（九上预习篇）第1章 1 菱形的性质与判定-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（北师大版）

AT-BT ,该校此次购买足球有5种方案 .BC=BT. 设该校此次购买足球的总费用为心元.则=50×(1十 BP=BQ,∠CBT=∠PBQ, 8%)(50一m)十80×0.9m=18m十2700。 ,∴.∠TBP=∠CIBQ. 18>0,,e的值随m的值的增大面而增大。 ∴.△TBP≌ACBQ(SAS) .当m=26时，取得最小值，此时50一m=24 .CQ=PT. ,当购买甲品牌足球24个，乙品牌足球26个时费用最少. 根据垂线段最短可知，当点P与点H重合时，PT的值最 24.解：(1)如图，△ABC和△A:BC即为所求， 小，最小值=TH=2AT=5 ,.Q的最小值为5， 19.解：(1)m(m十4)十4=m2十4m十4=(m十2)2： (2)2x-8xy=2x(x2-4y2)=2.x(x+2y)(.x-2y). 20.解：(1)去分母，得2x=3. 解得一受 34567￥ 经检验，x一是是分式方程的解。 (2)去分母，得4x+3=x一2. 移项、合并同类项，得3x=一5. (2)(0,0)【解析】如图，点P即为所求，P(0.0) 解得r=一 (3)4【解析】如图，A为顶点的等腰三角形有2个，C为 3 顶，点的等腰三角形有1个，Q为顶点的等腰三角形有 经检验，x= 号是分式方程的解 1个.共有4个. 21.解：原式=x(x+2)÷(x十1)(x-1)-3 -1 x-1 =x(x+22.一1 x一1 x(x+2) (r+2)(x-2)x-2 3 当x=3时，原式=322=3 方4 22.解：(1)证明：DE垂直平分AB, ..AE=BE BF垂直平分CE 25.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形 .BE=BC. .AD∥BC,AB=CD ,∴.AE=BC ∴.∠DAE=∠AEB (2)AE=BE ,AE平分∠BAD ,.∠A=∠ABE .∠BAE=∠DAE :∠BEC=∠A+∠ABE, ,.∠BAE=∠AEB ∠BEC=2∠A. ..BE=AB. BEBC. ..BE=CD. ,.∠C=∠BEC (2),BE=AB,BF平分∠ABE, ∴∠C-2∠A AF-EE 在△ADF和△ECF中， 设∠A=x,∠C=2x I∠DAF=∠CEF, AB-AC. AF=EF .∠ABC=∠C=2.x ∠AFD=∠EFC :∠A+∠ABC+∠C=180, ,.△ADF≌△ECF(ASA). ..x+2x+2x=180. .DF=CF. 解得x=36,即∠A=36° 又AF=EF 23.解：(1)设购买甲品牌足球x个，乙品牌足球y个 ,四边形ACED是平行四边形 根浆适意，相0y=0m 预习篇 九年级上册 解得/r=50, 第一章特殊平行四边形 y=25 1菱形的性质与判定 50×50=2500(元)，80×25=2000（元）. 知识点讲解 所以，购买甲品牌足球花了2500元，购买乙品牌足球花 知识点一 了2000元 1.邻边相等 (2)设该校此次购买乙品牌足球m个，则购买甲品牌足球 2.(1)四条边相等 (50一m)个， (2)互相垂直平分 一组对角 根据遐意，得 (3)相等互补 m>50-n, (4)中心对称图形 轴对称图形 (50×(1+8%)(50-m)+80×0.9m≤3240. 【跟踪练习1】 解得25m30 1.D2.C3.C 又，m为正整数， 知识点二 ∴.m可以取26,27,28,29,30， 1.邻边相等 83 2.互相垂直 3.相等 AH-AB-2AH-/3. 【跟踪练习2】 即菱形的边长为3， 1.B 1L,解：(1)证明：，四边形ACD是菱形， 2.16 ,,BD是∠ABC的平分线 3.证明：AD平分∠BAC, 又，'DEAB,DF⊥BC, ,.∠BAD=∠CAD ,∴，DE=DF 义，'EF⊥AD (2)设AB=AD=xcm.则AE=(8一r)cm. .∠AOE=∠AOF=90 :∠E=90,DE=DF=4cm, 在△AE)和△AFO中， .在Rt△ADE中，AE+DE=AD, ∠EAO=∠FAO 即(8-x)2十42=z2. AO=AO. 解得x=5. ∠AOE=∠AOF, ..AB=5 cm. ,'.△AE2△AFOCASA) ∴.菱形ABCD的面积=AB×DE=5×4=20(m). EO-FO 12.证明：(1)四边形ABCD是平行四边形， EF垂直平分AD, '.AD=BC,AD∥BC .EF,AD相互平分 ∴.∠ADB=∠DBC ,四边形AEDF是平行四边形 ,CQ∥DB. 又，EF⊥AD ∴∠BCQ=∠DBC .平行四边形AEDF为菱形. ∴∠ADB=∠BCQ 自主检测 DP=CQ. 1.B2.C3.D4.D .△ADP≌△BCQSAS). 5.126.40 ..AP=BQ. 7.72【解析】如图，连接AC交BD于点)四边形ACF (2)CQ∥DB,且CQ=DP, 是菱形，AC⊥BD,AO=(OC,EO=OF.