2.5 矩 形 暑假巩固练习2024-2025学年湘教版八年级数学下册

湘教版八年级下册 2.5 矩 形 暑假巩固 一、矩形的性质 如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交AB于点H，交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（　　） 1. A.12.5 B.12 C.10 D.10.5 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　） 2. A.3 B.4 C. D.5 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝9，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（　　） 3. A.19.5 B.21 C.22.5 D.27 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，OE＝2，∠BAO＝60°，则BD的长为 　 　． 4. 矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，取AD中点M，连接AF，GM，AF，GM交于点H，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则AH＝　 　． 5. 如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC和BD交点，且∠CAE＝15°． 6.（1）证明:△AOB为等边三角形； （2）求∠AOE的度数． 如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD． 7.求证：AO＝BO． 二、矩形的性质和判定的综合 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为点H，若知道△APE与△DPF的周长和，则一定能求出（　　） A.△BOC的周长 B.△ADH的周长 C.△ABC的周长 D.四边形APFH的周长 2.下列关于矩形的说法，正确的是(　　) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为AB边上任一点，过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是（　　） A.10 B. C.4.8 D.7.2 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为________________． 5.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于点G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 6.如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）若BC＝4，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积． 7.在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，交BC边于点E，DF∥BC，交AB边于点F，交AC边于点G，点H在FG的延长线上，GH＝DG，连接AH,CH. (1)如图1，求证：四边形ADCH为矩形； (2)如图2，当∠ACB＝60°，DG＝2FD时，请直接写出图中与线段AD长相等的线段． 三、用对角线判定矩形 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中能判定它为矩形的是（　　） A.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC B.AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC C.AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO D.AO＝BO＝CO＝DO 在四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线且AC＝BD．如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　） A.AB＝BC B.AC与BD互相平分 C.AC⊥BD D.AB⊥BD 对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A.梯形 B.矩形 C.三角形 D.平行四边形 如图，在平行四边形ABCD中，延长BA到点E，使AE＝AB，连接EC、ED、AC，请你添加一个条件 　AD＝CE（答案不唯一）　，使四边形ACDE是矩形． 4. 如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理__________________________________． 5. 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． 6.（1）当AC　等于　（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是什么？ 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH． 7.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形． 四、用定义判定矩形 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE＝AB，连接ED、EC、AC.添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是(　　) A.AC＝CD B.AB＝AD C.AD＝AE D.BC＝CE 如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A.∠A＝90° B.∠EBD＝∠ADB C.∠C＝90° D.∠DBC＝30° 在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.OH＝4 C.AD＝BC D.Rt△AHB 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　 　°时，四边形AEDF是矩形． 4. 如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝　 　时，活动框架是矩形． 5. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，且AC＝BD，求证：四边形ABCD是矩形． 6. 如图，在▱ABCD中，点O是边AB的中点，且OD＝OC． 7.（1）求证：∠ADO＝∠BCO； （2）求证：四边形ABCD是矩形． 