2.5 矩 形 暑假巩固练习2024-2025学年湘教版八年级数学下册

湘教版八年级下册 2.5 矩 形 暑假巩固 一、矩形中的动点问题 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） 1. A.2.5 B.2.4 C.2.2 D.2 如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（　　） A.2或cm/s B.6或cm/s C.2或6cm/s D.1或cm/s 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（　　） 3. A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.不变 D.先增大，再减小 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为　 　． 4. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝5，则GH的最小值是________． 5. 如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题： 6.（1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使△ABP≌△PCQ？若存在，求出t的值，并判断此时AP和PQ的位置关系；若不存在，请说明理由． 如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E． 7.（1）求证：OE＝OF． （2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由． 二、用对角线判定矩形 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中能判定它为矩形的是（　　） A.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC B.AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC C.AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO D.AO＝BO＝CO＝DO 在四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线且AC＝BD．如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　） A.AB＝BC B.AC与BD互相平分 C.AC⊥BD D.AB⊥BD 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线互相平分且垂直 C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直且相等 如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理__________________________________． 4. 如图，已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个矩形．你添加的条件是　               　． 5. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH． 6.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形． 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． 7.（1）当AC　等于　（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是什么？ 三、矩形的性质 如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是BC，DC上的点，E，F分别是AP，PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，则线段EF的长为（　　） 1. A.6 B.6.5 C.7 D.5 如图，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中点，∠AED＝120°，则AD长为（　　） 2. A. B.2 C. D.3 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，则AD的长是（　　） 3. A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝3，AD＝4，则线段AO的长度为　 　． 4. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　 　． 5. 如图，在矩形ABCD中，BE是∠ABC的平分线，过点D作DF⊥BE，交BE的延长线于F，连接AF，CF． 6.（1）求证：AE＝AB； （2）求证：AF⊥CF； （3）若AB＝6，BC＝8，求CF的长． 如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC和BD交点，且∠CAE＝15°． 7.（1）证明:△AOB为等边三角形； （2）求∠AOE的度数． 四、动点中的矩形判定问题 如图，点D在△ABC边BC的延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，交∠BCA的平分线于点F，交∠BCA的外角平分线于点E．当点O在线段AC上移动（不与点A，C重合）时，下列结论不一定成立的是（　　） 1. A.2∠ACE＝∠BAC+∠B B.EF＝2OC C.∠FCE＝90° D.四边形AFCE是矩形 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 2. A.当t＝3 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝4 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝3 s D.当CD＝PM时，t＝3 s或5 s 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列选项不正确的是（　　） A.四边形ABCD是矩形 B.当点E是AB的中点时，OFCD C.当AB＝6，BC＝8时，线段OF长度的最大值为4 D.当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4 cm，AD＞AB，CD＝5 cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动，　 　秒后四边形ABPD是矩形． 4. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝5，CD＝8，点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动，则当运动时间为 　 　秒时，四边形ABPD是矩形． 5. 如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A，C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． 6.（1）OE与OF相等吗？证明你的结论； （2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明． 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 7. (1)若E与F是AC上两点且不与O点重合，AE＝CF，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由； (2)若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为1 cm/s.若BD＝12 cm，AC＝16 cm，当运动时间t为何值时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形？说明理由． 