又E,F为线段 ,,四边形(CQPD是平行四边形 BD的两个三￥分点，.BE=FD,,.BO=)D.AO=(C, ∴.CD=PQ,CD∥PQ ,,四边形ABCD为平行四边形，“，AC⊥BD,,,平行四边形 ,·四边形ABCD是平行四边形， ACD为菱形.，”四边形AECF为菱形，且周长为20 .AB=CD,AB∥CD ∴AE=5.BD=24,E,F为线段BD的两个三等分点， ∴，AB=PQ,AB∥PQ ∴EF=8,E0-号EF=专×8=4由勾度定理，得A0 ∴，四边形ABQP是平行四边形. :△ADP≌△BCQ, √AE-T=√/5-4平=3..AC=2A0=2×3=6. '.∠APD=∠BQC BD·AC= ×24×6=72. ∠APD+∠APB=180°，∠ABP+∠BQ=180°， .∠ABP=∠APB AB=AP. ,四边形ABQP是菱形 2矩形的性质与判定 8.89.30 知识点讲解 10.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， 知识点一 ,.∠ABE=∠CBE,AB=CB 1.直角 在△ABE和△CBE中， 3.直角 AB=CB. +.互相平分且相等 ∠ABE=∠CBE. 【跟踪练习1】 BE-BE. 1.A2.D ,∴.△ABE2△CBE(SAS). 知识点二 ∴.AE=CE 【跟踪练习2】 又，'AE=DE 1.B ∴.DE■CE. 2.A【解析】如图，过点M作ME⊥CD于点E (2)如图，连接AC交BD于点H ,∠ACB=∠ADB=90°，AB ,四边形ABCD是菱形. 10,M是AB的中点， .AB=AD,AC⊥BD,BH=DH AH-CH. CM=号AB=5DM= AB .∴.∠ABD=∠ADB. =5. .AE-DE-1. ..CM=DM ,.∠DAE=∠ADE 'ME⊥CD,CD=6 ,.∠DAE=∠ADE=∠ABD .CE=DE=3. :∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD=18O, 由勾股定理，得EM=√CF一CE=√/⑤一3=4， ,.∠DAE=∠ADE=∠ABD=30° ..BE=2AE=2. ∴△MCD的画积为2×CDXEM-2×6X4=I2. ,∴.BD=BE+DE=3. 故选A BH-DH-2. 知识点三 1.直角 ∠ABD=30°，AH⊥BD, 2.相等 ..AB=2AH,BH=V3AH. 3.直角 84假期母假宽 BS·数学·九年级·上 预习 篇 九年级上册 第一章 特殊平行四边形 衔接思维导图 g249以. 旧知识 新知识 菱形的性质与判定 平行四边形的 性质和判定 特殊的平行 矩形的性质与判定 四边形 正方形的性质与判定 1 菱形的性质与判定 学习目标eQ一 L知道菱形的概念 2.知道菱形性质定理的探索过程，熟记菱形的性质和判定定理. 3.会用菱形的性质定理解决问题 7知识点讲解Nsg.· 知识点一菱形的定义和性质 1.定义：有一组 的平行四边形叫做菱形 2.菱形的性质 (1)菱形的 (2)菱形的两条对角线 ,每一条对角线平分 (3)菱形的对角 ,菱形的邻角 (4)菱形是 ,又是 ,对称轴是两条对角线所在的直线。 【典型例题1】如图，E和F分别是菱形ABCD的边AB和AD的中点，且AB=10,AC=12. (1)判断△OEF的形状，并说明理由： (2)求线段EF的长， 思路点拨：由“菱形的对角线互相垂直”等性质得到AC⊥BD,然后通过角转换证明两 角相等 解：(1)△OEF是等腰三角形.理由如下： ,四边形ABCD是菱形， ..BC=CD. ,E,F分别是AB,AD的中点， .OE是△ABC的中位线，OF是△ACD的中位线. :.OE-BC.OF-CD. ∴.OE=OF.∴.△OEF是等腰三角形 (2)四边形ABCD是菱形， :OA-OC-AC-6.OB-OD,ACLBD. .∠AOB=90° ∴.OB=√AB-OA=√/102-6=8. ,.BD=2OB=16. 'E,F分别是AB,AD的中点，∴EF是△ABD的中位线.∴EF=2BD=8. 26 第一章特殊的平行四边形 预习篇 【跟踪练习1】 1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是 A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 2.菱形的周长为8，一个内角为120°，则较短的对角线长为 ( A.4 B.2√3 C.2 D.1 3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，E是线段BD上一动点（点E不与点B,D重合），当△ABE是等腰三 角形时，∠DAE的度数为 A.30° B.70° C.30°或60 D.40或70 知识点二菱形的判定 1.有一组 的平行四边形是菱形。 2.对角线 的平行四边形是菱形。 3.四边 的四边形是菱形 4.在平行四边形中，有一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形 【典型例题2】如图，在□ABCD中，EF是对角线AC的垂直平分线，分别与AD,BC交于点E,F 求证：四边形AECF是菱形. 