五、矩形的判定综合 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接▱ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（　　） 1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线互相平分且垂直 C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直且相等 下列说法正确的是（　　） A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.对角互补的平行四边形是矩形 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，要使平行四边形ABCD是矩形请添加一个条件　 ． 矩形的判定方法包括：（1）　 　的平行四边形是矩形；（2）　 　的平行四边形是矩形；（3）　 　的四边形是矩形． 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. 6. (1)求证：四边形BFDE为矩形； (2)若AE＝3，BF＝4，AF平分∠DAB，求BE的长． 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． 7.（1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 六、矩形中的动点问题 已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（　　） A.AD＝4AE B.AD＝2AB C.AB＝2AE D.AB＝3AE 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） 2. A.4.8 B.5 C.3.6 D.5.4 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（　　） 3. A.一直增大 B.不变 C.先减小后增大 D.先增大后减小 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝　 　． 4. 如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________． 5. 如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E． 6.（1）求证：OE＝OF． （2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由． 如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点G是边AD上一动点，连接BG，若点H为BG的中点，连接AH，连接EH并延长交边CD于点F，过点A作AP⊥BG，垂足为点M，交EF于点P． 7.求证：AH＝HG； 七、动点中的矩形判定问题 如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB，∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE，AF，在下列结论：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④∠ECF＝90°，其中正确的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列选项不正确的是（　　） A.四边形ABCD是矩形 B.当点E是AB的中点时，OFCD C.当AB＝6，BC＝8时，线段OF长度的最大值为4 D.当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 3. A.当t＝3 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝4 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝3 s D.当CD＝PM时，t＝3 s或5 s 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝5，CD＝8，点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动，则当运动时间为 　 　秒时，四边形ABPD是矩形． 4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 　 　秒后，四边形BEDF是矩形． 5. 如图所示，在□ABCD中，∠A＝120°，AB＝3 cm，AD＝5 cm，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF． 6.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）点E移动过程中，四边形CEDF会变成某一种特殊的平行四边形吗？若会，直接回答：当AE等于多长时，四边形CEDF是矩形. 在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． 7.（1）若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E，F相遇时除外）并说明理由． （2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值． 湘教版八年级下册 2.5 矩 形 暑假巩固（参考答案） 一、矩形的性质 如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交AB于点H，交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是（　　） 1. A.12.5 B.12 C.10 D.10.5 【答案】D 【解析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD． ∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12， ∴CG＝DG12＝6， 在△DEG和△CFG中， ∴△DEG≌△CFG（ASA）， ∴DE＝CF，EG＝FG， 设DE＝x， 则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x， 在Rt△DEG中，EG， ∴EF＝2， ∵FH垂直平分BE， ∴BF＝EF， ∴6+2x＝2， 解得x＝4.5， ∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5， ∴BC＝AD＝10.5． 故选：D． 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　） 2. A.3 B.4 C. D.5 【答案】B 【解析】先由矩形的性质得出OA＝OB，结合题意证明△AOB是等边三角形即可． ∵四边形ABCD是矩形，且BD＝8， ∴， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形，OA＝AB＝4， 故选：B． 