2.2 基本不等式（第1课时 基本不等式）同步分层练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 基本不等式第 1课时基本不等式——高一数学人教 A版（2019）必修一同步分层练 基础过关 一、单选题 1.已知x，y，z都是正实数，若，则的最小值为(    ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2.已知，，且，则的最小值为(    ) A. 2 B. C. 3 D. 4 3.已知，则函数的最小值为(    ) A. B. C. 2 D. 4.已知实数，则函数的最小值为(    ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5.某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量单位：千辆/小时与车速单位：公里/小时近似满足，为保障最大车流量，应建议车速v为(    ) A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 6.已知，，，则的最小值为      A. B. C. D. 7.已知实数a，b满足，，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.在R上定义运算⊕：若对任意，不等式都成立，则实数a的取值范围是    A. B. C. D. 二、多选题 9.下列说法正确的有(    ) A. 的最小值为2 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数x、y满足，则的最小值为3 D. 设x、y为实数，若，则的最大值为 10.下列命题中的真命题有(    ) A. 当时，的最小值是3 B. 的最小值是2 C. 当时，的最大值是5 D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3 11.已知，，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则ab的最大值为4 B. 的最小值为1 C. 若，则 D. 若，则的最小值为11 三、填空题 12.函数的最小值为          . 13.已知实数m，且，则的最小值为______. 14.当，函数的最小值为          . 四、解答题 15.已知，求的最大值． 16.已知正数x、y满足，求的最小值; 求函数的最小值. 17.为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米 Ⅰ当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价; Ⅱ现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 18. 如图所示，为宣传某运动会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为2dm，两个宣传栏之间的空隙的宽度为3dm，设海报纸的长和宽分别为xdm， 求y关于x的函数表达式； 为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 思维拓展 19.问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： 若正实数x，y满足，求的最小值； 若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； 求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题． 利用已知条件以及基本不等式即可求解． 【解答】 解：因为，，，且， 则， 当且仅当时取等号，此时取得最小值为 故选： 2.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题． 将条件变形为，再利用凑项法，结合基本不等式求即可得解． 【解答】 解：由得，，， ， 当且仅当，又由，即，时，等号成立， 的最小值为 故选： 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． ，利用基本不等式的性质即可求得最小值． 【解答】 解：，， ， 当且仅当时取得最小值 故选： 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的应用，解题时，注意的取值范围，本题属于基础题． 整理后结合基本不等式即可求解结论． 【解答】 解：实数， ，当且仅当时等号成立， 函数的最小值为6， 故选： 5.【答案】B  【解析】【分析】 解：由题意知，即， ， 当且仅当，即时，等号成立； 所以当汽车的平均速度为60公里/小时时，车流量最大． 故选： 【解答】 本题主要考查利用基本不等式解决实际问题，属于基础题． 根据题意可得，利用基本不等式进行求解即可． 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题． 把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值． 【解答】 解：因为，，， 则， 当且仅当 时，即当，且，等号成立， 故的最小值为 故选 7.【答案】A  【解析】【分析】 本题考察利用基本不等式求最值，属于基础题. ，进而利用基本不等式即可. 【解答】 解：因为，，且，则 ，当且仅当， 即，时取等号，故选 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了在新定义下不等式恒成立问题的应用．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题，属中档题． 由，把转化为，由题意可得对恒成立．令，，求得在的最小值，即可得a的取值范围． 【解答】 解：， 转化为， ， ， 对任意，不等式都成立， 对任意恒成立． 令，， 则，， 而 ， ， 当且仅当，即时，取最小值． ，即实数a的取值范围为 故选： 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查由基本不等式求最值或取值范围，属于中档题． 根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解． 【解答】 解：对于A选项，当时，，故A选项错误， 对于B选项，当时，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 故B选项正确， 对于C选项，若正数x、y满足， 则， ， 当且仅当时，等号成立，故C选项正确， 对于D选项， ， 所以，可得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D选项正确． 故选： 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式及对勾函数的单调性在最值求解中的应用，属于中档题． 由已知结合基本不等式检验选项A，C，D，结合对勾函数单调性检验选项 【解答】 解：时，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 令，则， ， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 故时，上式取得最小，B错误； 当时，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 正实数x，y满足，即， 则 ，当且仅当时取等号，D错误． 故选： 11.【答案】ACD  【解析】解：选项A：由基本不等式，对于正数，有， 已知，则，当且仅当时取等号，故ab的最大值为4，A正确； 选项B：当且仅当时等号成立， 而无解，故取不到最小值1，B错误； 选项C：由，根据基本不等式，代入得 令，则不等式化为，即，解得舍去， 故，当且仅当时取等号，C正确； 选项D：将变形为 设，，则 要求的最小值. 由基本不等式，当且仅当时取等号， 故 等号条件：且，解得，对应， 代入原式，符合条件，故最小值为11，D正确. 故选 12.【答案】9  【解析】【分析】 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础题． 利用换元法，然后结合基本不等式即可求解． 【解答】 解：因为，设，则， ， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值 故答案为： 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，考查换元法的运用，属于基础题． 通过换元后，利用基本不等式直接求解即可． 【解答】 解：令，，则， ， 当且仅当，，即，即时等号成立． 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求函数最值，属于基础题． 由题令，则，进而利用基本不等式求解即可． 【解答】 解：由，函数， 令，则， 则，当且仅当，即，时，等号成立， 则函数y的最小值 故答案为 15.【答案】解：法一  直接配凑  ，因为，故配凑符号为正：，当仅当 ，即时取等号．  故所求式子的最大值为 法二  换元  令，则，后续同上．   【解析】本题考查利用基本不等式求最值，属基础题. 16.【答案】解：， 所以，    则 ， 所以， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，的最小值为   因为，所以， 令，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立； 所以函数的最小值为   【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，以及不等式的证明. 由已知，则，由基本不等式可求得最值； 利用换元法，令，分离参数变形为，利用基本不等式求出最值即可. 17.【答案】解：Ⅰ设甲工程队的总造价为y元， 则， 当且仅当，即时等号成立． 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元． Ⅱ由题意可得，对任意的恒成立． 即，从而恒成立， 令，， 又在为单调增函数， 故 所以  【解析】本题考查基本不等式实际问题的应用，以及“对勾”函数的图象与性质． Ⅰ设甲工程队的总造价为y元，推出利用基本不等式求解最值即可; Ⅱ由题意对任意的恒成立，即恒成立，利用换元法以及对勾函数的单调性即可求得a的范围． 18.【答案】解：海报上四周空白的宽度均为2dm，两个宣传栏之间的空隙的宽度为3dm，设海报纸的长和宽分别为xdm，ydm， 则两个矩形宣传栏的长为，宽为， ，整理得； 由知，即， ，，由基本不等式可得， 令，则，解得舍去或， ，当且仅当，即，时等号成立， 海报长42dm，宽24dm时，用纸量最少，最少用纸量为  【解析】本题考查利用基本不等式解决实际问题，由基本不等式求最值，解不含参的一元二次不等式，属于中档题． 由实际问题得出长和宽，建立函数的表达式即可； 由知，然后由基本不等式求解最小值，及取得等号的条件即可． 19.【答案】解：因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是； ， 当且仅当且x，y同号时等号成立， 所以， 此时x，y也满足； 令， 由，可得， 则， 因为，，所以， 构造， 由，可得，因此， 由知， 取等号时，且x，y同正， 结合，解得， 即， 所以时，M取得最小值  【解析】本题考查基本不等式的性质的应用及“1”的活用，属于中档题． 根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； 由，结合基本不等式，求得，即可求解； 令，得到，构造，由知，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$