五、矩形的性质和判定的综合 1.将一张矩形纸片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝∠C＝90°，∠B＝45°，BC＝6，AD＝4，则这张矩形纸片的较长边不可能是（　　） A.6 B. C. D.8 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为点H，若知道△APE与△DPF的周长和，则一定能求出（　　） A.△BOC的周长 B.△ADH的周长 C.△ABC的周长 D.四边形APFH的周长 3.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥DB且AG＝DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论中：①DE∥BF；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④S△BFGS平行四边形ABCD．其中正确的是（　　） A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 4.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D在线段BC上，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，点G，H分别是EF，BC的中点，若AB＝4，则下列结论正确的是　  　.（写出所有正确结论的序号） ①； ②EF的最小值是； ③△DEF的面积始终保持不变； ④△DGH是等腰三角形． 5.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于点G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 6.如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥DC，延长DC到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．连接BE． （1）求证：四边形ABEC是矩形． （2）若CD＝3，CF＝3，求BE的长． 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，F是AC上的一点，且CF＝AE，连接EF． （1）求证：四边形CDEF是矩形． （2）若AF＝2，∠B＝30°，求△ABD的面积． 六、矩形的判定综合 以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是(　　) A. AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B. OA＝OB＝OC＝OD C. AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D. AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定方案．其中错误的是（　　） A.测量对角线是否相等 B.测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等 C.测量其中三个角是否都为直角 D.测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等 陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（　　） A. B. C. D. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD至E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，若添加一个条件后，使四边形DBCE成为矩形，则添加的条件是 　               　． 4. 如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）． 5. 如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，O是BD的中点，E，F是BD上的点，且BE＝DF，AF∥CE． 6.（1）求证：△OEC≌△OFA； （2）若OA＝OB，求证：四边形ABCD是矩形． 如图1，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a． 7.（1）平移后的图形是矩形吗？为什么？ （2）图2中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE⊥BD于点E，求证：∠2＝∠1+∠3． 七、用定义判定矩形 在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.OH＝4 C.AD＝BC D.Rt△AHB 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE＝AB，连接ED、EC、AC.添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是(　　) A.AC＝CD B.AB＝AD C.AD＝AE D.BC＝CE 如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A.∠A＝90° B.∠EBD＝∠ADB C.∠C＝90° D.∠DBC＝30° 有一个角是直角的平行四边形是矩形．　 　（填“正确”或“错误”）． 已知，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F，连接EF．请添加一个适当的条件 　 　，使四边形AEDF是矩形． 5. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形． 6. 如图，在▱ABCD中，点O是边AB的中点，且OD＝OC． 7.（1）求证：∠ADO＝∠BCO； （2）求证：四边形ABCD是矩形． 湘教版八年级下册 2.5 矩 形 暑假巩固（参考答案） 一、矩形中的动点问题 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　） 1. A.2.5 B.2.4 C.2.2 D.2 【答案】B 【解析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF＝CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 如图，连接CD． ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°， ∴四边形CFDE是矩形， ∴EF＝CD， 由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小， 此时S△ABCBC•ACAB•CD， 即4×35•CD， 解得CD＝2.4， ∴EF＝2.4． 故选：B． 如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（　　） A.2或cm/s B.6或cm/s C.2或6cm/s D.1或cm/s 【答案】B 设Q运动的速度为x cm/s，则根据△AEP与△BQP全等得出AP＝BP、AE＝BQ或AP＝BQ，AE＝BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案． ∵长方形ABCD， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵点E为AD的中点，AD＝8cm， ∴AE＝4cm， 设点Q的运动速度为x cm/s， ①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ， ， 解得 【解析】即点Q的运动速度为cm/s时能使两三角形全等． ②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP， ， 解得：， 即点Q的运动速度为6cm/s时能使两三角形全等． 综上所述，点Q的运动速度为或6cm/s时能使两三角形全等． 故选：B． 