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝9，AD＝12，则四边形ABOM的周长为（　　） 3. A.19.5 B.21 C.22.5 D.27 【答案】D 【解析】由矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，可求得BC与CD的长，然后由勾股定理求得AC的长，再由三角形中位线的性质求得OM的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，求得OB的长，继而求得四边形ABOM的周长． ∵矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12， ∴BC＝AD＝12，CD＝AB＝9，∠ABC＝90°，OA＝OC， ∴AC15， ∴OB＝OA＝OCAC＝7.5， ∵M是AD的中点， ∴OMCD＝4.5，AMAD＝6， ∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM＝9+7.5+4.5+6＝27． 故选：D． 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AD于点E，OE＝2，∠BAO＝60°，则BD的长为 　 　． 4. 【答案】8 【解析】先由矩形的性质得出OA＝OB及AB＝2OE，从而得出∠BAO＝∠ABO＝60°，再推出∠ADB＝30°，最后利用含30°角的直角三角形的性质即可求解． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB＝OD，∠DAB＝90°， ∴∠BAO＝∠ABO＝60°， ∴∠DAO＝∠ADO＝30°， 又∵OE⊥AD， ∴OE是Rt△ABD的中位线， ∴AB＝2OE＝4， ∴BD＝2AB＝8． 故答案为：8． 矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，取AD中点M，连接AF，GM，AF，GM交于点H，若BC＝EF＝4，CD＝CE＝2，则AH＝　 　． 5. 【答案】 【解析】延长AD交EF于点N，先证四边形DGFN为矩形得DN＝FG＝2，GD＝FN＝CG﹣CD＝2，然后在Rt△AFN中由勾股定理求出，再证△GFH和△MAH全等得FH＝AH，进而可求出AH的值． 延长AD交EF于点N，如图所示： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，BC＝EF＝4，CD＝CE＝2， ∴∠ADC＝∠CGF＝∠GFE＝90°，AD＝BC＝EF＝CG＝4，CD＝AB＝CE＝FG＝2， ∴∠GDN＝∠CGF＝∠GFE＝90°，GD＝CG－CD＝4－2＝2， ∴四边形DGFN为矩形， ∴DN＝FG＝2，GD＝FN＝2， 在Rt△AFN中，AN＝AD+DN＝4+2＝6，FN＝2， 由勾股定理得， ∵∠ADC＝∠CGF＝90°， ∴FG⊥CG，AD⊥CG， ∴AD∥GF， ∴∠GFH＝∠MAH， 又∵M是AD的中点， ∴， ∴GF＝AM＝2， 在△GFH和△MAH中， ， ∴△GFH和△MAH（AAS）， ∴FH＝AH， ∴AHAF2． 故答案为：． 如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，O为对角线AC和BD交点，且∠CAE＝15°． 6.（1）证明:△AOB为等边三角形； （2）求∠AOE的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AO＝BOACBD， ∵AE是∠BAD的平分线； ∴∠BAE＝45°， ∵∠CAE＝15°， ∴∠BAC＝60°， ∴△AOB是等边三角形. （2）解：在Rt△ABE中，∠BAE＝45°， ∴AB＝BE， ∵△ABO是等边三角形 ∴AB＝BO， ∴OB＝BE， ∵∠OBE＝30°，OB＝BE， ∴∠BOE（180°－30°）＝75°． ∵△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°． 如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD． 7.求证：AO＝BO． 【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC－∠DOC＝∠BOD－∠DOC， ∴∠AOD＝∠BOC， 在△AOD和△BOC中， ， ∴△AOD≌△BOC（AAS）， ∴AO＝OB． 二、矩形的性质和判定的综合 1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P为边AD上一点，过P分别作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足为点E，F，过A作AH⊥BD，垂足为点H，若知道△APE与△DPF的周长和，则一定能求出（　　） A.△BOC的周长 B.△ADH的周长 C.△ABC的周长 D.四边形APFH的周长 【答案】B 【解析】过点P作PG⊥AH于G，连接PO，证出四边形PFHG为矩形，得出FH＝PG，证明△APE≌△PAG（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝PG，证明PE+PF＝AH，则可得出答案． 过点P作PG⊥AH于G，连接PO，如图， ∵PF⊥BD，AH⊥BD， ∴四边形PFHG为矩形， ∴HF＝PG， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC=OB＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠BAH+∠HAD＝∠HAD+∠ADO＝90°， ∴∠BAH＝∠ADO， 同理∠BAH＝∠APG， ∴∠APG＝∠PAE， ∵AP＝PA，∠AEP＝∠PGA＝90°， ∴△APE≌△PAG（AAS）， ∴AE＝PG， ∴AE＝HF， 又∵S△APO+S△PDO＝S△AOD， ∴OA·PE+OD·PF=OD·AH， ∴PE+PF＝AH， ∴△APE与△DPF的周长和＝AP+PE+AE+PD+PF+DF ＝AD+AH+PG+DF ＝AD+AH+HF+DF ＝AD+AH+HD， ∴知道△APE与△DPF的周长和，一定能求出△ADH的周长． 2.下列关于矩形的说法，正确的是(　　) A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相平分的四边形是矩形 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 矩形的对角线互相垂直且平分 【答案】C 【解析】A．对角线相等的四边形是矩形，不正确； B．对角线互相平分的四边形是矩形，不正确； C．矩形的对角线相等且互相平分，正确； D．矩形的对角线互相垂直且平分，不正确. