学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（华东师大版九上第21～22章）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章~第22章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 变形结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果，则（　　） A． B． C． D． 5．如果，，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．城市花园街道计划5月举办一次街道内各小区足球联谊赛，赛制为单循环制（每两队比赛一场），计划邀请个参赛队，举办21场比赛，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．估计的值应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 8．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 9．二次根式除法可以这样做：如果．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的是（　　） A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 10．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：①，②；③；④，其中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 12．已知，化简二次根式的正确结果是 ． 13．我们对一个四边形顶点和边都赋给一个特征值，并定义：两组对边的特征值分别相乘再相减叫做对边值，两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫做对角值．如图：四边形的对边值为、对角值为．现在有一四边形特征值如下图，已知该四边形对边值等于对角值，则图中的特征值x的值为 ．    14．已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”．（1）的“还原方程”是 ；（2）若，则代数式 ． 15．方程的较大的根为p，方程的较小的根为q， ． 16．若，则的最大值是 ． 17．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） 18．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①；②；③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有 （写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题每题9分，21-22题每题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（满分9分）计算：(1)；(2)； (3)． 20.（满分9分）解一元二次方程：(1)；(2)．(3) 21．（满分8分）已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 22．（满分8分）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ______， ______； (2)计算：． 23．（满分10分）根据以下素材，完成任务一、二、三： 你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一 矩形就是长方形，四个角都是；两组对边平行且相等 素材二 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙． 素材三 我们在学习二次根式时，常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简，我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的． 操作步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点D折出，矩形（图5）就是黄金矩形． 解决问题 任务一 化简： 任务二 请说明矩形是黄金矩形的理由； 任务三 如图5，若，连接，求点E到线段的距离． 24．（满分10分）某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件． 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会使B款服装月销售量减少10件． 问题解决 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？ 25．（满分12分）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；            ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即．这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 26．（满分12分）【发现问题】由得，；如果两个正数，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】请根据上面材料回答下列问题： （1） ； ．（用“=”“>”“<”填空）；（2）当，式子的最小值为_______； 【能力提升】（3）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）若，则当_______时，式子取到最_______值（填“大”或“小”），最值为_______； / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共40分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题4分，共32分） 11． __________________ 12．__________________ 12． __________________ 14．_____________ 、_____________ 15. ___________________ 16．__________________ 17．__________________ 18．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（9分） 20. （9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （8分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！         25. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 4分，共 32分） 11．__________________ 12．__________________ 12．__________________ 14．_____________ 、_____________ 15. ___________________ 16．__________________ 17．__________________ 18．__________________ 一、选择题（每小题 4分，共 40分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（9分） 20. （9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （8分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（12分） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章~第22章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 变形结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果，则（　　） A． B． C． D． 