5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课后提升训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课后提升训练 人教A版2019必修第一册2025-2026学年 一、单项选择题 1．已知角，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C．7 D． 3．已知是方程的两个根，且，则（   ） A． B． C． D． 4．曲线与直线的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知均为锐角，且，则（    ） A． B． C． D．或 6．（    ） A．3 B．4 C． D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．在锐角中，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D．8 二、多项选择题 9．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，则 . 13．已知锐角满足方程，则的值为 . 14．已知，则 ． 四、解答题 15．已知，， (1)求的值； (2)求的值； 16．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 17．已知． (1)求的值； (2)求的值． 18．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 19．已知. (1)求的值； (2)求的值. 20．已知，求 (1)的值； (2)的值． 21．已知，是方程的两个实根，且. (1)若，求的值； (2)用表示，并求其最大值. 22．已知均为第一象限的角，且 (1)的值； (2)的值． 23．已知 (1)求证：. (2)若. ①求； ②若，且，求. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、单项选择题 1．B 【分析】先根据平方关系求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可. 【详解】由，，则， 则， ， 所以 . 故选：B. 2．D 【分析】将已知条件两侧平方并整理得，结合已知得，最后应用商数关系及和差正余弦公式求值. 【详解】由，得，解得， 由于，则，又，则， 则， 则． 故选：D 3．A 【分析】根据韦达定理与两角和的正切公式结合求解即可. 【详解】由韦达定理可得，，， 又，故. 故选：A 4．A 【分析】先根据诱导公式和二倍角公式化简，再利用和的函数图象求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，， 如图，作出与的大致图象，易知二者共有3个交点， 故选：A 5．A 【分析】由两角和的正切公式分别求出，，再判断角的范围即可求解． 【详解】由题可知， ， 由于均为锐角，且，故， 同理有， 故，所以， 故选：A． 6．B 【分析】由两角和的正切公式进行求解． 【详解】， ， 即， ， 同理可得． ． 故选：B． 7．D 【分析】根据给定条件，逆用差角的正切公式求出，再利用二倍角的余弦公式求值. 【详解】依题意，， 则，即， 所以当时， . 故选：D 8．D 【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，由利用基本不等式和上述结论，可推得，从而可得的最小值. 【详解】由，可得． 因为为锐角三角形，所以均大于0． 则（*）， 当且仅当时取等号． 而 ， 则由（*）可得：， 即，当且仅当， 即时取等号. 即当或时， 的最小值是8． 故选： D. 二、多项选择题 9．ABD 【分析】利用二倍角的余弦公式化简判断A，利用两角差的正切公式化简判断B，结合诱导公式，利用两角差的余弦公式求解判断C，通分利用辅助角公式、二倍角公式求解判断D. 【详解】对于A，由二倍角的余弦公式得，故A正确， 对于B，由两角差的正切公式得，故B正确， 对于C，由题意结合两角差的余弦公式得，故C错误， 对于D，由诱导公式得， 可得，故D正确. 故选：ABD 10．BCD 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A，，故， 则，故故A错误； 对于B，故B正确； 对于C， ，故， 因为，为锐角，所以，故， 故 所以故C正确； 对于D，由B知，，故 所以 故，故D正确. 故选：BCD 11．ABC 【分析】对于AB：根据两角和差的正弦公式计算判断；对于C：切化弦求解判断；对于D根据两角和的正切公式化简结合选项C判断. 【详解】对于AB：因为，， 所以，， 故AB正确； 对于C：因为，故C正确； 对于D： ，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12． 【分析】逆用两角差的余弦公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 13． 【分析】化简方程，利用二倍角公式和同角的三角函数关系式计算求得，再利用二倍角的正弦公式和齐次化处理求得，最后利用二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由可得：， 则，即得， 因，则，由可得， 于是， 故. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意，化简求解可得，由诱导公式及二倍角公式化简，再利用齐次式求解即可. 【详解】因为，则， 即，显然， 可得，整理得， 解得或， 又因为，可得， 所以． 故答案为：. 四、解答题 15．(1) (2) 【分析】（1）利用和差化积公式，求出，然后利用二倍角公式，结合齐次式法求解可得． （2）利用和差化积公式，求出，然后利用二倍角公式，结合齐次式法求解可得． 【详解】（1），① 又，．② ，由①②，得，即． ． （2）由（1）知． ． 16．(1) (2) 【分析】（1）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的余弦公式可得答案； （2）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的正弦公式可得答案. 【详解】（1）因，则. 从而； （2）因，则. 从而. 17．(1) (2) 【分析】（1）先由结合两角差正切公式求出，再由倍角公式即可求解； （2）法一：由和诱导公式以及正切的倍角公式即可求解；法二：先由求出，再由正切的倍角公式即可求解. 【详解】（1）因为 所以， （2）法一：， 所以有，即，解得． 法二：， 则有，即，解得． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据题意整理可得，结合齐次式问题运算求解； （2）解法一：根据结合三角恒等变换可得，即可得结果；解法二：根据结合三角恒等变换可得，即可得结果. 【详解】（1）因为， 所以 ． （2）方法一：因为，且， 可知，则， 可得， ． 因为，则， ， 因为，所以解得，， 所以， 由，可得， 所以． 方法二：，且， 可得，， 则． 又因为，解得， 可得． 由，可得， 所以． 19．(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数平方关系求，由，利用两角差的正弦公式即可求解； （2）由（1）得，进而求，利用二倍角公式求，最后利用诱导公式和两角和的余弦公式即可求解. 【详解】（1）由有，又，所以， 所以； （2）由（1）有，，所以， 所以， 所以， 所以. 20．(1) (2) 【分析】（1）先根据二倍角正切公式求得，再利用两角和的正切公式求解即可． （2）由于，将分式分子、分母都除以，化为正切函数，代入求值即可． 【详解】（1）∵tan=2．∴； ∴=． （2）由（1）得． ． 21．(1)1 (2)， 【分析】（1）根据韦达定理，结合正切的和角公式即可代入求解， （2）根据二倍角公式以及和差角公式化简，结合弦切互化将式子变形为，即可利用基本不等式求解最值得解. 【详解】（1）当时， 由题意知：， 所以 （2）由题知：，， 则， 因为 ， 所以 由于，故，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取得最大值为. 22．(1) (2) 【分析】（1）根据，然后根据两角和的正弦公式计算即可； （2）先计算，然后利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）由均为第一象限的角，， 所以， 所以， 所以 （2）， 所以， 所以 23．(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用和角的正弦及二倍角公式计算得证. （2）①由（1）的结论及二倍角的余弦公式求解；②由①及已知，结合同角公式及正弦函数性质求解. 【详解】（1）依题意， ， 所以. （2）①由（1）得，，解得， 所以. ②由及①，得，则，解得， 而，于是， 即，而，且函数在上单调递增， 所以，即. $$