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为AB边上任一点，过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是（　　） A.10 B. C.4.8 D.7.2 【答案】C 【解析】证四边形PECF是矩形，根据矩形的性质得出EF＝CP，根据垂线段最短得出CP⊥AB时，CP最短，然后根据三角形的面积公式求出此时CP的值即可． 连接CP，如图所示， ∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB＝90°， ∴∠PEC＝∠ACB＝∠PFC＝90°， ∴四边形PECF是矩形， ∴EF＝CP， 当CP⊥AB时，CP最小，即EF最小， ∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， 此时，由三角形面积公式得AC×BCAB×CP， ∴CP4.8， 即EF的最小值是4.8， 故选C． 4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，P为BC上一点，PF⊥AB于F，PE⊥AC于E，则DF与DE的关系为________________． 【答案】DF＝DE且DF⊥DE 【解析】如图，连接AD.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD， ∴AD＝BD＝CD，∠C＝∠BAD＝45°， ∵PF⊥AB，PE⊥AC， ∴∠AFP＝∠AEP＝∠EAF＝90°， ∴四边形AFPE是矩形，∠C＝∠EPC＝45°， ∴PE＝AF，PE＝CE， ∴AF＝CE， 在△ADF和△CDE中，AD=CD，∠FAD=∠C，AF=CE， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDC， ∴∠FDE＝∠ADC＝90°， 故答案为DF＝DE且DF⊥DE. 5.如图，在矩形ABCD中，AE＝AF，过点E作EH⊥EF交DC于点H，过F作FG⊥EF交BC于点G，当AD，AB满足____________(关系)时，四边形EFGH为矩形． 【答案】AD＝AB 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∵AE＝AF，∴∠AFE＝∠AEF＝45°.又∵EH⊥EF，FG⊥EF，∴∠GFB＝∠HED＝45°，∴△DHE和△BGF都是等腰直角三角形．如果四边形EFGH是矩形，则EH＝FG，∴ED＝FB，又∵AE＝AF，∴AD＝AB. 6.如图，将平行四边形ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，DE＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）若BC＝4，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）证明 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD， ∵BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∵DE＝AD， ∴DE＝BC， ∴平行四边形BECD是矩形. （2）解 由（1）可知，四边形BECD是矩形， ∴∠DBE＝90°， ∴∠ABD＝90°，BD⊥AB， ∵AD＝BC＝4， ∴BD2， ∴平行四边形ABCD的面积＝AB•BD＝2×24． 7.在△ABC中，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，交BC边于点E，DF∥BC，交AB边于点F，交AC边于点G，点H在FG的延长线上，GH＝DG，连接AH,CH. (1)如图1，求证：四边形ADCH为矩形； (2)如图2，当∠ACB＝60°，DG＝2FD时，请直接写出图中与线段AD长相等的线段． 【答案】(1)证明　如图1，∵∠DCA＝∠DCE，CD⊥AE， ∴∠CDA＝∠CDE＝90°， ∴∠CAD＋∠DCA＝90°，∠CEA＋∠DCE＝90°， ∴∠CAE＝∠CEA， ∴AC＝EC， ∴AD＝DE， ∵FH∥BC， ∴AG＝GC， ∵DG＝GH， ∴四边形ADCH是平行四边形， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形ADCH是矩形． (2)解　如图2，与AD相等的线段有DE，AG，GC，CH，BE,DG,GH. 理由：∵AC＝EC，∠ACE＝60°， ∴△ACE是等边三角形， ∵FH∥BC，AD＝DE， ∴△ADG是等边三角形，DF是△ABE的中位线， ∴与AD相等的线段有BE，DE，CG，AG，CH,DG,GH. 三、用对角线判定矩形 四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中能判定它为矩形的是（　　） A.AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC B.AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC C.AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO D.AO＝BO＝CO＝DO 【答案】D 根据已知条件逐一判断即可得出结论． 【解析】A、∵AO＝CO、BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形．故A错误． B、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝DC， 故B错误． C、∵AB∥CD、AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，AO＝CO， 故C错误． D、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AO＝BO＝CO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． 故选：D． 在四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线且AC＝BD．如果添加一个条件，即可推出四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　） A.AB＝BC B.AC与BD互相平分 C.AC⊥BD D.AB⊥BD 【答案】B 【解析】 根据对角线相等的平行四边形是矩形判断． ∵在四边形ABCD中，AC与BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形， 故选：B． 对角线相等且互相平分的四边形一定是（　　） A.梯形 B.矩形 C.三角形 D.平行四边形 【答案】B 【解析】根据矩形的判定可得对角线互相平分且相等的四边形一定是矩形． 对角线相等且互相平分的四边形一定是矩形， 故选：B． 如图，在平行四边形ABCD中，延长BA到点E，使AE＝AB，连接EC、ED、AC，请你添加一个条件 　AD＝CE（答案不唯一）　，使四边形ACDE是矩形． 4. 【答案】AD＝CE（答案不唯一）． 