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作▱EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，▱EFGH的面积（　　） 3. A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.不变 D.先增大，再减小 【答案】C 【解析】设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，根据S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）＝（a﹣2c）x+bc，由E是AB的中点可得a﹣2c＝0，进而判断． 设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x， 连接EG， ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴∠FEG＝∠HGE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BEG＝∠DGE， ∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH， ∴∠BEF＝∠HGD， ∵EF＝HG，∠B＝∠D， ∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS）， 同理Rt△AEH≌Rt△CGF， ∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH） ＝ab﹣2[cx（a﹣c）（b﹣x）] ＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx） ＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx ＝（a﹣2c）x+bc， ∵E是AB的中点， ∴a＝2c， ∴a﹣2c＝0， ∴S平行四边形EFGH＝bcab， 方法二：连接EG， ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF＝HG，EF∥HG， ∴∠FEG＝∠HGE， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BEG＝∠DGE， ∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH， ∴∠BEF＝∠HGD， ∵EF＝HG，∠B＝∠D， ∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS）， ∴DG＝BECD＝AE， ∴四边形AEGD为平行四边形， ∵∠A＝90°， ∴▱AEGD为矩形， 同理四边形EBCG为矩形， ∴S平行四边形EFGH＝S△EHG+S△EFGEG•DGEG•GC＝EG•DGEG•CDS矩形ABCD． 故选：C． 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，AC和BD交于点O，点E是边BC上的动点（不与点B，C重合），连接EO并延长交AD于点F，连接AE，若△AEF是等腰三角形，则DF的长为　 　． 4. 【答案】或1或或1　． 【解析】依据矩形的性质，即可得出△BEO≌△DFO（AAS），进而得到OF＝OE，DF＝BE．设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a．当△AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论．根据勾股定理列方程即可得到DF的长． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，OB＝OD， ∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO， ∴△BEO≌△DFO（AAS）， ∴OF＝OE，DF＝BE． 设BE＝DF＝a，则AF＝3﹣a． 当△AEF是等腰三角形时，分四种情况讨论． ①如图（1），当AE＝AF时， 在Rt△ABE中，由AE2＝AB2+BE2，得（3﹣a）2＝12+a2， 解得． ②如图（2），当AE＝EF时，过点E作EH⊥AD于点H，则AH＝FH＝BE， ∴AF＝2BE， ∴3﹣a＝2a， 解得a＝1． ③如图（3），当AF＝EF时，∠FAE＝∠FEA． 又∠FAE＝∠AEB， ∴∠FEA＝∠AEB． 过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AB＝1，EG＝BE＝a， ∴FG＝3﹣2a． 在Rt△AFG中，由AF2＝AG2+FG2，得 （3﹣a）2＝12+（3﹣2a）2， 解得，（舍去）． ④如图（4），当AF＝EF时，同法可得DF＝1． 综上所述，DF的长为或1或或1． 故答案为：或1或或1． 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝5，则GH的最小值是________． 5. 【答案】7.5 【解析】连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC＝10，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP＝2.5，然后证四边形PGCH是矩形，得GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣2.5＝7.5，即可求解． 连接AC、AP、CP，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， ∴AC10， ∵P是线段EF的中点， ∴APEF＝2.5， ∵PG⊥BC，PH⊥CD， ∴∠PGC＝∠PHC＝90°， ∴四边形PGCH是矩形， ∴GH＝CP， 当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣2.5＝7.5， ∴GH的最小值是7.5， 故答案为：7.5． 如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动；同时动点Q从点C出发，沿CD方向以2cm/s的速度向点D匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜3）．解答下列问题： 6.（1）当点C在线段PQ的垂直平分线上时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使△ABP≌△PCQ？若存在，求出t的值，并判断此时AP和PQ的位置关系；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）由题意得，BP＝CQ＝2t cm， ∴PC＝BC﹣BP＝（8﹣2t）cm， ∵点C在线段PQ的垂直平分线上， ∴PC＝CQ， 即8﹣2t＝2t， ∴t＝2； （2）存在某一时刻t，使△ABP≌△PCQ， ∵△ABP≌△PCQ，∠B＝∠C＝90°， ∴AB＝PC，BP＝CQ，∠APB＝∠PQC， ∴8﹣2t＝6， ∴t＝1， ∵∠PQC+∠QPC＝90°， ∴∠APB+∠QPC＝90°， ∴∠APQ＝90°， ∴AP⊥PQ． 如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E． 7.（1）求证：OE＝OF． （2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠FBC； ∵EF∥BC， ∴∠OFB＝∠FBC＝∠ABF， ∴△OBF为等腰三角形， ∴OB＝OF， 同理：OB＝OE， ∴OE＝OF； （2）解：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点时，理由如下： ∵四边形BFAE为矩形， ∴∠AEB为直角， ∴△AEB为直角三角形； ∵四边形BFAE为矩形， ∴OA＝OB＝OE＝OF， 在Rt△AEB中，OE＝OA＝OB， ∴O为斜边AB的中点， 答：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点． 二、用对角线判定矩形 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中能判定它为矩形的是（　　） A.