学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（贵州专用，北师大版九上第1～2章）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由一元二次方程的定义可知，四个选项中只有C选项中的方程是一元二次方程， 故选：C． 2．如图，在菱形中，点为和的交点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵在菱形中，点为和的交点， ∴，，， 根据现有条件不能得到， 1 / 20 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 故选：A． 3．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】B 【解析】解：A．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B．当时， 左边，右边，左边＝右边， ∴是方程的解，故此选项符合题意； C．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．当时， 左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：B． 4．如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴， ∴； 2 / 19 1 / 20 2/ 2 学科网（北京）股份有限公司 故选B． 5．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（    ） A． B． C．7 D．3 【答案】D 【解析】解：设另一根为a， 则， 解得：， 故选D． 6．将方程配方后，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：， ， ， ∴； 故选D． 7．下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】解：A、四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法正确，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 8．党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国约为135万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设每年增长率为x，根据题意可列方程为： ， 故选：C． 9．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：， 由表中数据可知：当时，， 一元二次方程的解是． 故选：C． 10．如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【解析】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 于点E， ， ， ， ． 故选：A． 11．如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，则关于四边形，下列说法正确的是（    ） A．一定不是平行四边形 B．一定是菱形 C．可能是轴对称图形 D．当时，它为矩形 【答案】C 【解析】解：连接， ，，，分别是四边形边，，，的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ∴，∴四边形是平行四边形； 故A错误； 当时， ∴四边形是菱形， ∴B，D都是错误的， 当四边形是菱形时，可以是轴对称图形， ∴C正确；故选：C． 12．如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】解：如图，连接， 四边形是正方形，，， ，，， 的最小值等于的最小值， 如图，作点关于的对称点，连接，则，，三点共线，连接，与的交点即为所求的点， 根据对称性可知，， ， 在中，，，由勾股定理得， 的最小值为， 故选：C． 第二部分（非选择题 共114分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．一元二次方程的常数项是 ． 【答案】1 【解析】解：一元二次方程的一般形式是（），其中为常数项， 对于方程，对比一般形式，，，， ∵ 此方程中符合常数项定义的是， ∴ 该一元二次方程的常数项是． 故答案为： ． 14．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 15．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ． 【答案】1 【解析】解：设所修道路的宽为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：所修道路的宽为． 故答案为：1 16．如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 ． 【答案】②④ 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，∴． 又∵E是的中点，∴BE⊥AC． 又∵G是的中点，∴． 又∵与不一定相等，∴①不正确． ∵E，F分别是的中点，∴． 又∵，∴， ∵，， ，∴四边形是平行四边形． 又∵，∴四边形是菱形． ∴，故②正确． ∵四边形是菱形，∴平分． ∵，∴不平分，即③不正确． 由题意，∵，∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确．综上，正确的有②④． 故答案为：②④。 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）解方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：原方程化为， ， 或， 解得：，． 18．（10分）如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积．结果保留根号 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）解：花坛是菱形， ，，，， 中，， ， ，； （2）解：． 答：菱形花坛的面积是． 19．（10分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)3 【解析】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 20．（10分）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵，∴； （2）解：∵，∴， ∵∠B=90°，， ∴． 21．（10分）如图，正方形的顶点C在直线a上，且直线a于M，直线a于N． (1)求证： (2)若点B，D到a的距离分别是1，2，求正方形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，∴， ∵直线，直线a，∴， ∴，∴， 在和中，∵， ∴，∴， ∴； （2）解：∵点B，D到a的距离分别是1，2， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴正方形的面积． 22．（10分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 23．（12分）如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)经过秒钟，点、之间的距离为 (2)不存在，理由见解析 【解析】（1）解：如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为； （2）解：假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分． 24．（12分）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式；当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)当时，的最小值为3 (2)；大；1 (3)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【解析】（1）解： ， ∵， ∴3， ∴当时，的最小值为3； （2） ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1； （3）设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 25．（14分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） 【学以致用】如图2，在中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）；（3）见解析；（4）①四边形是垂美四边形；理由见解析；② 【解析】解：（1）∵， ∴， ∴和根据勾股定理得： ，； （2）在和中，根据勾股定理得： ，， ， ， ∴； （3）∵和是等腰直角， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （4）①四边形是垂美四边形；理由如下： ∵△BED≌△AEC, ∴， ∵， ∠BFE+∠EBF+∠BEF=∠AFO+∠EAC+∠AOF=180° ∴∠AOF+∠AEB=90° ∴， ∴四边形是垂美四边形； ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角， ∴， ， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴． 4 / 19 3 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 3分，共 36分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11[A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4分，共 16分） 13．____________________ 14．____________________ 15.____________________ 16．____________________ 三、解答题（共 98分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 20．（10分） 21．（10分） 数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024九年级上册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，点为和的交点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 4．如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（    ） A． B． C．7 D．3 6．将方程配方后，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8．党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国约为135万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（    ） A． B． C． D． 9．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 10．如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 11．如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，则关于四边形，下列说法正确的是（    ） A．一定不是平行四边形 B．一定是菱形 C．可能是轴对称图形 D．当时，它为矩形 12．