5．如果，，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．城市花园街道计划5月举办一次街道内各小区足球联谊赛，赛制为单循环制（每两队比赛一场），计划邀请个参赛队，举办21场比赛，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．估计的值应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 8．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 9．二次根式除法可以这样做：如果．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的是（　　） A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 10．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：①，②；③；④，其中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 12．已知，化简二次根式的正确结果是 ． 13．我们对一个四边形顶点和边都赋给一个特征值，并定义：两组对边的特征值分别相乘再相减叫做对边值，两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫做对角值．如图：四边形的对边值为、对角值为．现在有一四边形特征值如下图，已知该四边形对边值等于对角值，则图中的特征值x的值为 ．    14．已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”．（1）的“还原方程”是 ；（2）若，则代数式 ． 15．方程的较大的根为p，方程的较小的根为q， ． 16．若，则的最大值是 ． 17．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） 18．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①；②；③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有 （写出所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题每题9分，21-22题每题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（满分9分）计算：(1)；(2)； (3)． 20.（满分9分）解一元二次方程：(1)；(2)．(3) 21．（满分8分）已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 22．（满分8分）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ______， ______； (2)计算：． 23．（满分10分）根据以下素材，完成任务一、二、三： 你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一 矩形就是长方形，四个角都是；两组对边平行且相等 素材二 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙． 素材三 我们在学习二次根式时，常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简，我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的． 操作步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点D折出，矩形（图5）就是黄金矩形． 解决问题 任务一 化简： 任务二 请说明矩形是黄金矩形的理由； 任务三 如图5，若，连接，求点E到线段的距离． 24．（满分10分）某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件． 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会使B款服装月销售量减少10件． 问题解决 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？ 25．（满分12分）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；            ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即．这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 26．（满分12分）【发现问题】由得，；如果两个正数，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】请根据上面材料回答下列问题： （1） ； ．（用“=”“>”“<”填空）；（2）当，式子的最小值为_______； 【能力提升】（3）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）若，则当_______时，式子取到最_______值（填“大”或“小”），最值为_______； 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D C B C C B B D B 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．2 12． 13．1或 14． 4 15．2025 16． 17．②③④ 18．②④ 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题每题9分，21-22题每题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（满分9分） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式；（3分） （2）解：原式；（6分） （3）解：原式．（9分） 20.（满分9分） 【答案】(1)， (2)，(3) 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，；（3分） （2）解：， ， ，即， ， 解得：，．（6分） （3）解： 或， ∴；（9分） 21．（满分8分） 【答案】(1)见解析(2)或 【详解】（1）解：当时，方程为一元一次方程，必有一解；（1分） 当时，方程为一元二次方程， ，∴一元二次方程有两个实数根；（3分） 综上：不论取什么实数值，这个方程总有实数根；（4分） （2）解：∵方程有两个整数根， ∴方程为一元二次方程，即，，，（5分） ∴或，解得：或，（7分） ∵为整数，方程的两个根也都为整数，∴，解得：或．（8分） 22．（满分8分） 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵， ∴，，故答案为：，．（2分） （2）解：∵， ∴，解得：，（4分） ∴，∴，（5分） ∵， ∴，解得：，（6分） ∴，∴， ∴．（8分） 23．（满分10分） 【答案】任务一：；任务二：见解析；任务三： 【详解】解：任务一：；（2分） 任务二：设，由题意得：，∴， 由勾股定理得：，∴，（4分） ∴，∴；∴四边形是黄金矩形；（5分） 任务三：∵四边形是黄金矩形，∴；（6分） 由折叠知四边形是正方形，∴，（7分） ∴，∴，∴；（8分） 设点E到线段的距离为h，∴，（9分） 即，∴；即点E到线段的距离为．（10分） 24．（满分10分） 【答案】问题1：22000元；问题2：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为；问题3：A款服装应降价10元 【详解】解：问题1：根据题意得：（元）． 