3.4 循环小数（讲义）-2025-2026学年五年级上册数学人教版

2025-2026学年数学五年级上册人教版 第三章 小数除法 3.4 循环小数（讲义） 思维导图 学习目标 1. 认识循环小数，理解循环小数的意义。 2. 掌握循环小数的简便写法。 3. 初步了解小数除法中除不尽时商的特点。 知识点梳理及其讲解 知识点一：循环小数的意义 1. 情境引入： 在进行小数除法计算时，例如计算 1 除以 3 或者 7 除以 11，你会发现商的小数部分的数字会重复出现，永远也除不完。 2. 定义： 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 · 例如：1 ÷ 3 = 0.3333… ，这里小数部分的“3”在不断重复出现。 · 例如：7 ÷ 11 = 0.636363… ，这里小数部分的“63”在不断重复出现。 知识点二：循环节 1. 定义： 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的一个数字或者几个数字，叫做这个循环小数的循环节。 · 例如：在 0.3333… 中，重复出现的数字是“3”，所以它的循环节是“3”。 · 例如：在 0.636363… 中，重复出现的数字是“63”，所以它的循环节是“63”。 知识点三：循环小数的简便写法 1. 写法规则： 写循环小数时，为了简便，小数的循环部分只写出第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个小圆点。 · 如果循环节只有一个数字，就在这个数字上面记一个小圆点。 · 例如：0.3333… 写作：0.3（在“3”上面点一个点） · 如果循环节是两个或两个以上的数字，就在循环节的第一个数字和最后一个数字上面各点一个小圆点。 · 例如：0.636363… 写作：0.63（在“6”和“3”上面分别点一个点） · 例如：5.123123123… 写作：5.123（在“1”和“3”上面分别点一个点） 知识点四：认识有限小数和无限小数 1. 有限小数： 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。例如：0.5， 1.234， 3.0。 2. 无限小数： 小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。循环小数就是一种无限小数。例如：0.333…， 0.6363…。 易错点提醒 1. 混淆“循环节”： 确定循环节时，要找准小数部分从哪一位开始，哪些数字“依次不断重复出现”。不要把不循环的部分算进去。 · 例如：1.0424242…，循环节是“42”，不是“042”。 2. 循环小数的简便写法： 只在循环节的首位和末位数字上面点小圆点，其他数字上面不点。如果循环节只有一位，就只在这一位上面点一个点。 · 错误写法示例：0.333… 写成 0.33（上面没有点）或 0.33.（点错位置）。 · 正确写法：0.3（在“3”上面点一个点）。 3. 区分有限小数和无限循环小数： 有限小数的小数部分位数是固定的，而循环小数的小数部分是无限且有规律重复的。 知识点总结 1. 循环小数：小数部分，一个或几个数字依次不断重复出现。 2. 循环节：小数部分依次不断重复出现的一个或几个数字。 3. 简便写法：只写一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上方各记一个小圆点（循环节只有一位时只记一个点）。 4. 小数除法中，当除不尽时，商可能是循环小数。 预习建议 1. 回顾之前学过的小数除法计算方法，特别是当商除不尽时的情况。 2. 阅读课本对应小节的内容，重点理解什么是“循环”，什么是“循环节”。 3. 尝试自己写几个除法算式（如 2 ÷ 6， 5 ÷ 9， 1 ÷ 7 等），计算一下，观察商的特点，看看哪些是循环小数，并尝试找出它们的循环节，用简便方法写出来。 4. 对于不理解的地方，用问号标记出来，带着问题听课。 5. 可以和家人一起讨论，举例说明什么是循环小数。 巩固练习 一、单选题 1．下列算式中，(　　)的商是循环小数。 A．2.3÷6 B．4÷16 C．2.89÷5 D．2.64÷0.4 2．下列说法错误的是(　　)。 A．5.234234…的循环节是234 B．循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数 C．用计算器计算19.6×2.4时，按键“4”坏了，可以用19.6×3-19.6×0.6代替 D．