2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 题型1：解一元二次不等式 3  解不含参数的一元二次不等式 3  解含参数的一元二次不等式 5 题型2：求解一元二次不等式的恒成立问题 8 题型3：已知解集求参数 10 题型4：解分式不等式 12 题型5：一元二次不等式的实际应用 14 【强化训练】 16 1. 一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或，其中均为常数，. 2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集. 我们知道，对于一元二次方程，设，它的根按照，，可分为三种情况.相应地，二次数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式和的解集，具体如下表. 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 (即“大于取两边”) R 的解集 (即“小于取中间”) · 当时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图像直接进行判定，此时图像开口向下；②两边同乘-1，把（负数）转变成-（正数）再进行求解. 3. 求解一元二次不等式的过程 我们以求解可化成形式的不等式为例，用框图表示其求解过程. 4. 分式不等式 若与是关于的多项式，则不等式（，或，或）称为分式不等式. 解分式不等式的原理是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.即 (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 题型1：解一元二次不等式 · 解不含参数的一元二次不等式 方法提炼 方法一:若一元二次不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集。 方法二:若一元二次不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,不等式的解集易得。 方法三:若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法。 【例1.1.】 解下列关于x的不等式： (1) ； (2)； (3); (4). 【答案】(1); (2); (3); (4) 【详解】（1）由，得，即， 所以，所以不等式的解集为. （2）原不等式可化为. 对于方程，因为， 所以二次函数的图象开口向上，与轴无交点， 如图所示.结合图象可得，原不等式的解集为. （3）， 又，所以， 即不等式的解集为； （4）对于方程，因为， 所以它的两个根分别为和， 所以不等式的解集为； 【例1.2.】 不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】原不等式即，解得，所以， 所以解集为． 故选：A. · 解含参数的一元二次不等式 方法提炼 解含参数的一元二次不等式的几种类型 (1) 若二次项系数含有参数,则需对二次项系数分等于0,大于0,小于0三种情况进行讨论。 (2) 若能直接求出对应方程的两根,且两根中含有参数,因为在写解集时要结合两根的大小,所以需对两根的大小进行讨论。对参数进行的讨论,是根据解题的需要自然引出的,并非一开始就对参数加以分类讨论。 (3) 若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式进行讨论。 【例1.3.】 解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【例1.4.】 关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD 【例1.5.】 （1）求不等式的解集． （2）解关于的不等式． 【详解】（1）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （2）当，或时，原不等式无解； 当，或时，有，此时，不等式的解集为； 当时，有，此时，不等式的解集为. 综上，当，或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当，或时，解集为． 题型2：求解一元二次不等式的恒成立问题 方法提炼 已知某个一元二次不等式恒成立,求式子中某些参数的范围是常考的题型之一,主要有以下方法: (1) 利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题。 1　 当未说明不等式为一元二次不等式时，有 不等式对任意实数恒成立⇔或 不等式对任意实数恒成立⇔或 2　 一元二次不等式对任意实数恒成立⇔ 3　 一元二次不等式对任意实数恒成立⇔ (2) 分离自变量和参变量，利用等价转化思想将一元二次不等式恒成立问题转化为的恒成立问题： 1　 若在自变量的取值范围内存在最大值，则恒成立⇔ . 2　 若在自变量的取值范围内存在最小值，则恒成立⇔ . 【例2.1.】 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为：. 【例2.2.】 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 【例2.3.】 （1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若不等式对所有恒成立，求实数的取值范围为 ． （3）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 【答案】 （1） （2） （3） / 【详解】（1）若，则不等式为，显然恒成立； 若对一切实数都成立， 则解得． 综上所述，当时，对一切实数都成立． （2）原不等式变形为： 要使对所有 恒成立，需小于的最小值。 由基本不等式（当且仅当时取等号），因此的最小值为2。 故 ，即的取值范围是. （3）分离参数法，知道的取值范围求的最小值，则是变量，是参数． 因为，所以，则，即． 令，则大于或等于的最大值即可． ，则．故实数的最小值为． 题型3：已知解集求参数 方法提炼 已知解集求参数问题的基本求解方法： 若已知一元二次不等式的解集,则由一元二次不等式解集可逆向推知它的系数所满足的条件，即相应的一元二次方程的根或根的判别式的情况及二次项系数的正负性，再利用根与系数的关系即可解决问题。 【例3.1.】 已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 【答案】或 【详解】由关于的不等式的解是， 则和是方程的两个实根， 由根与系数的关系得，整理得， 则当时，关于的不等式转化为，解得； 当时，关于的不等式转化为，解得． 综上关于的不等式的解为或． 故答案为：或． 【例3.2.】 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由题意得，，方程的两根为， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为. 故选：C. 【例3.3.】 （多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 题型4：解分式不等式 方法提炼 几种常见分式不等式的求解方法 (1) 对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式(组)求解,但要注意分母不为零。 (2) 对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使不等号右边为零,然后再用上述方法求解。 (3) 对于高次不等式一般用数轴标根法。 用数轴标根法求解的要求:①不等号一边为0,另一边为一次因式(或二次不可约因式)积的形式,且要求各一次项(或二次项)系数为正;②从右上方蛇形穿过各根即可(奇过偶不过);③能取到的根标实点，不能取到的根标空心圆圈；④用阴影表示出原不等式的解集。 【例4.1.】 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则不等式解集为. 故选：B 【例4.2.】 不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 故答案为： 【例4.3.】 写出下列不等式的解集： （1） ； （2） ； （3） ； （4）其中 . 【答案】 (1) 或;(2)或; (3) ; (4) 【详解】（1）原不等式可化为或， 即或． 由图可知，原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为，即， 即或，即或． 由图可知，原不等式的解集为或. （3）由，则， 等价为，解得； （4）由，则，等价于，解得， 由，则，等价于，解得， 所以不等式组的解集为. 题型5：一元二次不等式的实际应用 【例5.1.】 某厂家生产某种产品的总成本（元）与产量（个）之间的关系为，若该产品的售价为200元/个，要使厂家盈利，则至少需要出售该产品 个． 【答案】16 【详解】因为该产品的售价为200元个， 所以， 即，解得或（舍去）， 所以至少需要出售该产品16个才能盈利. 故答案为：16 【例5.2.】 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 【例5.3.】 若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中．一名同学以初速度竖直上抛一个排球． (1)若，求排球在离抛出点不少于10m且不超过15m的位置的停留时间； (2)若要使排球能够在离抛出点不少于5m的位置停留2s以上，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由解得或， 由，解得， 综上的解为或， 即排球在离抛出点不少于10m且不超过15m的位置的停留时间为； （2）由题意，即， 对于方程，令即， 方程的两个实数根为，， 所以不等式的解集为， 由于要使排球能够在离抛出点不少于5米的位置停留2s以上， 则，即， 解得，所以的最小值为． 【强化训练】 1. 已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3， 则由韦达定理：，解得． 故选：B 2. (多选)已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 3. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 4. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 5. 某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    【答案】 【详解】因为花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为， 由题意知，，， 所以， 根据题意得， 整理得，解得（舍去）或， 所以． 当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 故答案为：. 6. 不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由题意可得：， 即，即， 所以， 由数轴穿根法可得， 所以解集为或或． 故答案为：或或. 7. 某小区内有一个矩形花坛，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示.已知，.要使矩形AMPN的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】或 【详解】设的长为x（）m，则的长为m. 易知，所以， 所以矩形的面积. 由矩形的面积大于，得. 又，所以，解得或， 即DN的长的取值范围是. 8. （1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围； （2）已知，求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【详解】（1）根据题意，恒成立， 显然当时，不成立， 则，解得； （2）， 当时，，则， 当时，令，则，或，此时，∴或， 当时，即时，， 当，即时，， 当时，即时，， 综上所述:当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，； 当时，解集为. 9. 已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知，且在时恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，且，求的取值范围． 【答案】(1)或． (2)． (3)． 【详解】（1）当时，，即， 解得或．故不等式的解集为或． （2）由①，因时，， 将①式分离参数得，因，所以． （3）由题意可知，且解得或， 又，可得，故， 因， 由可得，则有， 故的取值范围是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目录 题型1：解一元二次不等式 3  解不含参数的一元二次不等式 3  解含参数的一元二次不等式 4 题型2：求解一元二次不等式的恒成立问题 5 题型3：已知解集求参数 6 题型4：解分式不等式 7 题型5：一元二次不等式的实际应用 8 【强化训练】 9 1. 一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或，其中均为常数，. 2. 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集. 我们知道，对于一元二次方程，设，它的根按照，，可分为三种情况.相应地，二次数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式和的解集，具体如下表. 的图象 的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 (即“大于取两边”) R 的解集 (即“小于取中间”) · 当时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图像直接进行判定，此时图像开口向下；②两边同乘-1，把（负数）转变成-（正数）再进行求解. 3. 求解一元二次不等式的过程 我们以求解可化成形式的不等式为例，用框图表示其求解过程. 