【解析】先证明四边形ACDE为平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 添加AD＝CE，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，且AB＝CD， ∵AE＝AB， ∴AE＝CD， 又CD∥AE, ∴四边形ACDE为平行四边形， 又∵AD＝CE， ∴平行四边形ACDE是矩形． 故答案为：AD＝CE（答案不唯一）． 如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理__________________________________． 5. 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【解析】这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，故答案为对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等就可判断了． 6.（1）当AC　等于　（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是什么？ 【答案】解：（1）∵两组对边分别平行， ∴四边形ABCD是平行四边形， 当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形； （2）这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形. 故答案为：等于；对角线相等的平行四边形为矩形． 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别为AB、CD中点，G、H分别在边DA、BC上，且AG＝CH． 7.（1）求证：四边形EHFG是平行四边形； （2）若GH＝AD，求证：四边形EHFG是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠D＝∠B，AD＝BC，AB＝CD， ∵点E、F分别为AB、CD中点， ∴AE＝EB＝CF＝FD， ∵AG＝CH， ∴BH＝DG， ∴△AGE≌△CHF（SAS），△BEH≌△DFG（SAS）， ∴EH＝GF，EG＝HF， ∴四边形EHFG是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵点E、F分别为AB、CD中点， ∴EF＝AD， ∵GH＝AD， ∴EF＝GH， ∴平行四边形EHFG是矩形． 四、用定义判定矩形 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE＝AB，连接ED、EC、AC.添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是(　　) A.AC＝CD B.AB＝AD C.AD＝AE D.BC＝CE 【答案】D 【解析】 添加一个条件BC＝CE，能使四边形ACDE成为矩形，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB平行且等于DC，∵AE＝AB，∴DC平行且等于AE，∴四边形DEAC是平行四边形，∵BC＝EC，AE＝AB，∴∠EAC＝90°，∴平行四边形ACDE是矩形．故选D. 如图，已知AB＝CD＝ED，AD＝EB，BE⊥DE，垂足为E，使四边形ABCD为矩形，可添加的一个条件是（　　） A.∠A＝90° B.∠EBD＝∠ADB C.∠C＝90° D.∠DBC＝30° 【答案】C 【解析】 当∠C＝90°时，即可判定△BCD≌△BED（HL），依据BC＝AD，AB＝CD，即可得出四边形ABCD是平行四边形，再根据∠C＝90°，即可得到四边形ABCD是矩形． 当∠A＝90°或∠EBD＝∠ADB或∠DBC＝30°时，不能得到四边形ABCD为矩形； 当∠C＝90°时，∵BE⊥DE， ∴∠C＝∠E＝90°， 又∵BD＝BD，CD＝ED， ∴△BCD≌△BED（HL）， ∴BC＝BE， 又∵AD＝EB， ∴BC＝AD， 又∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠C＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， 故选：C． 在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，如果添加一个条件，即可推出该四边形是矩形，那么这个条件可以是（　　） A.∠D＝90° B.OH＝4 C.AD＝BC D.Rt△AHB 【答案】A 【解析】 首先根据题意能得到平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定即可． ∵四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴当有一个角是直角时该四边形是矩形， 故选：A． 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　 　°时，四边形AEDF是矩形． 4. 【答案】45． 【解析】证明四边形AEDF是平行四边形，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝45°，则可得出∠A＝90°，由矩形的判定可得出答案． 当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形． ∵DF∥AB，DE∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠A＝90°， ∴四边形AEDF是矩形． 故答案为45． 如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝　 　时，活动框架是矩形． 5. 【答案】90°． 【解析】根据矩形的判定方法即可求解． 根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可以得到∠α＝90°． 故答案为：90°． 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，且AC＝BD，求证：四边形ABCD是矩形． 6. 【答案】证明：∵∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴AB∥CD，△ABC和△DCB是直角三角形， 在Rt△ABC和Rt△DCB中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． 如图，在▱ABCD中，点O是边AB的中点，且OD＝OC． 7.（1）求证：∠ADO＝∠BCO； （2）求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵点O是边AB的中点， ∴AO＝BO， 在△ADO与△BCO中， ， ∴△ADO≌△BCO（SSS）， ∴∠ADO＝∠BCO； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB， ∴∠A+∠B＝180°， ∵△AOD≌△BOC， ∴∠A＝∠B， ∵∠A+∠B＝180°， ∴∠A＝∠B＝90°， 即平行四边形ABCD是矩形． 