CFA=90°,∴∠CAF=45°, ∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°。 (3)如答图,延长 BF 到点 G,使得 FG=FB,连结AG。 ∵AF⊥BG,∴∠AFG=∠AFB=90°。 在△AFB 和△AFG 中, ∴△AFB≌△AFG(SAS), ∴AB=AG,∠ABF=∠G。 ∵△ABC≌△ADE, ∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED, ∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,∴∠G=∠CDA。 ∵∠GCA=∠DCA=45°, 在△CGA 和△CDA 中, ∴△CGA≌△CDA(AAS),∴CG=CD, ∴CD=CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF。 16.证明:(1)∵∠BAC=90°, ∴∠BAF+∠DAF=90°。 ∵AE⊥BD,∴∠AFD=90°, ∴∠DAF+∠ADB=90°, ∴∠BAF=∠ADB。 (2)如答图,过点 C 作 CM⊥AC,交 AE 的延长线于点M,则∠ACM=90°=∠BAC, ∴CM∥AB,∴∠MCE=∠ABC=∠ACB。 ∵∠BAF=∠ADB,∠ADB+∠FAD=90°,∠ABD+∠BAF=90°, ∴∠ABD=∠CAM。 在△ABD 和△CAM 中, ∴△ABD≌△CAM(ASA), ∴∠ADB=∠M,AD=CM。 ∵D 为AC 的中点,∴AD=DC=CM。 在△CDE 和△CME 中, ∴△CDE≌△CME(SAS),∴∠M=∠EDC。 ∵∠M=∠ADB,∴∠ADB=∠EDC。 17.(1)EF=BE+FD 解:(1)如答图1,延长 EB 到点 G,使 BG=DF,连结AG。 在△ABG 与△ADF 中, ∴△ABG≌△ADF(SAS), ∴AG=AF,∠1=∠2, ∴∠GAE=∠EAF。 又∵AE=AE, ∴△AEG≌△AEF(SAS), ∴EG=EF。 ∵EG=BE+BG, ∴EF=BE+FD。 (2)(1)中的结论 EF=BE+FD 仍然成立。理由如下： 如答图2,延长 EB 到点G,使 BG=DF,连结AG。 ∵∠ABC+∠D=180°,∠ABG+∠ABC=180°, ∴∠ABG=∠D。 在△ABG 与△ADF 中, ∴△ABG≌△ADF(SAS), ∴AG=AF,∠1=∠2, ∴∠GAE=∠EAF。 又∵AE=AE, ∴△AEG≌△AEF(SAS), ∴EG=EF。 ∵EG=BE+BG, ∴EF=BE+FD。 (3)分3种情况讨论： ①如答图3,当点 E 在BC 的延长线上,点 F 在CD的延长线上时,在 BE 上截取 BG,使 BG=DF,连结AG。 ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°, ∴∠B=∠ADF。 在△ABG 与△ADF 中, ∴△ABG≌△ADF(SAS), ∴∠BAG=∠DAF,AG=AF, ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF ∴∠GAE=∠EAF。 ∵AE=AE, ∴△AEG≌△AEF(SAS), ∴EG=EF。 ∵EG=BE-BG, ∴EF=BE-FD。 ②如答图4,当点 E 在CB 的延长线上,点 F 在DC的延长线上时,在 DF 上截取DH=BE。 同①,得△AEB≌△AHD(SAS), △AEF≌△AHF(SAS), ∴EF=FH=FD-DH=FD-BE。 ③由(1),(2)得 EF=BE+FD。 ④如答图5,当点 E 在 BC 的延长线上,点 F 在DC的延长线时，线段 EF，BE，FD 之间并无直接数量关系。 综上所述,EF=BE-FD 或EF=FD-BE 或EF=BE+FD。 $$