答：6月份销售A，B两款服装的利润之和为22000元；（2分）        问题2：设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长举为x， 由题意可以列出方程，（4分） 解得（不合题意，舍去）， 答：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为．        （6分）    问题3：设A款服装应降价y元， 由题意可以列出方程．（8分） 解得． 答：A款服装应降价10元．（10分） 25．（满分12分） 【答案】(1)；(2)，图形见详解；(3)，． 【详解】（1）由得；；∴ ∴原方程的另一个根是．故答案为：（2分） （2）将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，      （4分） 则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长，∴，即．（8分） （3）∵中间围成的正方形面积为4，∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长，∴，即．∴方程的一个正根为． 故答案为：，．．    （12分） 26．（满分12分） 【答案】（1），；（2）2；（3）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；（4）​ ，大 ， 【详解】解：（1）由题意，∵当，时，，当且仅当时取到等号， ∴；故答案为：，；（2分） （2）当，令，， ∴由，可得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为2． ∴式子的最小值为2；（4分） （3）由题意，设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y米， ∴，∴．∴所用篱笆的长为米，∴（米）， ∵当且仅当时，的值最小，∴或（负值舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米．（8分） （4）∵，令，则，∴原式可转化为： ∵，∴，当且仅当时，等号成立， ∵，∴（负值舍去）∴，∴，此时 ∴当 ​ 时，式子 取到最 大 值，最值为．（12分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：华东师大版九年级上册第21章~第22章。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列二次根式中能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； B、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； C、，与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误； D、，与是同类二次根式，能合并，故本选项正确；故选：D． 2．用配方法解方程 变形结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵∴移项，得， 则配方，得，即，故选：D 3．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列关于的值判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且，故选：C 4．如果，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，∴，解得故选B． 5．如果，，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴，，∴，无意义， ∴选项A的结论不正确，不符合题意； ∵，∴选项B的结论不正确，不符合题意； ∵，∴选项C的结论正确，符合题意； ∵，∴选项D的结论不正确，不符合题意，故选：C． 6．城市花园街道计划5月举办一次街道内各小区足球联谊赛，赛制为单循环制（每两队比赛一场），计划邀请个参赛队，举办21场比赛，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：．故选：C． 7．估计的值应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【详解】解：， ∵，∴，即，∴， 即的值应在在0和1之间，故选：B． 8．关于x的一元二次方程的两个根为，且，则的值为（　　） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵的两根为，∴．， ∵，∴，，∴， ∴．∴．故选：B． 9．二次根式除法可以这样做：如果．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的是（　　） A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【详解】解：，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ∵a是的小数部分，∴，∴，故②错误； ∵，， 又∵，， ∴，∴，∴，∴，故③正确； ∵ ，故④正确； ⑤∵，∴， ∵，∴，，∴，∴， ∵，∴，， ，，， ∵，∴，即，解得，故⑤正确．故选：D． 10．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：①，②；③；④，其中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，，，∴①③正确，②不正确； ∵，∴④不正确，故答案为：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分．） 11．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式， ，，故答案为：． 12．已知，化简二次根式的正确结果是 ． 【答案】 【详解】解：由中被开方数总要大于等于0可知，∵分母，∴分子，则， 又，则，∴，故答案为：． 13．我们对一个四边形顶点和边都赋给一个特征值，并定义：两组对边的特征值分别相乘再相减叫做对边值，两组对角所在顶点的特征值分别相乘再相加叫做对角值．如图：四边形的对边值为、对角值为．现在有一四边形特征值如下图，已知该四边形对边值等于对角值，则图中的特征值x的值为 ．    【答案】1或 【详解】解：由题意可得：四边形的对边值为： 对角值为： 由题意可得：，即 解得或 故答案为：1或 14．已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”．（1）的“还原方程”是 ；（2）若，则代数式 ． 【答案】 4 【详解】解：（1），去分母得：，移项得：， 两边平方得：，整理得：， ∴的“还原方程”是，故答案为：； （2）当时， ，故答案为：4． 15．方程的较大的根为p，方程的较小的根为q， ． 【答案】2025 【详解】解：，， ，∴，解得，， ∵较大根为p，∴，由方程，，解得：，， ∵较小根为q，∴，∴，故答案为：2025． 16．若，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，得，解得，设，则，故， 故， 而，故，故当时，此时，y取最大值，且为．故答案为：． 17．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】②③④ 【详解】解：①解方程得：， ∴方程不是倍根方程，故①不正确； ②∵是倍根方程，且，， ∴或，∴或，∴，故②正确； ③∵，解方程得：，，∴，故③正确； ④∵方程是倍根方程，∴设， ∵，即，∴，∴， ∴，即方程的一个根为1．故④正确． 综上所述，说法正确的为：②③④．故答案是：②③④ 18．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①；②；③若（其中为有理数）则； ④若，则．以上结论正确的有 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】②④ 【详解】解：①，故①错误，不合题意； ②，故②正确，符合题意； ③ ， 若，则，解得，∴，故③错误， ④∵， 又∵，∴，故④正确，符合题意； 综上，结论正确的有个，故答案为：②④． 