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC B.AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC C.AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO D.AO＝BO＝CO＝DO 【答案】D 根据已知条件逐一判断即可得出结论． 【解析】A、∵AO＝CO、BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形．故A错误． B、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝DC， 故B错误． C、∵AB∥CD、AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，AO＝CO， 故C错误． D、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AO＝BO＝CO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 故选：D． 在四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线且AC＝BD．如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　） A.AB＝BC B.AC与BD互相平分 C.AC⊥BD D.AB⊥BD 【答案】B 【解析】 根据对角线相等的平行四边形是矩形判断． ∵在四边形ABCD中，AC与BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形， 故选：B． 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线互相平分且垂直 C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直且相等 【答案】C 【解析】 根据矩形的判定即可得到结论． A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B选项不能判定四边形是矩形； C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形； D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形； 故选：C． 如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理__________________________________． 4. 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【解析】这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，故答案为对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 如图，已知▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个矩形．你添加的条件是　               　． 5. 【答案】AC＝BD（答案不唯一） 【解析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可． 添加的条件是AC＝BD（答案不唯一）， 理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形， 故答案为：AC＝BD（答案不唯一）． 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH． 6.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，AD＝BC，AB＝CD， ∵点E、F分别为AB、CD中点， ∴AE＝EB＝CF＝FD， ∵AG＝CH， ∴BH＝DG， ∴△AGE≌△CHF（SAS），△BEH≌△DFG（SAS）， ∴EH＝GF，EG＝HF， ∴四边形EHFG是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F分别为AB、CD中点， ∴EF＝AD， ∵GH＝AD， ∴EF＝GH， ∴平行四边形EHFG是矩形． 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． 7.（1）当AC　等于　（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是什么？ 【答案】解：（1）∵两组对边分别平行， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形； （2）这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形. 故答案为：等于；对角线相等的平行四边形为矩形． 三、矩形的性质 如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是BC，DC上的点，E，F分别是AP，PQ的中点．BC＝12，DQ＝5，则线段EF的长为（　　） 1. A.6 B.6.5 C.7 D.5 【答案】B 【解析】因为Q点不动，所以AQ不变．根据中位线定理，可得EF的长． 连接AQ， ∵E，F分别是AP，PQ的中点， 则EF为△APQ的中位线， ∴EFAQ6.5， 故选：B． 如图，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中点，∠AED＝120°，则AD长为（　　） 2. A. B.2 C. D.3 【答案】C 【解析】由直角三角形的性质可得AE＝ED＝EC，由等腰三角形的性质可得∠DAC＝30°，即可求解． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝1，∠ADC＝90°， ∵E是AC的中点， ∴AE＝ED＝EC， ∵∠AED＝120°， ∴∠DAC＝30°， ∴ADCD， 故选：C． 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，则AD的长是（　　） 3. A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 【答案】B 【解析】证出AD＝DE，设AD＝BC＝x，则CE＝x－1，由勾股定理可得出答案． ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3， ∴∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵EA平分∠BED， ∴∠AEB＝∠AED， ∴∠AED＝∠DAE， ∴AD＝DE， 设AD＝BC＝x，则CE＝x－1， ∵CE2+CD2＝DE2， ∴（x－1）2+32＝x2， ∴x＝5， ∴AD＝5， 故选：B． 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝3，AD＝4，则线段AO的长度为　 　． 4. 【答案】 【解析】根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，BD＝AC，AOAC，再根据勾股定理求解即可． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，BD＝AC，AOAC， ∵AB＝3，AD＝4， ∴BD5， ∴AC＝5， ∴AO， 故答案为：． 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　 　． 5. 【答案】 【解析】根据矩形的性质可得出∠AEB＝∠FBC，结合已知BE＝BC，利用AAS证得△ABE和△FCB全等，得出FC＝AB＝4，再根据矩形的性质得到BC＝AD＝6，从而在Rt△FCB中利用勾股定理求出BF的长． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠AEB＝∠FBC， ∵CF⊥BE， ∴∠CFB＝90°， ∴∠CFB＝∠A， 在△ABE和△FCB中， ， ∴△ABE≌△FCB（AAS）， ∴FC＝AB＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6， 在Rt△FCB中，由勾股定理得， 故答案为：． 