专题2.3 整式的加法与减法（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题2.3 整式的加法与减法 教学目标 1. 理解同类项概念，能准确识别同类项，掌握合并同类项法则并熟练运算。 2. 掌握去括号法则，能正确去括号后合并同类项，进行整式加减运算。 3. 会列整式表示实际问题，运用加减运算解决简单实际问题，提升应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）同类项的识别与合并同类项，这是整式加减的基础，需熟练掌握法则。 （2） 去括号法则的应用，尤其括号前是负号时的变号规则，确保运算正确。 2.难点 （1）括号前是负号且括号内有多项时，去括号变号容易出错，难以准确操作。 （2）复杂整式加减中，合并同类项与去括号步骤结合时易混淆，运算易出错。 知识点01 同类项、合并同类型 1.同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 【即学即练1-1】下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【即学即练1-2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 去（添）括号法则 1. 若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 2. 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据； （2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉； （3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号； （4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项； （5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号. 【即学即练2】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点03 整式的加法与减法 1.整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （3）运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列. 2.整式加减的一般步骤 （1）如果有括号，那么先去括号；（2）观察有无同类项；（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项； （4）合并同类项. 【即学即练3-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【即学即练3-2】先化简，再求值：，其中，． 题型1 同类型的判断 【典例1】下列两项是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】下面各项与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式中，是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3】在①；②；③；④；⑤中，下列说法正确的是（　　） A．没有同类项 B．②与④是同类项 C．①与③是同类项 D．②与⑤是同类项 题型2 已知同类型求指数中字母或代数式的值 【典例2】若单项式与的差是单项式，则的值是 ． 【变式1】单项式与 是同类项，则 ． 【变式2】若单项式与单项式的和仍然是单项式，则 ． 【变式3】已知两个单项式与是同类项，则的值是 ． 题型3 合并同类型 【典例3】下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4 去括号 【典例4】下列各式中，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列等式成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5 添括号 【典例5】下列添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 题型6 整式的加减运算 【典例6】化简： (1)； (2)． 【变式1】化简： (1) (2) 【变式2】化简： (1) (2) 【变式3】化简∶ (1)； (2)． 题型7 整式的加减中化简求值 【典例7】先化简，再求值：，其中，． 【变式1】先化简，再求值：，已知，． 【变式2】先化简，再求值：，其中，． 【变式3】先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 题型8 整式的加减中的无关型问题 【典例8】小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【变式1】已知代数式． 若代数式中不含x的项． (1)求y的值； (2)求代数式 的值． 【变式2】已知：， (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【变式3】已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 题型9 整式的加减的应用 【典例9】如图，一个长方形运动场被分隔成2个A，2个B，1个C共5个区，A区是边长为的正方形，C区是边长为的正方形． (1)列式表示B区长方形场地的周长，并将式子化简； (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简； (3)如果，，求整个长方形运动场的面积． 【变式1】劳动技术课程是基础教育的重要课程之一，其根本使命是全面提高未来国民的基本劳动技术素养，培养具有技术知识、创新思维、实践能力的一代新人．我校初中部将利用学校善思楼二楼空地展开一系列的劳动实践操作活动．如图所示，善思楼教学楼边有块长为20米，宽为10米的长方形空地，现在将其余三面留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分做菜地． (1)用含的式子表示菜地的周长； (2)当米时，求菜地的周长．（精确到0.1） 【变式2】如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米． (1) ______厘米， ______厘米（用含x的整式分别表示）： (2)求长方形的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值． 【变式3】如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为． (1)从图中可知，这5块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是_______cm（用含的代数式表示）． (2)分别计算阴影，的周长（用含，的代数式表示）． (3)阴影与阴影的周长差会不会随着的变化而变化？请说明理由． 一、单选题 1．下列各式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中，去括号正确的是（     ）． A． B． C． D． 4．若单项式与的差是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．4 D．2 5．若，则的值为（　　） A． B． C．8 D．10 6．