第4章 一元一次方程 同步训练 2025-2026学年苏科版数学七年级上册

第4章 一元一次方程 一、单选题 1．已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，正方形的一边长减少后，得到一个长方形（图中阴影部分），若长方形的周长为，求正方形的边长．设正方形的边长为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．元旦联欢会上，班长买了一些糖果分给全班同学．若每人分3颗，则余25颗；若每人分4颗，则少20颗．则班长共买了（       ）颗糖果 A．180 B．45 C．160 D．135 4．下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 5．等式的基本性质是解方程的基础，很多方程的解法都运用到等式的基本性质，下列根据等式的基本性质变形错误的是（    ） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由，得到 6．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 7．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了这样一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何.”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94 只脚，问笼中各有多少只鸡和兔.设鸡有x 只，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．点A，B是在数轴上不同的两个点，它们所对应的数分别是，，且点A、B到原点的距离相等，则x的值为 ． 9．若关于x、y的多项式的二次项系数为1，则 ． 10．李老师正在表演一个神奇的魔术，他邀请一位同学在心里默默想一个1到9之间的整数，接着按照一系列步骤进行计算：首先将这个数字乘以2，再加上5，随后把得到的结果乘以50，然后加上1775；最后用上述计算的结果减去自己的出生年份．经过一番计算后，若这位同学报出最终运算结果是615，则这位同学心里想的整数是 ． 11．数轴上两点A、B所表示的数分别为和6，点P、Q分别是数轴上两动点，点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，当时，点Q在数轴上对应的数为 ． 12．一片草地，可供5头牛吃30天，或者可供4头牛吃40天．如果4头牛吃30天后，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃 天． 三、解答题 13．解方程： (1) (2) 14．一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 15．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：每张硬纸板剪6个侧面；B方法：每张硬纸板剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法． (1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问多少张硬纸板用A方法裁剪？能做多少个盒子？ 16．一项工程甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成． (1)甲队的工作效率是 ，乙队的工作效率是 ，甲乙合作的工作效率是 ，故甲乙合作完成该工程需要 天； (2)现甲队先单独做天，然后剩余工程由两个工程队合作完成，甲一共参与了多少天？ 17．已知数轴上两点对应的数分别是和，点为数轴上任意一点，其对应的数为． (1)的长为____________； (2)数轴上是否存在一点，使点到点、点的距离和为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点从出发以每秒个单位长度的速度向左运动，从出发以每秒个单位长度的速度向左运动．假设点同时出发，请你求出经过多少秒后，之间距离为个单位． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且． 【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④，函数2个未知数，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程． 一元一次方程有：②③⑤共3个． 故选：B 2．D 【分析】本题主要考查一元一次方程解几何问题，根据长方形边长与正方形边长的关系列式即可求解，掌握一元一次方程的实际运用是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴, 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设班长共买了颗糖果，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设班长共买了颗糖果，依题意得： ， 解得：． ∴班长共买了160颗糖果． 故选：C. 4．D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将分别代入选项方程，能使等式成立的即为正确答案，理解一元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入方程得，左边右边， ∴不是方程解，该选项不合题意； 、把代入方程得，左边右边， ∴不是方程解，该选项不合题意； 、把代入方程得，左边，右边，左边右边， ∴不是方程解，该选项不合题意； 、把代入方程得，左边，右边，左边右边， ∴是方程解，该选项符合题意； 故选：． 5．C 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或字母)，等式仍成立；等式的两边同时乘以(或除以)同一个不为0数(或字母)，等式仍成立．根据等式的性质求解即可． 【详解】解：A、两边都加2，得到，故A正确，不符合题意； B、两边都减3，得到，故B正确，不符合题意； C、当，由，不一定能得出 ，也可能，故C错误，符合题意； D、两边都乘，得，故D正确，不符合题意． 故选：C． 6．B 【分析】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论．先求出点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时，                         ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故选：B． 7．A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握每只鸡脚数与每只兔脚数列出方程，是解题的关键． 