因为小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变，所以 3．下面四个循环小数，最大的是(　　)。 A． B． C． D．6.8484… 4．奇奇在书写时不小心丢失了一个循环小数的一个循环点，变成了1.89457213，已知原来的循环小数小数点后第19位上的数字是4，第24位上的数字是3，那么这个循环小数的另一个循环点在数字(　　)上。 A．9 B．8 C．4 D．5 5．若给5.21409897标上循环节，那么新构成的循环小数最大是　 　，最小是　 　。 A． B． C． D． 6．关于，下列说法正确的是（　　） A．它的循环节是45 B．它是一个有限小数 C．它的循环节是405 D．它保留3位小数是0.204 7．一个循环小数本来有两个循环点，聪聪不小心擦掉了其中一个循环点，变成了 ，原来循环小数的小数点后第21位上的数字是5，那么这个循环小数的另一个循环点在数字（　　）上。 A．5 B．6 C．7 D．8 8．2÷7的商在小数点后第101位上是（　　）。 A．1 B．4 C．7 二、填空题 9．循环小数0.3456734567……和0.987987987…在小数点后第　 　位时，两个数首次在该位的数字都是“7”。 10．0.1203203…是　 　小数，可以简写为　 　，保留两位小数约是　 　，保留三位小数约是　 　。 11． 把下面各数填在相应的框内。 7.6666 4.71 0.543543… 3.15249… 0.999 　 83.8383… 9.897164 　 12． 10÷6的商是一个　 　小数，写成简便形式是　 　，精确到千分位约是　 　。 13．移动循环小数中的第一个循环点，使新产生的循环小数尽可能大。 　 　 　 　 14． 连线课堂·算理算法 计算 0.56÷3.6，商是　 　，保留三位小数是　 　。总结：计算0.56÷3.6时，商的小数部分重复出现　 　，商可以表示为　 　。我们就把这样的小数叫作　 　。 15．连线课堂·运算的应用 （1）用计算器计算下面各题，你发现了什么。 5÷111=　 　 7÷111=　 　 9÷111=　 　 （2）不计算，用发现的规律直接写出下面几题的商。 12÷111=　 　 15÷111=　 　 17÷111=　 　 我发现：它们的商的整数部分都是　 　，商都是　 　小数，循环节有　 　个数字，都是被除数的　 　倍。 三、综合题 16．用简便形式写出下面的循环小数。 （1）2.55…写作　 　 （2）3.070707…写作　 　 （3）5.2444…写作　 　 17．如图是两家超市矿泉水的销售价格情况。请你算一算，如果一家单位统一大量购买，供公司员工日常饮用，从哪家超市购买更合算? 便民超市： 34元/箱 24瓶/箱 友谊超市： 36元/箱 24瓶/箱 买一箱送3瓶 18．÷5.4=，是一个两位小数，四舍五入保留一位小数后是3.0。 （1）最大是多少?最小是多少? （2）若是15.66，是多少? 若是15.99，精确到千分位是多少? 19．如图，10个数，按顺时针次序可组成许多个整数部分是一位数的循环小数，如：。那么，在所有这样的数中，最大的一个是多少？ 参考答案 1．A 2．D 3．D 4．B 5．B；D 6．C 7．D 8．A 9．15 10．循环；；0.12；0.120 11．解：循环小数：、、0.543543…、、83.8383… 有限小数：7.6666、4.71、0.999、9.897164 无限小数：、、0.543543…、3.15249…、、83.8383… 12．循环(或无限)；；1.667 13．； 14．0.1555……；0.156；5；0.1；循环小数 15．（1）0.045045......；0.063063......；0.081081...... （2）0.108108......；0.135135......；0.153153......；0；循环；3；9 16．（1） （2） （3） 17．解：34÷24=(元/瓶) 24+3=27(瓶) 36÷27=(元/瓶) > 答：从友谊超市购买更合算。 18．（1）解：因为一个数四舍五入后是3.0时，这个数的范围在2.95（含）到3.04（含）之间，因此这个数最大是3.04， 最小是2.95， 所以最大是3.04， 最小是2.95. （2）解：15.66÷5.4=2.9， 15.99÷5.4=， 精确到千分位是2.961。 答：若是15.66，是2.9；若□是15.99，精确到千分位是2.961。 19．解：在所有这样的数中，最大的一个是。 学科网（北京）股份有限公司 $$