三、解答题（本题共8小题，共78分．其中：19-20题每题9分，21-22题每题8分，23-24题每题10分，25-26题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（满分9分）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式；（3分） （2）解：原式；（6分） （3）解：原式．（9分） 20.（满分9分）解一元二次方程： (1)；(2)．(3) 【答案】(1)， (2)，(3) 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，；（3分） （2）解：， ， ，即， ， 解得：，．（6分） （3）解： 或， ∴；（9分） 21．（满分8分）已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析(2)或 【详解】（1）解：当时，方程为一元一次方程，必有一解；（1分） 当时，方程为一元二次方程， ，∴一元二次方程有两个实数根；（3分） 综上：不论取什么实数值，这个方程总有实数根；（4分） （2）解：∵方程有两个整数根， ∴方程为一元二次方程，即，，，（5分） ∴或，解得：或，（7分） ∵为整数，方程的两个根也都为整数，∴，解得：或．（8分） 22．（满分8分）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：(1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ______， ______；(2)计算：． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：∵， ∴，，故答案为：，．（2分） （2）解：∵， ∴，解得：，（4分） ∴，∴，（5分） ∵， ∴，解得：，（6分） ∴，∴， ∴．（8分） 23．（满分10分）根据以下素材，完成任务一、二、三： 你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一 矩形就是长方形，四个角都是；两组对边平行且相等 素材二 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙． 素材三 我们在学习二次根式时，常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简，我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的． 操作步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图4中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点D折出，矩形（图5）就是黄金矩形． 解决问题 任务一 化简： 任务二 请说明矩形是黄金矩形的理由； 任务三 如图5，若，连接，求点E到线段的距离． 【答案】任务一：；任务二：见解析；任务三： 【详解】解：任务一：；（2分） 任务二：设，由题意得：，∴， 由勾股定理得：，∴，（4分） ∴，∴；∴四边形是黄金矩形；（5分） 任务三：∵四边形是黄金矩形，∴；（6分） 由折叠知四边形是正方形，∴，（7分） ∴，∴，∴；（8分） 设点E到线段的距离为h，∴，（9分） 即，∴；即点E到线段的距离为．（10分） 24．（满分10分）某服装店在销售A，B两款服装时，销售员记录了从4月到6月的销售情况，请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题． 素材1 A款服装每销售一件可盈利100元，已知4月份销售量为64件，且销售量逐月递增，6月份销售量达到100件． B款服装每销售一件可盈利150元，每月的销售量均为80件． 素材2 7月开始换季，服装店仅对A款服装进行降价销售，根据往年数据测算：以6月份的月销售量为基准，A款服装每降5元，其月销售量增加25件，同时会使B款服装月销售量减少10件． 问题解决 问题1：求6月份销售A，B两款服装的利润之和． 问题2：求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率． 问题3：为了使7月份销售A，B两款服装的利润之和达到22500元，那么A款服装应降价多少元？ 【答案】问题1：22000元；问题2：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为；问题3：A款服装应降价10元 【详解】解：问题1：根据题意得：（元）． 答：6月份销售A，B两款服装的利润之和为22000元；（2分）        问题2：设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长举为x， 由题意可以列出方程，（4分） 解得（不合题意，舍去）， 答：A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为．        （6分）    问题3：设A款服装应降价y元， 由题意可以列出方程．（8分） 解得． 答：A款服装应降价10元．（10分） 25．（满分12分）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；            ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即．这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）． (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________． 【答案】(1)；(2)，图形见详解；(3)，． 【详解】（1）由得；；∴ ∴原方程的另一个根是．故答案为：（2分） （2）将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，      （4分） 则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长，∴，即．（8分） （3）∵中间围成的正方形面积为4，∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长，∴，即．∴方程的一个正根为． 故答案为：，．．    （12分） 26．（满分12分）【发现问题】由得，；如果两个正数，即，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】请根据上面材料回答下列问题： （1） ； ．（用“=”“>”“<”填空）；（2）当，式子的最小值为_______； 【能力提升】（3）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）若，则当_______时，式子取到最_______值（填“大”或“小”），最值为_______； 【答案】（1），；（2）2；（3）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米；（4）​ ，大 ， 【详解】解：（1）由题意，∵当，时，，当且仅当时取到等号， ∴；故答案为：，；（2分） （2）当，令，， ∴由，可得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为2． ∴式子的最小值为2；（4分） （3）由题意，设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为y米， ∴，∴．∴所用篱笆的长为米，∴（米）， ∵当且仅当时，的值最小，∴或（负值舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米．（8分） （4）∵，令，则，∴原式可转化为： ∵，∴，当且仅当时，等号成立， ∵，∴（负值舍去）∴，∴，此时 ∴当 ​ 时，式子 取到最 大 值，最值为．（12分） 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$