本题可设鸡有x只，则兔有只，根据“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．”即可得出等量关系，根据等量关系列出方程即可， 【详解】设有x只鸡，则有只兔子， 可列方程为：． 故选：A． 8． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的意义，数轴上两点距离，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 根据题意以及绝对值的意义，得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点A，B是在数轴上不同的两个点，它们所对应的数分别是，， ∴， ∴ 去分母，得， 解得． 故答案为：． 9． 【分析】本题主要考查多项式及合并同类项，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意列出关于的方程式，进而得出答案． 【详解】解：关于、的多项式的二次项系数为1， ， ． 故答案为：． 10．6 【分析】本题考查了代数式的运算，方程的求解，枚举法，而利用枚举法根据实际情况判断是解题的关键．设该同学想的整数是x，他的出生年份是b，根据题意可得，再根据实际情况，利用枚举法可求出x． 【详解】解：该同学想的整数是x，他的出生年份是b， 则， ∴， ∵x是一个1到9之间的整数， ∴当时，，不符合实际出生年份， 当x是小于5的整数时，b都不符合实际出生年份， 当时，，符合实际出生年份， 当时，，不符合实际出生年份， 当或9时，b的值也不符合实际出生年份， ∴， 故答案为：6． 11．或 【分析】本题考查用代数式表示数轴上的点，以及求数轴上两点间的距离，以及解一元一次方程． 设时间为t，用含t的代数式表示出P、Q两点，然后分情况讨论列出方程求解，分为P、Q两点相遇前和相遇后两种情况． 【详解】解：设运动时间为t， 则P点表示的数为，Q点表示的数为， ①P、Q相遇前， ， 解得：； 此时点Q在数轴上对应的数为， ②P、Q相遇后， ， 解得：． 此时点Q在数轴上对应的数为， 故答案为：或． 12．6 【分析】本题考查了典型的“牛吃草”问题，一元一次方程的应用，求出草的生长速度和草地原有草的份数是解题的关键．理解原有草量、草的生长速度和牛吃草的速度之间的关系，求出草的生长速度和原有草量，设4头牛吃30天后，又增加了2头牛一起吃，还可以吃x天，列出方程，即可解答． 【详解】解：假设每头牛每天的吃草量为1份，则头牛天的吃草量为份，头牛天的吃草量为份； 因为草每天匀速生长，所以天的总草量比天的总草量多的部分就是多生长的天的草量，草的生长速度为份/天； 头牛天的吃草量为份，其中天生长的草量为份， 所以原有草量为份； 设4头牛吃30天后，又增加了2头牛一起吃，还可以吃x天，则： ， 解得：． 故答案为：6． 13．(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并，把未知数系数化为1，求出解． （1）方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． 14．(1)乙队还需要5天能够完成任务 (2)甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握工程问题的数量关系是解题的关键． （1）设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意分别算出甲乙两队工作量，由此即可求解． 【详解】（1）解：设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务． 根据题意，列得方程． 解得． 答：乙队还需要5天能够完成任务． （2）解：甲队的工作量为，乙队的工作量为，（万元）， 答：甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元． 15．(1)侧面个数为个，底面的个数为个； (2)裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，7张硬纸板用A方法裁剪，能做30个盒子． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由x张用A方法，就有张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； （2）根据侧面个数和底面个数比为，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵裁剪时x张用A方法， ∴裁剪时张用B方法， ∴用B方法裁剪侧面的个数为：（个）， 用B方法裁剪底面的个数为：（个）， ∴裁剪出的侧面的个数为：个， 底面的个数为：个， （2）解：由题意得：， 解得：， ∴盒子的个数为：（个）． 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，7张硬纸板用A方法裁剪，能做30个盒子． 16．(1)，，， (2)甲一共参与了天 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）将工程量看作“1”，利用工程量除以时间即可得工作效率，将甲、乙各自的工作效率相加即可得甲乙合作的工作效率，然后利用工程量除以甲乙合作的工作效率即可得； （2）设甲一共参与了天，则乙参与的时间为，根据题意建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵一项工程甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成， 甲队的工作效率是，乙队的工作效率是， 甲乙合作的工作效率是， 甲乙合作完成该工程需要（天）． 故答案为：，，，． （2）解：设甲一共参与了天，则乙参与的时间为， 由题意得：， 解得， 答：甲一共参与了11天． 17．(1) ． (2)的值为或 ． (3)经过秒或秒后，、之间距离为个单位 ． 【分析】本题主要考查数轴上的距离计算、一元一次方程的应用以及绝对值方程的求解，熟练掌握数轴上两点间距离公式，根据不同位置情况分类讨论列方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式，用点对应数减去点对应数求长． （2）分点在左侧、和之间、右侧三种情况，根据距离和为列方程求解． （3）设运动时间为秒，分别表示出、对应的数，再根据距离为列绝对值方程求解． 【详解】（1）解：∵ 数轴上两点间距离为右边数减左边数，对应，对应 ∴ 故答案为： ． （2）解：① 当点在左侧时，，， ∵ ， ∴ ， 解得 ． ② 当点在、之间时，，不存在 ． ③ 当点在右侧时，，， ∵ ， ∴ ， 解得 ． 综上，的值为或 ． （3）解：设经过秒后，对应的数为，对应的数为， ∵ 、之间距离为， ∴ ， 即， 则或， 解得或 ． 故经过秒或秒后，、之间距离为个单位 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$