4.1等式与方程 讲义（思维导图要点+知识梳理+巩固练习） 2025—2026学年苏科版数学七年级上册

4.1等式与方程 讲义 2025—2026学年苏科版数学七年级上册 思维导图要点 知识梳理 一、核心概念 1. 等式：表示相等关系的式子叫作等式，如 2. 方程：含有未知数的等式叫作方程。方程必须满足两个条件：①是等式；②含有未知数。 示例： 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程（如3+2=5是等式但不是方程）。 3. 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值。 示例：x=2是方程2x+3=7的解。 4. 解方程：求方程的解的过程。 二、等式的性质 1. 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立。 数学表达式： 示例： 2. 性质2：等式两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。 数学表达式： 示例： 三、方程的要素 1. 必要条件： 必须是等式（含有等号）； 必须含有未知数 2. 常见形式： 示例： 巩固练习 一、选择题 1．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A.不含未知数，不是方程，不符合题意； B.不是等式，不是方程，不符合题意； C.不是等式，不是方程，不符合题意； D.是含有未知数的等式，是方程，符合题意； 故答案为：D. 【分析】含有未知数的等式是方程，根据方程的定义对每个选项逐一判断求解即可。 2．如果是关于的方程的解，那么等于（　　） A． B． C．3 D．1 【答案】B 【解析】【解答】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：B． 【分析】根据方程解的定义，把方程的解代入方程，建立关于的一元一次方程，求解即可． 3．一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（　　） A．x+1=（30﹣x）﹣2 B．x+1=（15﹣x）﹣2 C．x﹣1=（30﹣x）+2 D．x﹣1=（15﹣x）+2 【答案】D 【解析】【解答】∵长方形的长为xcm，长方形的周长为30cm，∴长方形的宽为（15﹣x）cm，∵这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，∴x﹣1=15﹣x+2， 故答案为：D． 【分析】根据长方形的周长公式，表示出长方形的宽，再由正方形的各边长相等得出等式即可。 4．将一堆糖果分给幼儿园的小朋友，如果每人2颗，那么就多4颗；如果每人3颗，那么就少6颗．设有糖果颗，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：设有糖果颗， 根据题意得：． 故答案为：A． 【分析】设有糖果颗，根据这个幼儿园小朋友的人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，即可得解。 5．某阶梯教室开会，设座位有x排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位．则下列方程正确的是（　　） A．30x﹣8=31x﹣26 B．30x+8=31x+26 C．30x+8=31x﹣26 D．30x﹣8=31x+26 【答案】C 【解析】【解答】解：设座位有x排， 由题意得，30x+8=31x-26． 故答案为：C． 【分析】设座位有x排，利用教室的坐位是一个定值，列出方程即可。 6．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（　　） x -2 -1 0 1 2 4 0 -4 -8 -12 A．－1 B．－2 C．0 D．为其它的值 【答案】C 【解析】【解答】∵ ∴ 由表知，当x=0时，的值为−4 所以方程的解为x=0 从而的解为x=0 故答案为：C 【分析】根据表格可得当x=0时，的值为−4，即可得到的解为x=0。 二、填空题 7．观察下表，写出关于x的方程的解是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：观察表格可得，当时，，∴的解是， 故答案为：． 【分析】直接观察并找出使方程两边代数式值相等的数字即可． 8． 一个数的平方正好比这个数的3倍大4，求这个数。设这个数是x，可列出方程：　 　。 【答案】 【解析】【解答】解： 设这个数是x， ∴方程为： 故答案为：. 【分析】设这个数是x，根据"一个数的平方正好比这个数的3倍大4"，据此即可列出方程. 9．如图所示为处于平衡状态的天平，若每个A的质量为 20 g，则每个 B 的质量为　 　g。 【答案】10 【解析】【解答】设每个Ｂ的质量为x克，由题意列方程得： 解方程得：x=10（g） 答：每个Ｂ的质量显10g. 故答案为：10. 【分析】天平处于平衡状态，即左右两个托盘质量相等，可得出相等关系。 10．已知一个长方形的周长为36cm，若长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，设原来长方形的长为xcm，则可列方程　 　． 【答案】x-1=2（18-x） 【解析】【解答】解：∵长方形的长为x cm，长方形的周长为36 cm， ∴长方形的宽为（18-x）cm， ∵这长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个方形， ∴x-1=2（18-x）. 故答案为：x-1=2（18-x）. 【分析】先求出长方形的长和宽，再利用正方形的边长相等，即可列出方程x-1=2（18-x）. 11．把一批图书分给同学，若每人分3本，则剩下20本，若每人分4本，则还差25本．问有多少同学？若设有x名同学，则可列方程　 　． 【答案】3x+20=4x-25 【解析】【解答】解：设有x名学生，根据书的总量相等可得： 3x+20=4x-25. 故答案为：3x+20=4x-25. 【分析】设有x名学生，根据每人分3本，则剩下20本可得书的总量为3x+20；根据每人分4本，则还差25本可得书的总量为4x-25，然后根据书的数量一定就可列出方程. 12．某车间有21名工人，每人每天可以生产螺栓12个或螺母18个，设 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，要求每天生产的螺栓和螺母按 刚好配套，则可列方程为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：设 名工人生产螺栓， 根据生产螺栓人数+生产螺母人数=21人，生产螺母人数为 （21- y）人， 根据螺栓数量的2倍=螺母数量，得方程2×12y=18(21-y)． 故答案为：2×12y=18(21-y)． 【分析】设 名工人生产螺栓，根据每天生产的螺栓和螺母按 1：2刚好配套，可得出方程。 三、解答题 13．