多项式的值与x的取值无关，则的值为（   ） A． B． C． D．7 二、填空题 7．写出一个能与合并的单项式 ． 8．若与的和是单项式，则 ． 9．在括号内填上适当的项： （1）( )； （2）( )． 10．一个整式减去得，则这个整式为 ． 11．有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 12．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为 ． 三、解答题 13．去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．化简下面各题 (1) (2) 15．先化简，再求值：的值，其中、． 16．先化简，再求值：，其中． 17．先化简后求值：已知，求的值． 18．先化简，后求值：，其中． 19．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，求图②中两块阴影部分的周长和（用含m，n的式子表示）． 20．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用，， 填空：_____0，_____0，_____0，____0； (2)化简：． 21．已知，． (1)当时，求的值； (2)若代数式的值与a的取值无关，求的值． 22．小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，结果答案（计算正确）为． (1)求多项式A； (2)若多项式，且满足的结果不含项和x项，求m，n的值． 23．如图，是由3种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成的大长方形，若，最小的正方形的边长为x． (1)_________，_________（用含x的式子表示）； (2)求长方形的周长（用含x的式子表示）； (3)若，请直接写出三角形的面积是_________． 24．我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)若，，． ①计算． ②小华认为无论取何值，的值都无法确定．小明认为可以找到适当的数，使代数式的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 整式的加法与减法 教学目标 1. 理解同类项概念，能准确识别同类项，掌握合并同类项法则并熟练运算。 2. 掌握去括号法则，能正确去括号后合并同类项，进行整式加减运算。 3. 会列整式表示实际问题，运用加减运算解决简单实际问题，提升应用能力。 教学重难点 1.重点 （1）同类项的识别与合并同类项，这是整式加减的基础，需熟练掌握法则。 （2） 去括号法则的应用，尤其括号前是负号时的变号规则，确保运算正确。 2.难点 （1）括号前是负号且括号内有多项时，去括号变号容易出错，难以准确操作。 （2）复杂整式加减中，合并同类项与去括号步骤结合时易混淆，运算易出错。 知识点01 同类项、合并同类型 1.同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 【即学即练1-1】下列式子中，的同类项是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 【即学即练1-2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据合并同类项法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 知识点02 去（添）括号法则 1. 若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 2. 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据； （2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉； （3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号； （4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项； （5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号. 【即学即练2】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题主要考查了去括号，解题的关键是熟练掌握去括号的法则． 利用去括号的法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，故不符合题意； B. ，该选项错误，故不符合题意； C. ，该选项错误，故不符合题意； D.该选项正确，故符合题意； 故选：D． 知识点03 整式的加法与减法 1.整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算． （3）运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列. 2.整式加减的一般步骤 （1）如果有括号，那么先去括号；（2）观察有无同类项；（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项； （4）合并同类项. 【即学即练3-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减法则是解答此题的关键． （1）合并同类项即可求解； （2）先去括号，再合并同类项即可求解； （3）先去括号，再合并同类项即可求解； （4）先去括号，再合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【即学即练3-2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 题型1 同类型的判断 【典例1】下列两项是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，即可． 【详解】A、与不是同类项； B、与不是同类项，不符合题意； C、与是同类项，符合题意； D、与不是同类项，不符合题意． 故选：C． 【变式1】下面各项与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此即可判断求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【详解】解：、与所含字母的指数不相同，不是同类项，该选项不合题意； 、与所含字母的指数不完全相同，不是同类项，该选项不合题意； 、与所含字母不完全相同，不是同类项，该选项不合题意； 、与所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，该选项符合题意； 故选：． 【变式2】下列各式中，是同类项的是（  ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据同类项定义逐项判定即可． 【详解】解：选项A中，与含有不同字母，不是同类项，故不符合题意； 选项B中，所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故符号题意； 选项C中，不含字母，含有字母，不是同类项，故不符合题意； 选项D中，与所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项，故不符合题意； 故选：B 【变式3】在①；②；③；④；⑤中，下列说法正确的是（　　） A．