如图，在矩形ABCD中，BE是∠ABC的平分线，过点D作DF⊥BE，交BE的延长线于F，连接AF，CF． 6.（1）求证：AE＝AB； （2）求证：AF⊥CF； （3）若AB＝6，BC＝8，求CF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝45°， ∴∠AEB＝45°， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE. （2）证明：连接AC，BD，交于点O，连接OF，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD＝OA＝OD， ∵∠BFD＝90°， ∴OFBD， ∴OF＝OB， ∴OF＝OA＝OC， ∴∠OFA＝∠OAF，∠OFC＝∠OCF， ∴∠OFA+∠OFC＝∠OAF+∠OCF， ∵∠OFA+∠OAF+∠OFC+∠OCF＝180°， ∴∠AFC＝90°， ∴AF⊥CF. （3）解：∵∠DEF＝∠AEB＝45°，∠EFD＝90°， ∴∠EDF＝∠DEF＝45°， ∴FE＝FD， ∵∠AEF＝180°－∠DEF＝135°，∠CDF＝∠ADC+∠EDF＝135°， ∴∠AEF＝∠CDF， ∵CD＝AB， ∴CD＝AE， ∴△CDF≌△AEF（SAS）， ∴FC＝FA， ∵AF⊥CF， ∴△ACF是等腰直角三角形， ∴FCAC， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AC10， ∴CF＝5． 如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC和BD交点，且∠CAE＝15°． 7.（1）证明:△AOB为等边三角形； （2）求∠AOE的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AO＝BOACBD， ∵AE是∠BAD的平分线； ∴∠BAE＝45°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠BAC＝60°， ∴△AOB是等边三角形. （2）解：在Rt△ABE中，∠BAE＝45°， ∴AB＝BE， ∵△ABO是等边三角形 ∴AB＝BO， ∴OB＝BE， ∵∠OBE＝30°，OB＝BE， ∴∠BOE（180°－30°）＝75°． ∵△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°． 四、动点中的矩形判定问题 如图，点D在△ABC边BC的延长线上，点O是边AC上一个动点，过O作直线EF∥BC，交∠BCA的平分线于点F，交∠BCA的外角平分线于点E．当点O在线段AC上移动（不与点A，C重合）时，下列结论不一定成立的是（　　） 1. A.2∠ACE＝∠BAC+∠B B.EF＝2OC C.∠FCE＝90° D.四边形AFCE是矩形 【答案】D 【解析】依据三角形外角性质，角平分线的定义，以及平行线的性质，即可得到2∠ACE＝∠BAC+∠B，EF＝2OC，∠FCE＝90°，进而得到结论． ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠BAC+∠B， ∵CE平分∠DCA， ∴∠ACD＝2∠ACE， ∴2∠ACE＝∠BAC+∠B，故A选项正确； ∵EF∥BC，CF平分∠BCA， ∴∠BCF＝∠CFE，∠BCF＝∠ACF， ∴∠ACF＝∠EFC， ∴OF＝OC， 同理可得OE＝OC， ∴EF＝2OC，故B选项正确； ∵CF平分∠BCA，CE平分∠ACD， ∴∠FCE＝∠ACE+∠ACF180°＝90°，故C选项正确； ∵O不一定是AC的中点， ∴四边形AFCE不一定是平行四边形， ∴四边形AFCE不一定是矩形，故D选项错误. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 2. A.当t＝3 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝4 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝3 s D.当CD＝PM时，t＝3 s或5 s 【答案】D 【解析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可． 根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm， ∵AD＝8 cm，BC＝6 cm， ∴AP＝（8－t）cm，CM＝（6－t）cm， 当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM， 即8－t＝t， 解得t＝4， 故A选项不符合题意； 当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM， 即t＝6－t， 解得t＝3， 故B选项不符合题意； 当CD＝PM时，分两种情况： ①四边形CDPM是平行四边形， 此时CM＝DP， 即6－t＝t， 解得t＝3， ②四边形CDPM是等腰梯形， 过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示， 则∠MGP＝∠CHD＝90°， ∵PM＝CD，GM＝HC， ∴△MGP≌△CHD（HL）， ∴GP＝HD， ∵AG＝AP+GP＝8－t， 又∵BM＝t， ∴8－tt， 解得t＝5， 综上，当CD＝PM时，t＝3 s或5 s， 故C选项不符合题意，D选项符合题意. 故选：D． 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列选项不正确的是（　　） A.四边形ABCD是矩形 B.当点E是AB的中点时，OFCD C.当AB＝6，BC＝8时，线段OF长度的最大值为4 D.当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形 【答案】D 【解析】 根据矩形的判定得出A选项，根据中位线定理判断B选项，根据当点E与点D重合时，OF的值最大得出C选项，进而根据等边三角形的判定解答即可． 对于A，∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是矩形，故A正确，不符合题意． 对于B，∵点O，F分别是AC，CE的中点， ∴OF是△ACE的中位线． ∴， 又∵点E是AB的中点， ∴CD＝AB＝2AE． ∴CD＝4OF，即，故B正确，不符合题意． 对于C，当点E与点D重合时，OF的值最大． ∵AD＝BC＝8， ∴AE的最大值是8． ∴，即线段OF长度的最大值是4，故C正确，不符合题意． 对于D，∵OF∥AB，∴当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°， ∵∠BEN＞∠OAB， ∴∠OFN=∠BEN＞60°， ∴△OFN不是等边三角形，故D错误，符合题意. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝4 cm，AD＞AB，CD＝5 cm，点P从点C出发沿边CB以每秒1 cm的速度向点B运动，　 　秒后四边形ABPD是矩形． 4. 【答案】3 【解析】当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形，利用勾股定理解答即可． 当DP⊥BC时，四边形ABPD是矩形， 此时AB＝DP＝4 cm，CD＝5 cm， 在Rt△DPC中，CP（cm）， 所以3秒后四边形ABPD是矩形. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝5，CD＝8，点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动，则当运动时间为 　 　秒时，四边形ABPD是矩形． 5. 【答案】6 【解析】由矩形的判定可得出8－0.5t＝5，则可得出答案． 设运动时间为t秒， ∵点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动， ∴PC＝0.5t， ∵AB∥CD，AB⊥AD，四边形ABPD是矩形， ∴AB＝DP， ∴8－0.5t＝5， ∴t＝6. 如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A，C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． 