如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 第二部分（非选择题 共114分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．一元二次方程的常数项是 ． 14．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 15．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ． 16．如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 ． 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）解方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 18．（10分）如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积．结果保留根号 19．（10分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 20．（10分）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 21．（10分）如图，正方形的顶点C在直线a上，且直线a于M，直线a于N． (1)求证： (2)若点B，D到a的距离分别是1，2，求正方形的面积． 22．（10分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 23．（12分）如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 24．（12分）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式；当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 25．（14分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） 【学以致用】如图2，在△ADE中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：△BED≌△AEC； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 2 / 6 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共36分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11[A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共16分） 13．____________________ 14．____________________ 15.____________________ 16．____________________ 三、解答题（共98分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（10分） 19．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20． （10分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23． （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24． （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B B D D B C C A C C 第二部分（非选择题 共114分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．1 14．（答案不唯一） 15．1 16.②④ 3、 解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分） 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，；(5分) （2）解：原方程化为， ， 或， 解得：，．(10分) 18．（10分） 【解析】（1）解：花坛是菱形， ，，，， 中，， ， ，；(6分) （2）解：． 答：菱形花坛的面积是．(10分) 19．（10分） 【解析】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：；(4分) （2）解：∵方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴．(10分) 20．（10分） 【解析】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴；(5分) （2）解：∵， ∴， ∵∠B=90°，， ∴．(10分) 21．（10分） 【解析】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵直线，直线a， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴；(6分) （2）解：∵点B，D到a的距离分别是1，2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积．(10分) 22．（10分） 【解析】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为；(4分) （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元．(10分) 23．（12分） 【解析】（1）解：如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为；（6分） （2）解：假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分．（12分） 24．（12分） 【解析】（1）解： ， ∵， ∴3， ∴当时，的最小值为3；（4分） （2） ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为1， 故答案为：；大；1；（8分） （3）设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．（12分） 25．（14分） 【解析】解：（1）∵， ∴， ∴和根据勾股定理得： ，；（4分） （2）在和中，根据勾股定理得： ，， ， ， ∴；（8分） （3）∵和是等腰直角， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （4）①四边形是垂美四边形；理由如下： ∵△BED≌△AEC, ∴， ∵， ∠BFE+∠EBF+∠BEF=∠AFO+∠EAC+∠AOF=180° ∴∠AOF+∠AEB=90° ∴， ∴四边形是垂美四边形； ②∵，，， ∴， ∵和是等腰直角， ∴， ， 根据解析（2）可知：， ∴， ∴．（14分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2024九年级上册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，点为和的交点，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各数中，哪个是方程的解（   ） A． B．1 C．0 D．2 4．如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 5．已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（    ） A． B． C．7 D．3 6．将方程配方后，原方程变形为（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．四边相等的四边形是正方形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 8．党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国约为135万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（    ） A． B． C． D． 9．观察下列表格，可知一元二次方程：的一个近似解是（   ） 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 10．如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 11．如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，则关于四边形，下列说法正确的是（    ） A．一定不是平行四边形 B．一定是菱形 C．可能是轴对称图形 D．当时，它为矩形 12．如图，在边长为2的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（  ） A． B． C． D．4 第二部分（非选择题 共114分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．一元二次方程的常数项是 ． 14．如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是 ．（写一个即可） 15．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ． 1 6．如图，在中，对角线相交于点O，，E，F，G分别是的中点，连接交于点N．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 ． 3、 解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）解方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 18．（10分）如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和，求： (1)两条小路的长度； (2)菱形花坛的面积．结果保留根号 19．（10分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 20．（10分）如图，在矩形中，点E，F在边上，连接，． (1)求证：． (2)当，时，求的长． 21．（10分）如图，正方形的顶点C在直线a上，且直线a于M，直线a于N． (1)求证： (2)若点B，D到a的距离分别是1，2，求正方形的面积． 22．（10分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 23．（12分）如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 24．（12分）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴ ∴当时，的最小值是4． (1)【类比探究】求代数式的最小值； (2)【举一反三】若代数式；当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________； (3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 25．（14分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【问题探究】如图1，已知四边形是垂美四边形，，垂足为O． （1）发现：由勾股定理得________，________； （2）猜想并证明：________；（填“”或“”或“”） 【学以致用】如图2，在△ADE中，，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，，与相交于点O． （3）求证：△BED≌△AEC； （4）①判断四边形是不是垂美四边形？请说明理由； ②若，，直接写出的长． 试题 第5页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） ） 学科网（北京）股份有限公司 $$