没有同类项 B．②与④是同类项 C．①与③是同类项 D．②与⑤是同类项 【答案】B 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查了同类项．根据同类项的定义“所含字母相同，并且相同字母的指数相同的项叫同类项”分别进行判断即可． 【详解】解：②和④都含有， 所以②和④是同类项，B选项符合题意； 故选：B． 题型2 已知同类型求指数中字母或代数式的值 【典例2】若单项式与的差是单项式，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义、合并同类项、代数式求值等知识点，根据同类项的定义求出m、n的值成为解题的关键 由题意可得与是同类项，根据同类项的定义求出m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意可得与是同类项， ∴，解得：， ∴． 故答案为：2． 【变式1】单项式与 是同类项，则 ． 【答案】2 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项，根据相同字母的指数相同列方程（或方程组）求解即可． 【详解】解∶∵单项式与 是同类项， ∴且， 解得且， ∴． 故答案为：2． 【变式2】若单项式与单项式的和仍然是单项式，则 ． 【答案】4 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】根据单项式与单项式的和仍然是单项式，得到，得到，计算即可． 本题考查了同类项即含有字母相同且相同字母的指数相同，是解题的关键． 【详解】∵单项式与单项式的和仍然是单项式， ∴， 解得， 故， 故答案为：4． 【变式3】已知两个单项式与是同类项，则的值是 ． 【答案】4 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】此题主要考查了同类项，正确把握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解题关键． 直接利用同类项的定义求出m、n的值，代入计算即可． 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， ， 故答案为：4． 题型3 合并同类型 【典例3】下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查了合并同类项，掌握合并同类项的方法成为解题的关键． 根据合并同类项系数相加减、字母部分不变进行解答即可． 【详解】解：A. ，计算正确，符合题意；     B. 与不是同类项，不能合并，故不符合题意；     C. ，故该选项计算错误，不符合题意；     D. ，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 【变式1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项法则，能熟记合并同类项法则（把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变）是解此题的关键．根据合并同类项法则逐个判断即可． 【详解】解：A．和不能合并，故本选项不符合题意； B．和不能合并，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：和不是同类项，不能进行计算，故选项A错误； ，，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D错误； 故选B． 【变式3】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，熟练运用合并同类项的法则是解题关键． 利用合并同类项的法则判断即可． 【详解】解：A、，故选项计算错误， B、，正确； C、，不是同类项，不能合并； D、，不是同类项，不能合并； 故选：B 题型4 去括号 【典例4】下列各式中，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】去括号 【分析】本题主要考查了去括号，理解并掌握去括号法则是解题关键．去括号的原则即遇正不变，遇负变号，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项错误，不符合题意； B. ，故本选项错误，不符合题意； C. ，本选项正确，符合题意； D. ，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】此题考查了去括号，熟练掌握去括号法则是解本题的关键． 利用去括号法则逐项计算并判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】下列等式成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】此题考查了去括号法则，根据去括号法则正确计算后即可得到答案. 【详解】解：A. ，故选项不成立，不符合题意； B. ，故选项不成立，不符合题意； C. ，故选项不成立，不符合题意；     D. ，故选项成立，符合题意. 故选：D 【变式3】下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】去括号 【分析】本题考查了整式加减，去括号法则，利用去括号法则：括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的各项都变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的各项都不变号．逐一去掉括号与原题比较得出答案即可． 【详解】解：A．，故原式错误，不符合题意； B．，故原式错误，不符合题意； C．，故原式正确，符合题意； D．，故原式错误，不符合题意； 故选：C． 题型5 添括号 【典例5】下列添括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添括号 【分析】本题主要考查了添括号的知识，熟练掌握添括号法则是解题关键．添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐项分析判断即可． 【详解】解∶∵， ∴选项A、B、D运算错误，不符合题意， 选项C运算正确，符合题意． 故选：C． 【变式1】下列添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添括号 【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐个判断即可． 【详解】解：A．，选项A错误； B． ，选项B错误； C．，选项C正确； D．，选项D错误． 故选：C． 【变式2】下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添括号 【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 根据添括号的法则对每一项进行判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，故原式不正确； C、，正确； D、，正确； 故选：B． 【变式3】下列添括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添括号 【分析】本题考查添括号的方法：添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号．根据添括号法则逐个判断即可． 【详解】解∶A．，故选项A正确，不符合题意； B． ，故选项B正确，不符合题意； C．