6.（1）OE与OF相等吗？证明你的结论； （2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明． 【答案】解（1）OE＝OF，证明如下： ∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCD， ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD， ∴∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴OE＝OC，OC＝OF， ∴OE＝OF． （2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明如下： ∵AO＝CO，OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECA+∠ACF∠BCD， ∴∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 7. (1)若E与F是AC上两点且不与O点重合，AE＝CF，四边形DEBF是平行四边形吗？说明理由； (2)若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C，A运动，其速度为1 cm/s.若BD＝12 cm，AC＝16 cm，当运动时间t为何值时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形？说明理由． 【答案】解　(1)当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF， ∴OE＝OF，∴BD，EF互相平分， ∴四边形DEBF是平行四边形. (2)∵当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，∴当BD＝EF时，四边形DEBF是矩形， ∵BD＝12 cm， ∴EF＝12 cm，∴OE＝OF＝6 cm， ∵AC＝16 cm，∴OA＝OC＝8 cm， ∴AE＝2 cm或AE＝14 cm； ∵动点的速度都是1 cm/s， ∴t＝2 s或t＝14 s； ∴当运动时间t＝2 s或14 s时，以D，E，B，F为顶点的四边形是矩形． 五、矩形的性质和判定的综合 1.将一张矩形纸片（不是正方形），先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形，剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A＝∠C＝90°，∠B＝45°，BC＝6，AD＝4，则这张矩形纸片的较长边不可能是（　　） A.6 B. C. D.8 【答案】D 【解析】分三种情况画出图形，求出最长的直角边即可． 分三种情况讨论： ①延长AD，DC，过点B作FB⊥AB，交DC的延长线于点F，过点F作EF⊥BF交AD的延长线于点E，如图所示， ∵∠A＝90°，FB⊥AB，EF⊥BF， ∴四边形ABFE为矩形， ∵∠ABF＝90°，∠ABC＝45°，∠E＝90°， ∴∠CBF＝90°－45°＝45°， ∴∠BFC＝90°－45°＝45°， ∵∠BCF＝90°， ∴△BCF为等腰直角三角形， ∴BF， ∴AE＝BF， ∴DE， ∵∠A＝∠BCD＝90°，∠B＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∴∠EDF＝∠EFD， ∴FE＝DE＝64， ∵64， 此时较长的边为6； ②延长CD，过点B作FB⊥BC，过点A作EF∥BC交CD延长线于点E，交BC的垂线于点F，如图所示， ∵∠BCD＝90°， ∴EC⊥BC， ∴CE∥BF， ∴四边形BCEF为平行四边形， ∵∠BCD＝90°， ∴四边形BCEF为矩形， ∴EF＝BC＝6， ∵∠ADE＝45°， ∴△ADE为等腰直角三角形， ∴AE， ∴AF＝EF－AE＝6－2， ∵∠ABF＝90°－45°＝45°， ∴△ABF为等腰直角三角形， ∴AF＝BF＝6－2， ∵6＞6－2， ∴此时较长的边为6； ③延长DA，CD，过点B作BE⊥BC，交DA的延长线于点E，过点E作EF∥BC，交CD的延长线于点F，如图所示， ∵FC⊥BC，BE⊥BC， ∴CF∥EB， ∵EF∥BC， ∴四边形BCFE为平行四边形， ∵∠C＝90°， ∴四边形BCFE为矩形， ∴∠F＝90°，EF＝BC＝6， ∵∠ADF＝180°－135°＝45°． ∴△DEF为等腰直角三角形， ∴DEEF＝6， ∴AE＝DE－AD＝64， ∵∠BAE＝180°－90°＝90°，∠ABE＝90°－45°＝45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BEAE（64）＝12－4， ∵12－46， 此时较长的边为12－4， 综上分析可知，矩形纸片（不是正方形）时，较长的边为6或6或12﹣4， 不可能为8. 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为点H，若知道△APE与△DPF的周长和，则一定能求出（　　） A.△BOC的周长 B.△ADH的周长 C.△ABC的周长 D.四边形APFH的周长 【答案】B 【解析】过点P作PG⊥AH于G，连接PO，证出四边形PFHG为矩形，得出FH＝PG，证明△APE≌△PAG（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝PG，证明PE+PF＝AH，则可得出答案． 过点P作PG⊥AH于G，连接PO，如图， ∵PF⊥BD，AH⊥BD， ∴四边形PFHG为矩形， ∴HF＝PG， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC=OB＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠BAH+∠HAD＝∠HAD+∠ADO＝90°， ∴∠BAH＝∠ADO， 同理∠BAH＝∠APG， ∴∠APG＝∠PAE， ∵AP＝PA，∠AEP＝∠PGA＝90°， ∴△APE≌△PAG（AAS）， ∴AE＝PG， ∴AE＝HF， 又∵S△APO+S△PDO＝S△AOD， ∴OA·PE+OD·PF=OD·AH， ∴PE+PF＝AH， ∴△APE与△DPF的周长和＝AP+PE+AE+PD+PF+DF ＝AD+AH+PG+DF ＝AD+AH+HF+DF ＝AD+AH+HD， ∴知道△APE与△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长． 3.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥DB且AG＝DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论中：①DE∥BF；②四边形ADBG是矩形；③FG＝AB；④S△BFGS平行四边形ABCD．其中正确的是（　　） A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 【答案】D 【解析】①证明四边形DEBF是平行四边形即可；②根据AG∥DB且AG＝DB可证四边形ADBG是平行四边形，结合AD⊥BD可证四边形ADBG是矩形；③连接DG，若FG＝AB，可证GD＝GF，显然不成立；④先证明S△BFG＝S△BFC＝S△BFD，然后结合平行四边形的性质即可求解． ①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD． ∵E，F分别为边AB，CD的中点， ∴BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE∥BF，故①正确； ②∵AG∥DB且AG＝DB， ∴四边形ADBG是平行四边形， ∵AD⊥BD， ∴四边形ADBG是矩形，故②正确； ③连接DG， ∵四边形ADBG是矩形， ∴DG过点E，AB＝GD． 若FG＝AB，则FG＝GD，显然FG与GD不相等，故③不正确； ④∵四边形ADBG是矩形， ∴AD＝BG． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴BG＝BC， ∴S△BFG＝S△BFC． ∵F为边CD的中点， ∴S△BFC＝S△BFD， ∴S△BFG＝S△BFC＝S△BFD， ∴S△BFGS△BCDS□ABCD，故④正确． 4.