4. 分式不等式 若与是关于的多项式，则不等式（，或，或）称为分式不等式. 解分式不等式的原理是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.即 (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 题型1：解一元二次不等式 · 解不含参数的一元二次不等式 方法提炼 方法一:若一元二次不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集。 方法二:若一元二次不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,不等式的解集易得。 方法三:若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法。 【例1.1.】 解下列关于x的不等式： (1) ； (2)； (3); (4). 【例1.2.】 不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 · 解含参数的一元二次不等式 方法提炼 解含参数的一元二次不等式的几种类型 (1) 若二次项系数含有参数,则需对二次项系数分等于0,大于0,小于0三种情况进行讨论。 (2) 若能直接求出对应方程的两根,且两根中含有参数,因为在写解集时要结合两根的大小,所以需对两根的大小进行讨论。对参数进行的讨论,是根据解题的需要自然引出的,并非一开始就对参数加以分类讨论。 (3) 若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式进行讨论。 【例1.3.】 解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【例1.4.】 关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 （1）求不等式的解集． （2） 解关于的不等式． 题型2：求解一元二次不等式的恒成立问题 方法提炼 已知某个一元二次不等式恒成立,求式子中某些参数的范围是常考的题型之一,主要有以下方法: (1) 利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题。 1　 当未说明不等式为一元二次不等式时，有 不等式对任意实数恒成立⇔或 不等式对任意实数恒成立⇔或 2　 一元二次不等式对任意实数恒成立⇔ 3　 一元二次不等式对任意实数恒成立⇔ (2) 分离自变量和参变量，利用等价转化思想将一元二次不等式恒成立问题转化为的恒成立问题： 1　 若在自变量的取值范围内存在最大值，则恒成立⇔ . 2　 若在自变量的取值范围内存在最小值，则恒成立⇔ . 【例2.1.】 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【例2.2.】 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【例2.3.】 （1）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 ． （2）若不等式对所有恒成立，求实数的取值范围为 ． （3）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 ． 题型3：已知解集求参数 方法提炼 已知解集求参数问题的基本求解方法： 若已知一元二次不等式的解集,则由一元二次不等式解集可逆向推知它的系数所满足的条件，即相应的一元二次方程的根或根的判别式的情况及二次项系数的正负性，再利用根与系数的关系即可解决问题。 【例3.1.】 已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 【例3.2.】 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（   ） A．-2 B．1 C．2 D． 【例3.3.】 （多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 题型4：解分式不等式 方法提炼 几种常见分式不等式的求解方法 (1) 对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式(组)求解,但要注意分母不为零。 (2) 对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使不等号右边为零,然后再用上述方法求解。 (3) 对于高次不等式一般用数轴标根法。 用数轴标根法求解的要求:①不等号一边为0,另一边为一次因式(或二次不可约因式)积的形式,且要求各一次项(或二次项)系数为正;②从右上方蛇形穿过各根即可(奇过偶不过);③能取到的根标实点，不能取到的根标空心圆圈；④用阴影表示出原不等式的解集。 【例4.1.】 不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 不等式的解集为 ． 【例4.3.】 写出下列不等式的解集： （1） ； （2） ； （3） ； （4）其中 . 题型5：一元二次不等式的实际应用 【例5.1.】 某厂家生产某种产品的总成本（元）与产量（个）之间的关系为，若该产品的售价为200元/个，要使厂家盈利，则至少需要出售该产品 个． 【例5.2.】 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【例5.3.】 若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中．一名同学以初速度竖直上抛一个排球． (1)若，求排球在离抛出点不少于10m且不超过15m的位置的停留时间； (2)若要使排球能够在离抛出点不少于5m的位置停留2s以上，求的最小值． 【强化训练】 1. 已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2. (多选)已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 3. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 5. 某单位在对一个长，宽的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，则花坛宽度的取值范围是 .    6. 不等式的解集为 ． 7. 某小区内有一个矩形花坛，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点B在上，点D在上，且对角线过点C，如图所示.已知，.要使矩形AMPN的面积大于，则的长应在什么范围内？ 8. （1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围； （2）已知，求关于x的不等式的解集. 9. 已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)已知，且在时恒成立，求的取值范围； (3)若关于的方程有两个不相等的实数根，且，求的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$