，故选项C正确，不符合题意； D．，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 题型6 整式的加减运算 【典例6】化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减运算： （1）去括号后，合并同类项即可； （2）去括号后，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】化简∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，正确进行去括号、合并同类项是解题关键． （1）利用合并同类项法则计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型7 整式的加减中化简求值 【典例7】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了去括号法则，合并同类项，熟记去括号法则和合并同类项法则是解题关键． 先去括号，然后合并同类项，然后将，的值代入计算即可得． 【详解】解： 其中，， 则 【变式1】先化简，再求值：，已知，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的化简求值．整式的混合运算，先去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值．解题的关键是去括号、合并同类项，正确代入计算． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【变式2】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，先去括号，再合并同类项即可化简，再代入，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： 当，时，原式． 【变式3】先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】此题主要考查了整式的化简求值．熟练掌握去括号，合并同类项，再把给定字母的值代入计算，是解决问题的关键． （1）原式去括号后合并同类项得到最简结果，再将x的值代入计算即可求出值． （2）原式先去小括号合并同类项，接着去中括号合并同类项，再去大括号合并同类项，得到最简结果，最后将x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当，时， 原式． 题型8 整式的加减中的无关型问题 【典例8】小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知． (1)求整式A； (2)若的值与无关，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式的加减运算、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、无关性问题等知识点，灵活运用整式的加减运算法则成为解题的关键 （1）根据，列式计算即可． （2）由（1）得出多项式A，然后根据整式的加减运算法则化简，然后让x的系数为零即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， ∴． （2）解： ， ∵的值与无关， ∴， ∴． 【变式1】已知代数式． 若代数式中不含x的项． (1)求y的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，注意计算的准确性即可． （1）计算，令x的项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可. 【详解】（1）解： ∵代数式中不含x的项， ∴， 解得： （2）解： 【变式2】已知：， (1)化简：； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟知与的取值无关即含的项的系数为是解题的关键． （1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据的值与的取值无关，求出的式子中含的项的系数为，据此求解即可． 【详解】（1）解：，， ； （2） ， 的值与的取值无关， 的值与的取值无关， ， 解得：． 【变式3】已知，． (1)当时，求的值； (2)若的值与a的取值无关，求b的值，并求的值． 【答案】(1)27 (2)， 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）根据整式的加减计算法则求出的结果，再把整体代入求解即可； （2）将在（1）的基础上，进一步化简，要使的值与a的取值无关，则令含有a的项的系数为0即可就出b的值，再带入即可求解的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵， ∴原式； （2）解；由（1）可得， ∵的值与a的取值无关， ∴， ∴， ∴。 题型9 整式的加减的应用 【典例9】如图，一个长方形运动场被分隔成2个A，2个B，1个C共5个区，A区是边长为的正方形，C区是边长为的正方形． (1)列式表示B区长方形场地的周长，并将式子化简； (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简； (3)如果，，求整个长方形运动场的面积． 【答案】(1)B区长方形场地的周长为 (2)整个长方形运动场的周长为 (3)整个长方形运动场的面积为 【知识点】用代数式表示式、整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查列代数式、去括号、合并同类项、求代数式的值等知识点，结合图形、理解每个正方形和长方形的边的表示方法是解题的关键． （1）由图形可知，B区长方形场地的长和宽分别可以由正方形A和正方形C的边长表示，列出代数式后再去括号、合并同类项即可解答； （2）整个长方形运动场的长为,宽为,列出代数式再去括号、合并同类项即可解答； （3）先列代数式，再将a、c的值代入所列的代数式求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，B区长方形场地的长为，宽为， ∴， ∴B区长方形场地的周长为． （2）解：由题意得，整个长方形运动场的长为，宽为， ∴， ∴整个长方形运动场的周长为． （3）解：∵整个长方形运动场的长为，宽为， ∴整个长方形运动场的面积为， 当，时，， ∴整个长方形运动场的面积为． 【变式1】劳动技术课程是基础教育的重要课程之一，其根本使命是全面提高未来国民的基本劳动技术素养，培养具有技术知识、创新思维、实践能力的一代新人．我校初中部将利用学校善思楼二楼空地展开一系列的劳动实践操作活动．如图所示，善思楼教学楼边有块长为20米，宽为10米的长方形空地，现在将其余三面留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分做菜地． (1)用含的式子表示菜地的周长； (2)当米时，求菜地的周长．（精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)菜地的周长是米． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查了代数式的应用，关键根据长方形的周长公式列出代数式，并用代入法求出结果． （1）根据长方形的长20米，菜地的两边小路宽米，用减法表示出菜地的长；再根据长方形的宽10米，菜地的一边小路宽米，用减法表示出菜地的宽，最后用周长公式表示出菜地的面积； （2）把代入菜地周长的代数式中，即可求出答案． 