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D在线段BC上，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，点G，H分别是EF，BC的中点，若AB＝4，则下列结论正确的是　  　.（写出所有正确结论的序号） ①； ②EF的最小值是； ③△DEF的面积始终保持不变； ④△DGH是等腰三角形． 【答案】①④ 【解析】由∠BAC＝90°，AB＝AC，得∠B＝∠C＝45°，由∠BED＝∠CFD＝90°，得∠EDB＝∠B＝∠C＝∠FDC＝45°，则∠EDF＝90°，所以DGEF，可判断①正确；连接AD，AH，因为BC＝4，所以AH＝BH＝CH＝2，由AD≥AH，得AD≥2，再证明四边形AEDF是矩形，则AD＝EF，所以EF≥2，则EF的最小值为2，可判断②错误；可求得S△DEFBE（4－BE）(BE－2)2+2，可知S△DEF的大小随BE的变化而变化，可判断③错误；连接FH，EH，可证明△HAF≌△HBE，得∠AHF＝∠BHE，推导出∠EHF＝∠AHB＝90°，则HGEF，所以DG＝HG，可判断④正确，于是得到问题的答案． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， ∴∠EDB＝∠B＝∠C＝∠FDC＝45°， ∴∠EDF＝180°－∠EDB－∠FDC＝90°， ∵点G是EF的中点， ∴DGEF， 故①正确； 连接AD，AH， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点H是BC的中点， ∴BC4，AH⊥BC，BH＝CH， ∴AH＝BH＝CHBC＝2， ∵AD≥AH， ∴AD≥2， ∵∠AED＝∠AFD＝∠EDF＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∴AD＝EF， ∴EF≥2， ∴EF的最小值为2， 故②错误； ∵∠EDF＝90°，BE＝DE，DF＝AE＝4－BE， ∴S△DEFDE•DFBE（4－BE）(BE－2)2+2， ∴S△DEF的大小随BE的变化而变化， 故③错误； 连接FH，EH， ∵∠HAF＝∠HAB∠BAC＝45°， ∴∠HAF＝∠B， ∵AF＝DE，BE＝DE， ∴AF＝BE， 在△HAF和△HBE中， ， ∴△HAF≌△HBE（SAS）， ∴∠AHF＝∠BHE， ∴∠EHF＝∠AHF+∠AHE＝∠BHE+∠AHE＝∠AHB＝90°， ∴HGEF， ∴DG＝HG， ∴△DGH是等腰三角形， 故④正确， 故答案为①④． 5.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于点G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 【答案】AD＝AB 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°.又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB，又∵AE＝AF，∴AD＝AB. 6.如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥DC，延长DC到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．连接BE． （1）求证：四边形ABEC是矩形． （2）若CD＝3，CF＝3，求BE的长． 【答案】（1）证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵CE＝DC， ∴AB＝CE， ∴四边形ABEC是平行四边形， 又∵AC⊥DC， ∴∠ACE＝90°， ∴平行四边形ABEC是矩形. （2）解　由（1）可知，CE＝AB＝CD＝3，四边形ABEC是矩形， ∴BC＝2CF＝2×3＝6，∠BEC＝90°， ∴BE3， 即BE的长为3． 7.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，F是AC上的一点，且CF＝AE，连接EF． （1）求证：四边形CDEF是矩形． （2）若AF＝2，∠B＝30°，求△ABD的面积． 【答案】（1）证明 ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠DAE． ∵DE∥AC， ∴∠DAC＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠DAE， ∴AE＝DE． ∵CF＝AE， ∴DE＝CF， ∴四边形CDEF是平行四边形． 又∵∠C＝90°， ∴四边形CDEF是矩形. （2）解 ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°． 由（1）知，在矩形CDEF中，∠CFE＝∠CDE＝90°， ∴∠EFA＝∠EDB=∠DEF＝90°， ∴∠AEF＝30°． 在Rt△AEF中，AE＝2AF＝2×2＝4， ∴DE＝CF＝AE＝4， ∴AC＝CF+AF＝4+2＝6． 在Rt△BDE中，， ∴， ∴△ABD的面积为． 六、矩形的判定综合 以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是(　　) A. AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90° B. OA＝OB＝OC＝OD C. AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD D. AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD 【答案】D 【解析】如图： A．∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误； B．∵OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误； C．∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误； D．∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA＝OC，OB＝OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确； 故选D. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定方案．其中错误的是（　　） A.测量对角线是否相等 B.测量对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等 C.测量其中三个角是否都为直角 D.测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等 【答案】A 【解析】根据矩形的判定方法：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可得出结论． A、对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，错误； B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确； C、其中四边形中有三个角都为直角，能判定矩形．正确； D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确； 故选：A． 陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，能判定矩形，不符合题意； B、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形，不符合题意； C、对角相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状，符合题意； D、一组对边平行且相等，能判定平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则能判定矩形，不符合题意． 故选：C． 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD至E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，若添加一个条件后，使四边形DBCE成为矩形，则添加的条件是 　               　． 