五、矩形的判定综合 如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接▱ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（　　） 1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断． 顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形． ①∵AC⊥BD，∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO． ∵C△ABO＝C△CBO，∴AB＝BC． 根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CBO＝∠ADO． ∵∠DAO＝∠CBO，∴∠ADO＝∠DAO． ∴AO＝OD． ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； ④∵∠DAO＝∠BAO，BO＝DO， ∴AO⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直， ∴新四边形是矩形．符合条件． 所以①②④符合条件． 故选：C． 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（　　） A.对角线互相平分 B.对角线互相平分且垂直 C.对角线互相平分且相等 D.对角线互相垂直且相等 【答案】C 【解析】根据矩形的判定即可得到结论． A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不能判定四边形是矩形； B、对角线互相平分且垂直的四边形不一定是矩形，故B选项不能判定四边形是矩形； C、对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故C选项能判定四边形是矩形； D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故D选项不能判定四边形是矩形； 故选：C． 下列说法正确的是（　　） A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.对角互补的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】由矩形的判定方法得出A、B、C不正确，D正确，即可得出结论． ∵有一组对角是直角的四边形不一定是矩形， ∴选项A不正确；∵有一组邻角是直角的四边形不一定是矩形， ∴选项B不正确； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴选项C不正确； ∵对角互补的平行四边形一定是矩形， ∴选项D正确； 故选：D． 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，要使平行四边形ABCD是矩形请添加一个条件　 ． 【答案】任意写出一个正确答案即可（如AC＝BD或∠ABC＝90°） 【解析】矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件． 若使▱ABCD变为矩形，可添加的条件是： AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形） ∠ABC＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：任意写出一个正确答案即可（如AC＝BD或∠ABC＝90°） 矩形的判定方法包括：（1）　 　的平行四边形是矩形；（2）　 　的平行四边形是矩形；（3）　 　的四边形是矩形． 【答案】有一个角是直角；对角线相等；有三个角是直角． 【解析】由矩形的判定方法即可得出结论． 矩形的判定方法包括：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形． 故答案为：有一个角是直角；对角线相等；有三个角是直角． 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF. 6. (1)求证：四边形BFDE为矩形； (2)若AE＝3，BF＝4，AF平分∠DAB，求BE的长． 【答案】(1)证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DF∥BE，又∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴平行四形BFDE是矩形； (2)解　∵四边形BFDE是矩形， ∴DF∥AB，DE＝BF＝4，DF＝BE， ∴∠DFA＝∠FAB， 又∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠FAB， ∴∠DFA＝∠DAF， ∴DA＝DF， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， 在Rt△ADE中，AD＝＝＝5， ∴BE＝5. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG． 7.（1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵点E，F分别为OB，OD的中点， ∴BEOB，DFOD， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下： ∵AC＝2OA，AC＝2AB， ∴AB＝OA， ∵E是OB的中点， ∴AG⊥OB， ∴∠OEG＝90°， 同理：CF⊥OD， ∴AG∥CF， ∴EG∥CF， ∵EG＝AE，OA＝OC， ∴OE是△ACG的中位线， ∴OE∥CG， ∴EF∥CG， ∴四边形EGCF是平行四边形， ∵∠OEG＝90°， ∴四边形EGCF是矩形． 六、矩形中的动点问题 已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（　　） A.AD＝4AE B.AD＝2AB C.AB＝2AE D.AB＝3AE 【答案】C 【解析】 根据E是定点，可得G是定点，由S△EFGS平行四边形EFGH，点F位置改变，S△EFG不变，进而可以解决问题． 如图，连接EG， ∵E是定点， ∴G是定点， ∵S△EFGS平行四边形EFGH，点F位置改变，S△EFG不变， ∴EG∥BC， ∴E是AB中点， ∴若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足AB＝2AE， 故选：C． 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　） 2. A.4.8 B.5 C.3.6 D.5.4 【答案】A 【解析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． ∵∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8， ∴， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，， ∴， ∴MN的最小值为4.8， 故选：A． 