请填写下表，然后说出方程3x-8=x的解． x …… 0 0.1 1 3 4 5.5 6 …… 3x-8 …… 　 　 　 　 　 　 　 …… 【答案】解： x …… 0 0.1 1 3 4 5.5 6 …… 3x-8 …… -8 -7.7 -5 1 4 8.5 10 …… 由表知：x=4. 【解析】【分析】先把表中给出的x的值分别代入3x-8中进行计算即可填表，然后从表中可以看出当x=4时，3x-8=x成立，即可解答. 14．在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10℃．假设地表温度是18℃，某矿井内的温度是25℃，问该矿井在地表以下约多少千米处？若设该煤矿在地表以下x(km)处，请列出方程． 【答案】解：由题意可得，10x+18=25． 【解析】【分析】 该煤矿在地表以下x(km)处 ，则说明下降了x(km)，每下降1km温度就上升约10℃ ，则总共上升了10x，可以列出相应的方程． 15．某校七年级的一名学生做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道题只看到如下字样：“甲、乙两地相距120千米”，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时， ？请你将这道题补充完整，并列出方程． 【答案】解：补充条件：两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，几小时后两车相遇？ 设x小时后两车相遇，依题意得：45x+35x=120 【解析】【分析】开放性的命题，答案不唯一，补充条件：两车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，几小时后两车相遇？设x小时后两车相遇，根据相遇问题中的等量关系甲所走的路程+乙所走的路程=总路程即可列出方程。 16． 下列各式中，哪些是方程? 如果是方程，说出方程中的未知数。 （1）a+5=-8； （2）3x≠5； （3）x+y=8； （4）7+2=2+7； （5） 【答案】（1）解：是等式且含有未知数， ∴是方程； 方程中的未知数为. （2）解：是不等式，不是等式， ∴不是方程. （3）解：是等式且含有未知数和， ∴是方程； 方程中的未知数为和. （4）解：是等式但不含未知数， ∴不是方程. （5）解：是等式且含有未知数和， ∴是方程. 【解析】【分析】（1）根据方程方程的定义：含有未知数的等式，据此判断即可； （2）根据方程方程的定义：含有未知数的等式，据此判断即可； （3）根据方程方程的定义：含有未知数的等式，据此判断即可； （4）根据方程方程的定义：含有未知数的等式，据此判断即可； （5）根据方程方程的定义：含有未知数的等式，据此判断即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1等式与方程 讲义 2025—2026学年苏科版数学七年级上册 思维导图要点 知识梳理 一、核心概念 1. 等式：表示相等关系的式子叫作等式，如 2. 方程：含有未知数的等式叫作方程。方程必须满足两个条件：①是等式；②含有未知数。 示例： 方程与等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程（如3+2=5是等式但不是方程）。 3. 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值。 示例：x=2是方程2x+3=7的解。 4. 解方程：求方程的解的过程。 二、等式的性质 1. 性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立。 数学表达式： 示例： 2. 性质2：等式两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。 数学表达式： 示例： 三、方程的要素 1. 必要条件： 必须是等式（含有等号）； 必须含有未知数 2. 常见形式： 示例： 巩固练习 一、选择题 1．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 2．如果是关于的方程的解，那么等于（　　） A． B． C．3 D．1 3．一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（　　） A．x+1=（30﹣x）﹣2 B．x+1=（15﹣x）﹣2 C．x﹣1=（30﹣x）+2 D．x﹣1=（15﹣x）+2 4．将一堆糖果分给幼儿园的小朋友，如果每人2颗，那么就多4颗；如果每人3颗，那么就少6颗．设有糖果颗，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 5．某阶梯教室开会，设座位有x排，每排坐30人，则有8人无座位；每排坐31人，则空26个座位．则下列方程正确的是（　　） A．30x﹣8=31x﹣26 B．30x+8=31x+26 C．30x+8=31x﹣26 D．30x﹣8=31x+26 6．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值，则关于x的方程的解为（　　） x -2 -1 0 1 2 4 0 -4 -8 -12 A．－1 B．－2 C．0 D．为其它的值 二、填空题 7．观察下表，写出关于x的方程的解是　 　． 8． 一个数的平方正好比这个数的3倍大4，求这个数。设这个数是x，可列出方程：　 　。 9．如图所示为处于平衡状态的天平，若每个A的质量为 20 g，则每个 B 的质量为　 　g。 10．已知一个长方形的周长为36cm，若长方形的长减少1cm，宽扩大为原来的2倍后成为一个正方形，设原来长方形的长为xcm，则可列方程　 　． 11．把一批图书分给同学，若每人分3本，则剩下20本，若每人分4本，则还差25本．问有多少同学？若设有x名同学，则可列方程　 　． 12．某车间有21名工人，每人每天可以生产螺栓12个或螺母18个，设 名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，要求每天生产的螺栓和螺母按 刚好配套，则可列方程为　 　． 三、解答题 13．请填写下表，然后说出方程3x-8=x的解． x …… 0 0.1 1 3 4 5.5 6 …… 3x-8 …… 　 　 　 　 　 　 　 …… 14．在地球表面以下，每下降1km温度就上升约10℃．假设地表温度是18℃，某矿井内的温度是25℃，问该矿井在地表以下约多少千米处？若设该煤矿在地表以下x(km)处，请列出方程． 15．某校七年级的一名学生做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道题只看到如下字样：“甲、乙两地相距120千米”，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时， ？请你将这道题补充完整，并列出方程． 16． 下列各式中，哪些是方程? 如果是方程，说出方程中的未知数。 （1）a+5=-8； （2）3x≠5； （3）x+y=8； （4）7+2=2+7； （5） 学科网（北京）股份有限公司 $$