4. 【答案】AB＝BE或∠ADB＝90°或CE⊥DE． 【解析】先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， 又∵AD＝DE， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴四边形BCED为平行四边形， 添加AB＝BE，DE＝AD， ∴BD⊥AE， ∴▱DBCE为矩形； 添加∠ADB＝90°， ∴∠EDB＝90°， ∴▱DBCE为矩形； 添加CE⊥DE， ∴∠CED＝90°， ∴▱DBCE为矩形． 故答案为：AB＝BE或∠ADB＝90°或CE⊥DE． 如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC中点O作直线分别交BC，AD于点E，F，只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）． 5. 【答案】∠AEC＝90°（答案不唯一）． 【解析】由题意证明四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定可得出结论． 添加一个条件是∠AEC＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形，O是AC的中点， ∴AF∥EC，AO＝CO， ∴∠FAO＝∠ECO， 在△AOF和△COE中， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴AF＝EC， 又∵AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 故答案为：∠AEC＝90°（答案不唯一）． 如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，O是BD的中点，E，F是BD上的点，且BE＝DF，AF∥CE． 6.（1）求证：△OEC≌△OFA； （2）若OA＝OB，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：（1）∵AF∥CE， ∴∠AFO＝∠CEO，∠FAO＝∠ECO， ∵O为BD的中点，即OB＝OD，BE＝DF， ∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF， 在△OEC和△OFA中， ∴△OEC≌△OFA（AAS）； （2）∵△OEC≌△OFA， ∴OC＝OA， ∵OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵OA＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD，即BD＝AC， ∴四边形ABCD为矩形． 如图1，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a． 7.（1）平移后的图形是矩形吗？为什么？ （2）图2中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE⊥BD于点E，求证：∠2＝∠1+∠3． 【答案】（1）解：是矩形，因为平移后的图形首先是个平行四边形，又因为这个平行四边形的相邻的两边都垂直，因此是个矩形． （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠3＝∠GCB． ∵∠1+∠CDB＝90°，∠DBC+∠CDB＝90°， ∴∠1＝∠DBC． ∵∠2＝∠DBC+∠GCB， ∴∠2＝∠1+∠3． 七、用定义判定矩形 在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.OH＝4 C.AD＝BC D.Rt△AHB 【答案】A 【解析】 首先根据题意能得到平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定即可． ∵四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴当有一个角是直角时该四边形是矩形， 故选：A． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE＝AB，连接ED、EC、AC.添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是(　　) A.AC＝CD B.AB＝AD C.AD＝AE D.BC＝CE 【答案】D 【解析】 添加一个条件BC＝CE，能使四边形ACDE成为矩形，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB平行且等于DC，∵AE＝AB，∴DC平行且等于AE，∴四边形DEAC是平行四边形，∵BC＝EC，AE＝AB，∴∠EAC＝90°，∴平行四边形ACDE是矩形．故选D. 如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A.∠A＝90° B.∠EBD＝∠ADB C.∠C＝90° D.∠DBC＝30° 【答案】C 【解析】 当∠C＝90°时，即可判定△BCD≌△BED（HL），依据BC＝AD，AB＝CD，即可得出四边形ABCD是平行四边形，再根据∠C＝90°，即可得到四边形ABCD是矩形． 当∠A＝90°或∠EBD＝∠ADB或∠DBC＝30°时，不能得到四边形ABCD为矩形； 当∠C＝90°时，∵BE⊥DE， ∴∠C＝∠E＝90°， 又∵BD＝BD，CD＝ED， ∴△BCD≌△BED（HL）， ∴BC＝BE， 又∵AD＝EB， ∴BC＝AD， 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 故选：C． 有一个角是直角的平行四边形是矩形．　 　（填“正确”或“错误”）． 【答案】正确. 【解析】根据平行四边形性质推出AB∥CD，AD∥BC，根据平行线性质推出∠B＝∠D＝90°，根据矩形的判定定理（有三个角是直角的四边形是矩形）进行判断即可． 正确，理由是： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝90°， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠A+∠B＝180°，∠A+∠D＝180°， ∴∠B＝90°，∠D＝90°， 即∠A＝∠B＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 故答案为：正确． 已知，D是△ABC中BC边上的一点，DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F，连接EF．请添加一个适当的条件 　 　，使四边形AEDF是矩形． 5. 【答案】∠BAC＝90°． 【解析】根据矩形的判定定理即可得到结论． 添加：∠BAC＝90°， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是矩形． 故答案为：∠BAC＝90°． 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°．求证：四边形ACFD是矩形． 6. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE， ∵E为线段CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵∠ACF＝90°， ∴四边形ACFD是矩形． 如图，在▱ABCD中，点O是边AB的中点，且OD＝OC． 7.（1）求证：∠ADO＝∠BCO； （2）求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵点O是边AB的中点， ∴AO＝BO， 在△ADO与△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（SSS）， ∴∠ADO＝∠BCO； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴∠A+∠B＝180°， ∵△AOD≌△BOC， ∴∠A＝∠B， ∵∠A+∠B＝180°， ∴∠A＝∠B＝90°， 即平行四边形ABCD是矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$