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是（　　） 3. A.一直增大 B.不变 C.先减小后增大 D.先增大后减小 【答案】C 【解析】连接AP，先判断四边形AFPE是矩形，得EF＝AP，再由垂线段最短可得AP⊥BC时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况． 如图，连接AP． ∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴∠PEA＝∠PFA＝90°， ∵∠A＝90°， ∴四边形AFPE是矩形， ∴EF＝AP， 由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小， ∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大． 故选：C． 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG＝　 　． 4. 【答案】． 【解析】连接OE，根据矩形的性质得到BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO，∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC13，求得OB＝OC，根据三角形的面积公式即可得到结论． 连接OE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝12，AO＝CO＝BO＝DO， ∵AB＝5，BC＝12， ∴AC13， ∴OB＝OC， ∴S△BOC＝S△BOE+S△COEOB•EGOC•EFS△ABC15， ∴， ∴EG+EF， 故答案为：． 如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为__________． 5. 【答案】 【解析】如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K， 在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8， ∴△DEH为等腰直角三角形， ∵DG平分∠ADC， ∴DG垂直平分EH， ∴PE=PH， ∴的周长为PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF， ∴当点F，P，H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF， ∵E，F分别是AD，AB的中点， ∴AE=DE=DH=3，AF=4， ∴EF=5， ∵FK⊥CD， ∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°， ∴四边形ADKF为矩形， ∴DK=AF=4，FK=AD=6， ∴HK=1， ∴， ∴FH+EF=，即的周长最小值为． 如图，在△ABC中，O是AB上一点，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点F，交△ABC的外角∠ABD的平分线于点E． 6.（1）求证：OE＝OF． （2）连接AE，AF，点O可在AB上移动，若四边形BFAE是矩形，则点O在AB的什么位置？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABF＝∠FBC； ∵EF∥BC， ∴∠OFB＝∠FBC＝∠ABF， ∴△OBF为等腰三角形， ∴OB＝OF， 同理：OB＝OE， ∴OE＝OF； （2）解：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点时，理由如下： ∵四边形BFAE为矩形， ∴∠AEB为直角， ∴△AEB为直角三角形； ∵四边形BFAE为矩形， ∴OA＝OB＝OE＝OF， 在Rt△AEB中，OE＝OA＝OB， ∴O为斜边AB的中点， 答：若四边形BFAE是矩形，则O为AB的中点． 如图，点E是矩形ABCD的边AB的中点，点G是边AD上一动点，连接BG，若点H为BG的中点，连接AH，连接EH并延长交边CD于点F，过点A作AP⊥BG，垂足为点M，交EF于点P． 7.求证：AH＝HG； 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AB∥CD， ∵E是矩形ABCD边AB的中点，点H为BG的中点， ∴EH∥BC， ∵连接EH并延长交边CD于点F， ∴F是矩形ABCD边CD的中点， ∴AEABCD＝DF， ∴四边形AEFD是矩形， ∴EF∥AD， 又E是AB中点， H是BG的中点， ∵∠BAD＝90°， ∴AHBG＝HG； 七、动点中的矩形判定问题 如图，在锐角△ABC中，延长BC到点D，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN分别交∠ACB，∠ACD的平分线于E，F两点，连接AE，AF，在下列结论：①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④∠ECF＝90°，其中正确的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】C 【解析】 ①只要证明OC＝OE，OC＝OF即可． ②首先证明∠ECF＝90°，若CE＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误. ③利用勾股定理可得EF＝13，推出OC＝6.5，故③错误． ④根据矩形的判定方法即可证明． ∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF， ∵∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF， ∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF， ∴OC＝OE＝OF，故①正确； ∵∠BCD＝180°， ∴∠ECF＝90°，故④正确； 若CE＝CF，则∠OFC＝45°，显然不可能，故②错误； ∵∠ECF＝90°，EC＝12，CF＝5， ∴EF13， ∴OCEF＝6.5，故③错误. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OB＝OC＝OD，点E从点B开始，沿四边形的边BA﹣AD运动至点D停止，CE与BD相交于点N，点F是线段CE的中点．连接OF，下列选项不正确的是（　　） A.四边形ABCD是矩形 B.当点E是AB的中点时，OFCD C.当AB＝6，BC＝8时，线段OF长度的最大值为4 D.当点E在边AB上，且∠COF＝60°时，△OFN是等边三角形 【答案】D 【解析】 根据矩形的判定得出A选项，根据中位线定理判断B选项，根据当点E与点D重合时，OF的值最大得出C选项，进而根据等边三角形的判定解答即可． 