1.4.2 充要条件（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教A版

1.4.2　充要条件 [对应学生用书P14] 知识点　充要条件 1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. [微体验] 1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　) A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条件 B　[|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，x＝y⇒|x|＝|y|.] 2．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的______． 解析　因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件． 答案　充要条件 3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)． (1)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0； (2)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c. 解析　在(1)中，q⇒p，qp，所以(1)中p不是q的充要条件，在(2)中，p⇔q，所以(2)中p是q的充要条件． 答案　(2) [对应学生用书P14] 探究一　充要条件的判断 (1)“m＞”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0无实数解”的(　　) A．充分不必要条件　 B．充要条件 C．必要不充分条件　 D．既不充分也不必要条件 B　[方程x2＋x＋m＝0无实根⇔Δ＝1－4m＜0⇔m＞.] (2)a、b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A．ab＝0　 B．ab＞0 C．a2＋b2＝0　 D．a2＋b2＞0 D　[a2＋b2＞0，则a、b不同时为零；a、b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.] [方法总结] 判断充要条件的解题思路以及注意事项 (1)思路： 充要条件的判断思路同充分条件、必要条件的一样． (2)注意事项： ①在定义法中，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要性； ②在推出法中，使用的是双向推出法，而不是单向推出法； ③在集合法中，判断的是两个集合互为子集，即判断两个集合相等． [跟踪训练1]　下列所给的p，q中，p是q的充要条件的为______．(填序号) ①若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ②p：|x|＞3，q：x2＞9. 解析　①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件． ②由于p：|x|＞3⇔q：x2＞9，所以p是q的充要条件．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 答案　①② 探究二　充要条件的证明 已知ab≠0.求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. 证明　先证必要性：因为a＋b＝1， 所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＋ab－a2－b2＝a2－ab＋b2＋ab－a2－b2＝0. 所以必要性成立． 再证充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， 即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， 所以(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0. 又因为ab≠0，所以a≠0且b≠0. 从而a2－ab＋b2＝≠0. 2＋ 所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.故充分性成立． 所以a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. [方法总结] 充要条件的证明策略 (1)要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题为真：“若p，则q”为真，且“若q，则p”为真． (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证出哪些结论． [跟踪训练2]　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一负根． 所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0. 充分性：由ac＜0，可推得b2－4ac＞0，及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)． 所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号． 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.[来源:学科网ZXXK] [对应学生用书P15] 1．充要条件的概念 既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件． 2．形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系 (1)p是q的充分不必要条件 (2)p是q的必要不充分条件 (3)p是q的充分必要条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件 3．证明充要条件时，既要证明充分性，又要