【详解】（1）解：， 米； （2）解：（米）， 答：菜地的周长是米． 【变式2】如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形，其中厘米，最小的正方形的边长为x厘米． (1) ______厘米， ______厘米（用含x的整式分别表示）： (2)求长方形的周长（用含x的整式表示），当厘米时，求其值． 【答案】(1)； (2)厘米；厘米 【知识点】用代数式表示式、整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，理解各个图形的边长之间的数量关系是解答本题的关键． （1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答； （2）分别表示出和，然后再表示出周长，最后将代入计算． 【详解】（1）解：由图可知：厘米， 厘米； （2）解：长方形的宽为：厘米， 长为：厘米， 则长方形的周长为：厘米， 当时，（厘米）． 【变式3】如图，长为，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为． (1)从图中可知，这5块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是_______cm（用含的代数式表示）． (2)分别计算阴影，的周长（用含，的代数式表示）． (3)阴影与阴影的周长差会不会随着的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影的周长为，阴影的周长为 (3)阴影与阴影的周长差不会随着的变化而变化，理由见解析 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式、整式加减法的应用； （1）利用大长方形的长减去形状、大小完全相同的小长方形的宽的3倍即可得； （2）先分别求出阴影的长与宽，再根据长方形的周长公式计算即可得的周长； （3）根据整式的加减法法则计算即可得． 【详解】（1）解：由图可知，每块小长方形较长边的长是， 故答案为：； （2）解：由图可知，阴影的长为，宽为， 阴影的长为，宽为， 则阴影的周长为， 阴影的周长为； （3）解：阴影与阴影的周长差为 ， 所以阴影与阴影的周长差不会随着的变化而变化． 一、单选题 1．下列各式中，与是同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类项的概念，关键是抓住同类项概念中的两个相同：一是字母相同；二是相同字母的指数也相同．根据同类项的概念，字母相同，相同字母的指数也相同的几个单项式叫做同类项，显然所给的几个选项与的字母都相同，根据同类项的概念判断即可． 【详解】解：A．选项中字母x、y的指数与中x、y的指均数不相同，故不是同类项； B．选项中字母y的指数与中y的指数不相同，故不是同类项； C．选项中字母x、y的指数与中x、y的指均数不相同，故不是同类项； D．选项中的x、y的指数均与中x、y的指数相同，故是同类项． 故选：D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减； 根据整式的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A.和不是同类项，无法通过相加得出，原式计算错误； B.，原式计算错误； C.和不是同类项，无法通过相减得出，原式计算错误； D.，计算正确； 故选：D． 3．下列各式中，去括号正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号，去括号时，括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号，据此判断即可求解，掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 4．若单项式与的差是单项式，则的值是（   ） A．3 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减，同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 先根据整式加减法法则得出与是同类项，再根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【详解】解：∵单项式与的差是单项式， ∴与是同类项， ∴， ∴， 故选：A． 5．若，则的值为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，先将式子根据整式的加减运算法则化简，再代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：B． 6．多项式的值与x的取值无关，则的值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值，解题的关键是掌握去括号、合并同类项的法则．先根据整式的加减运算法则化简，再根据含x的项的系数为0，得出，，即可解出a、b的值，再代入所求式子运算即可． 【详解】解： 因多项式的值与x无关，故含x项的系数均为零： ∴，解得； ，解得； ∴， 故选：D． 二、填空题 7．写出一个能与合并的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了合并同类项，掌握所含字母相同且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，是本题的解题关键． 根据同类项的定义求解即可． 【详解】解：能与合并的单项式有，等， 故答案为：（答案不唯一）． 8．若与的和是单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同类项的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据同类项的定义列出关于、的方程，求出、的值，代入计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：； 9．在括号内填上适当的项： （1）( )； （2）( )． 【答案】 / 【分析】本题主要考查添括号，熟练掌握添括号的法则：“括号前是‘’号把某几项括到括号内时，括号内的各项符号不改变；括号前是‘’号把某几项括到括号内时，括号内的各项符号要改变．”是解题的关键．根据添括号的法则进行求解即可． 【详解】解：括号前是‘’号把某几项括到括号内时，括号内的各项符号要改变． （1）； （2）． 故答案为：；． 10．一个整式减去得，则这个整式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，掌握运算方法是解决问题的关键．先根据题意列出代数式，然后进行计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为： ． 11．有理数，，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】/ 【详解】此题考查了利用数轴判断式子的符号，整式加减等知识，数形结合是解题的关键． 根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：， 则，， 所以原式 ． 12．如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意求出a+b=6是解题的关键． 设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，然后根据长方形周长公式分别得到，，由此即可得到答案． 