对于A，∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是矩形，故A正确，不符合题意． 对于B，∵点O，F分别是AC，CE的中点， ∴OF是△ACE的中位线． ∴， 又∵点E是AB的中点， ∴CD＝AB＝2AE． ∴CD＝4OF，即，故B正确，不符合题意． 对于C，当点E与点D重合时，OF的值最大． ∵AD＝BC＝8， ∴AE的最大值是8． ∴，即线段OF长度的最大值是4，故C正确，不符合题意． 对于D，∵OF∥AB，∴当∠COF＝60°时，∠OAB＝60°， ∵∠BEN＞∠OAB， ∴∠OFN=∠BEN＞60°， ∴△OFN不是等边三角形，故D错误，符合题意. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（　　） 3. A.当t＝3 s时，四边形ABMP为矩形 B.当t＝4 s时，四边形CDPM为平行四边形 C.当CD＝PM时，t＝3 s D.当CD＝PM时，t＝3 s或5 s 【答案】D 【解析】根据题意，表示出DP，BM，AP和CM的长，当四边形ABMP为矩形时，根据AP＝BM，列方程求解即可；当四边形CDPM为平行四边形，根据DP＝CM，列方程求解即可；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，②四边形CDPM是等腰梯形，分别列方程求解即可． 根据题意，可得DP＝t cm，BM＝t cm， ∵AD＝8 cm，BC＝6 cm， ∴AP＝（8－t）cm，CM＝（6－t）cm， 当四边形ABMP为矩形时，AP＝BM， 即8－t＝t， 解得t＝4， 故A选项不符合题意； 当四边形CDPM为平行四边形时，DP＝CM， 即t＝6－t， 解得t＝3， 故B选项不符合题意； 当CD＝PM时，分两种情况： ①四边形CDPM是平行四边形， 此时CM＝DP， 即6－t＝t， 解得t＝3， ②四边形CDPM是等腰梯形， 过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示， 则∠MGP＝∠CHD＝90°， ∵PM＝CD，GM＝HC， ∴△MGP≌△CHD（HL）， ∴GP＝HD， ∵AG＝AP+GP＝8－t， 又∵BM＝t， ∴8－tt， 解得t＝5， 综上，当CD＝PM时，t＝3 s或5 s， 故C选项不符合题意，D选项符合题意. 故选：D． 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝5，CD＝8，点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动，则当运动时间为 　 　秒时，四边形ABPD是矩形． 4. 【答案】6 【解析】由矩形的判定可得出8－0.5t＝5，则可得出答案． 设运动时间为t秒， ∵点P从点C出发沿边CD以每秒0.5个单位长度的速度向点D运动， ∴PC＝0.5t， ∵AB∥CD，AB⊥AD，四边形ABPD是矩形， ∴AB＝DP， ∴8－0.5t＝5， ∴t＝6. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过 　 　秒后，四边形BEDF是矩形． 5. 【答案】2或10 【解析】设运动的时间为t秒，则AE＝CF＝t，由平行四边形的性质得OE＝OF＝6－t或OE＝OF＝t－6，再根据OE＝OD列方程6－t＝4或t－6＝4，求出t的值即可． 设运动的时间为t秒， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝8， ∴OA＝OCAC＝6，OB＝ODBD＝4， ∵AE＝CF＝t， ∴OE＝OF＝6－t或OE＝OF＝t－6， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴当EF＝BD时，四边形BEDF是矩形， ∴OE＝OD， ∴6－t＝4或t－6＝4， ∴t＝2或t＝10， ∴经过2秒或10秒后，四边形BEDF是矩形. 如图所示，在□ABCD中，∠A＝120°，AB＝3 cm，AD＝5 cm，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF． 6.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形； （2）点E移动过程中，四边形CEDF会变成某一种特殊的平行四边形吗？若会，直接回答：当AE等于多长时，四边形CEDF是矩形. 【答案】（1）证明　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CF∥ED， ∴∠FCG＝∠EDG， ∵G是CD的中点， ∴CG＝DG， 在△FCG和△EDG中， ∴△FCG≌△EDG（ASA）， ∴FG＝EG， ∵CG＝DG， ∴四边形CEDF是平行四边形. （2）解 点E移动过程中，四边形CEDF会变成某一种特殊的平行四边形， 当AE＝3.5时，四边形CEDF是矩形， 理由：如图，过A作AM⊥BC于M， ∵∠B＝60°，AB＝3， ∴BM＝1.5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5， ∵AE＝3.5， ∴DE＝1.5＝BM， 在△MBA和△EDC中，， ∴△MBA≌△EDC（SAS）， ∴∠CED＝∠AMB＝90°， ∵四边形CEDF是平行四边形， ∴四边形CEDF是矩形. 在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10． 7.（1）若G，H分别是AD，BC的中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形（E，F相遇时除外）并说明理由． （2）在（1）的条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值． 【答案】解（1）四边形EGFH是平行四边形；理由： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠GAE＝∠HCF， ∵G，H分别是AD，BC的中点， ∴AGAD，CHBC， ∴AG＝CH， ∵点E，F的运动速度相同， ∴AE＝CF， ∴△AGE≌△CHF（SAS）， ∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， ∴180°－∠AEG＝180°－∠CFH，即∠GEF＝∠HFE， ∴GE∥HF， ∴四边形EGFH是平行四边形． （2）如图1，连接GH， ∵G，H分别是AD，BC的中点， ∴AGAD，BHBC， ∴AG＝BH， ∵在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴GH＝AB＝6， ①如图1，当四边形EGFH是矩形时， EF＝GH＝6， ∵AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10， ∵AE＝CF＝t， ∴EF＝10－2t＝6， ∴t＝2； ②如图2，当四边形EGFH是矩形时， 同理EF＝GH＝6，AE＝CF＝t， ∴EF＝t+t－10＝2t－10＝6， ∴t＝8， 综上所述，四边形EGFH为矩形时，t＝2或t＝8． 学科网（北京）股份有限公司 $$