2.3.4 两条平行直线间的距离 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条平行直线间的距离，通过回顾两点间、点到直线距离公式，以“在一条直线上任取一点转化为点到直线距离”为思路，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生理解公式推导与应用脉络。 其特色在于以逻辑推理为核心，结合例2推导一般式公式、例3距离取值范围等实例，培养学生运算能力与模型意识。采用化归法与公式法系统总结，覆盖参数、最值等应用类型，学生能提升数学思维，教师可借助典型例题和清晰总结提高教学效率。

2.3.4 两条平行直线间的距离 第二章 直线和圆的方程 1 教学目标 领会两条平行到直线间的距离公式的推导过程（重点） 01 能灵活运用两条平行到直线间的距离公式解决相关问题（重点） 02 会用坐标法解决几何问题的数学思想（难点） 03 2 学科素养 两条 平行到直线间的距离公式的推导过程 逻辑推理 运用两条平行到直线间的距离公式解决相关问题 数学运算 3 前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式. 关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的. 已知平面内两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，则 已知平面内点P(x0，y0)，直线l: Ax+By+C=0，则点 P到直线l的距离为 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.     这样，求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。 两条平行直线间的距离 点到直线的距离 转化 例1.已知两条平行直线l1:2x-7y-8=0，l2:6x-21y-1=0，求l1与l2间的距离. 分析：在l1上选取一点，如l1与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到l2的距离，即l1与l2间的距离. 解：先求l1与x轴的交点A的坐标. 容易知道，点A的坐标为(4 , 0). 点A到直线l2的距离 所以l1与l2间的距离为 思考.如何取点，可使计算简单？ 分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离. 例2.求证：两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为 已知两条平行直线方程为: 则它们之间的距离为: 注意 (1)把直线方程化为直线的一般式方程; (2)两条直线方程中x,y的系数必须分别相等； (3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离. 例3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.你能求出d的取值范围吗？ 变式:上述问题中，当d取最大值时，请求出两条直线的方程． 典例解析 典型例题 例4.已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程. 思路探究：由题设知l1∥l2，故l∥l1∥l2，设出l的方程，利用距离公式表示出d1，d2.进而求出直线方程． 归纳总结 1.若直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则m的值为　　　　　,它们之间的距离为　　　　　.  解析:由m(m-2)-3=0,解得m=3或-1.经过验证,m=3时两条直线重合,舍去.∴m=-1. 巩固练习 2.已知直线l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是　　. 当两条平行直线与A,B两点的连线垂直时,两条平行直线间的距离最大. 因为A(1,1),B(0,-1).所以kAB==2,所以两条平行直线的斜率为-, 所以直线l1的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0. 3.直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程． 巩固练习 归纳总结 距离公式综合应用的三种常用类型 (1)最值问题. 利用对称转化为两点之间的距离问题. 利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离. 利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值. (2)求参数问题. 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值. (3)求方程的问题. 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解.) C B D 课 堂 练 习 4.(1)已知两平行直线l1:3x+5y+1=0和l2:6x+10y+5=0,则l1与l2间的距离为　　　.  (2)直线3x+y-3=0和直线6x+my-1=0平行,则它们之间的距离为　　　　.  (3)已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0间的距离相等,则直线l的方程为　　.  5.一束光线从原点O(0,0)出发,经过直线l:8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3),求反射光线的方程. 解　设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 ∴A的坐标为(4,3). ∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(－4,3)， 两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3. 解析：①当直线直线过原点时，在两坐标轴上的截距 相等且为0，即 设其方程为y＝kx，即kx－y＝0. 整理，得7k2－6k－1＝0， 所以所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0. ②当直线在两坐标轴上的截距相等不为0时， 设直线方程为x＋y＝a， 解析：①当直线直线过原点时，在两坐标轴上的截距 相等且为0，即 设其方程为y＝kx，即kx－y＝0. 所以所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0. ②当直线在两坐标轴上的截距相等不为0时， 设直线方程为x＋y＝a， 即a＝6或a＝2， 所求直线方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 归纳小结 1、求两条平行直线间的距离的方法 (1)转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求，体现了转化的数学思想． 则两平行直线间的距离为 解析：由上图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直． 而kAB＝eq \f(2－－1,6－－3)＝eq \f(1,3)，∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 解析：如图，显然有0<d≤|AB|. 而|AB|＝eq \r(6＋32＋2＋12)＝3eq \r(10). 故所求的d的变化范围为(0,3eq \r(10)]． [解]　由直线l1，l2的方程知l1∥l2.又由题意知， 直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)． 设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)， 由两平行线间的距离公式，得d1＝eq \f(|m＋1|,\r(13))，d2＝eq \f(|m＋13|,\r(13))， 又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|， 解得m＝－25或m＝－9. 故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 求两平行直线间距离的两种思路 1利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 2直接利用两平行线间的距离公式, 当直线l1：y＝kx＋b1,l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝eq \f(|b1－b2|,\r(k2＋1))； 当直线l1:Ax＋By＋C1＝0,l2:Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时,d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)), 必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等. 直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0分别化为x-y+6=0,x-y+=0.∴它们之间的距离为. ∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝eq \f(12,5). ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0. 若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5， 它们之间的距离为5，满足条件． 则满足条件的直线方程有以下两组： l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；l1：x＝0，l2：x＝5. [解]　若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k， 由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0， 由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直线l1上取点A(0,1)， 则点A到直线l2的距离d＝eq \f(|1＋5k|,\r(1＋k2))＝5， (3)设直线l的方程为2x-y+C=0,由题意,得,解得C=1, ∴直线l的方程为2x-y+1=0. 解析:(1)l2:6x+10y+5=0可以化为3x+5y+=0, ∴l1与l2间的距离d=. (2)由题意,得,∴m=2, 将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,由两平行线间的距离公式,得. 解是 由方程组 解得 由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3(x≤). $$