【详解】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为、， ∵两个正方形的周长和为60， ∴， ∴， ∴，， ∵长方形的周长为48， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为12， 故答案为：12 三、解答题 13．去括号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查去括号的法则，括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都不改变；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变．运用这一法则去掉括号．根据去括号的法则直接求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 14．化简下面各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先去括号，再合并同类项，然后即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，然后即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 15．先化简，再求值：的值，其中、． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当、时，原式． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】，5 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值， 先去括号，再合并同类项，然后代入求值即可. 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 17．先化简后求值：已知，求的值． 【答案】，2 【分析】先利用绝对值的非负性，偶次方的非负性，求得，，再化简待求式子，然后代入求值． 【详解】解：由已知，可得，y+1=0， 解得：，， ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，整式的加减中的化简求值，去括号，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点． 18．先化简，后求值：，其中． 【答案】，25 【分析】本题考查整式加减的化简求值，绝对值和平方的非负性． 先运用去括号法则，合并同类项法则对式子进行化简，再根据绝对值和平方的非负性求出x，y的值，代入化简后的式子即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 19．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，求图②中两块阴影部分的周长和（用含m，n的式子表示）． 【答案】图②中两块阴影部分的周长和是． 【分析】本题考查了整式加减的应用，解题关键是正确列出算式． 先列出算式，再利用整式加减化简，然后代入求值． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 则下面的阴影的周长为， 上面的阴影的周长为， 所以两块阴影部分的周长和为 ． 因为， 所以 ， 即图②中两块阴影部分的周长和是． 20．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用，， 填空：_____0，_____0，_____0，____0； (2)化简：． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查数轴、绝对值、整式的加减等知识的综合运用，解题的关键是能够根据数轴上的信息，判断出a，b，c的取值范围，同时解决此题时也要注意绝对值性质的运用． （1）根据数轴，判断出a，b，c的取值范围，进而求解； （2）根据绝对值的性质，去绝对值号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，且， ，，，， 故答案为：，，，； （2）解：由数轴可知，，且， ∴，，， ∴ 21．已知，． (1)当时，求的值； (2)若代数式的值与a的取值无关，求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了整式的加减、偶次方与绝对值的非负性，代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）先去括号，再计算整式的加减，然后根据偶次方与绝对值的非负性可得的值，代入计算即可得； （2）先将原式化简后，得到，从而可得，由该式的值与a的取值无关，得到，求出b的值即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （2） ， ∵该式的值与a的取值无关， ∴， ∴， ∴． 22．小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知，试求的值”．小马虎将看成，结果答案（计算正确）为． (1)求多项式A； (2)若多项式，且满足的结果不含项和x项，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查整式的加减，整式加减无关型，掌握整式加减运算的法则是解题的关键． （1）利用减去，求解即可； （2）先化简，根据无关型列出方程，求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ （2）∵，， ∴ ∵的结果不含项和x项， ∴，， 解得：，． 23．如图，是由3种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成的大长方形，若，最小的正方形的边长为x． (1)_________，_________（用含x的式子表示）； (2)求长方形的周长（用含x的式子表示）； (3)若，请直接写出三角形的面积是_________． 【答案】(1)， (2) (3)22 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，熟练掌握三角形面积公式和长方形周长公式，是解题的关键． （1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答； （2）分别表示出和，然后再表示出周长， （3）根据三角形的面积公式，结合，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：， ； （2）解：长方形的宽为：， 长为：， 则长方形的周长为： ． （3）解：当时， ． 24．我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，化简：； (2)若，，． ①计算． ②小华认为无论取何值，的值都无法确定．小明认为可以找到适当的数，使代数式的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)①5；②小明的说法正确，理由见解析 【分析】（）把看成一个整体，然后根据合并同类项法则计算即可； （）①将A，B代入合并求解即可； ②先化简，然后根据结果进行判断即可； 本题考查了整式的加减运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1） ； （2）① ； ②小明的说法正确，理由如下： ∴当时，即时， ∴小明的说法正确． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$