思路点拨：根据线段垂直平分线的性质得出AF=CF,AE=CE,根据全等三角形 的判定推出△AOF≌△COE,根据全等三角形的性质得出AF=CE,求出AE= CE=CF=AF,根据菱形的判定得出即可. 证明：(1)对角线AC的垂直平分线EF分别与AC,AD,BC交于点O,E,F, ..AF=CF.AE=CE.OA=OC ∴.∠EAC=∠ECA,∠FAC=∠FCA 四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC. ∴.∠EAC=∠FCA. ∴.∠FAO=∠ECO. 在△AOF和△COE中， I∠FAO=∠ECO, OA=OC, ∠AOF=∠COE, ∴.△AOF≌△COE(ASA). ∴.AF=CE AF=CF,AE-CE, ∴.AE=CE=CF=AF .四边形AECF为菱形 【跟踪练习2】 1.在平面直角坐标系中，已知点A(0,2),B(一2√3,0)，C(0,一2)，D(2√3,0)，则以这四个点为顶点的四边形 ABCD是 A矩形 B菱形 C.正方形 D.梯形 2.如图，在□ABCD中，AC平分∠DAB,AB=4,则□ABCD的周长为 3.如图所示，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,AD,EF交于点O. 求证：四边形AEDF是菱形. 27 假期母假宽 BS·数学·九年级·上 祖学法指导4e. 1,菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的 直线). 2.菱形的性质可用来证明线段相等、角相等、直线平行、垂直及与勾股定理有关的计算问题. 3.菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底X高：另一种是两条对角线乘积的一半（即 四个小直角三角形面积之和).实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的 一半， 4.判定一个四边形是菱形时，首先判定它是平行四边形，再由它的一组邻边相等或对角线互相垂直来判定菱 形，也可以证明它的四条边相等或对角线互相垂直平分来判定菱形. 5.前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四 条边相等来判定菱形。 五自主检测4g. 1.下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是 ( A.一组邻边相等的平行四边形 B.一条对角线平分一组对角的四边形 C.四条边都相等的四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形 2.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,若∠BAD=70°，则 CFD等于 () A.50° B.60 C.70 D.80 第2题图 第3题图 第4題图 3.如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC,BD交于点O,OA=1,则菱形ABCD的面积为 () A.5 B.25 C.2 D.4 4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD.若要使四边形ABCD为菱 形，则可以添加的条件是 () A.AC=BD B.AB⊥BC C.∠AOB=60 D.AC⊥BD 5.如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，E,F分别是边AD,CD的中点，连接EF并延长与 BC的延长线相交于点G,则EG的长为 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是AC,BC的中点，如果EF=5,那么菱形ABCD的周长为 7.如图，E,F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四 边形ABCD的面积为 8.如图，将两条宽度均为2的纸条相交成30°角叠放，则重合部分构成的四边形ABCD的面积为 309 DN 第8题图 第9题图 9.如图，①以点A为圆心，2cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM,AN于点B,D:②以点B为圆心， AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C:③分别连接BC,CD,AC.若 ∠MAN=60°，则∠ACB的大小为 28 第一章特殊的平行四边形 预习篇 10.如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE=DE,连接CE. (1)求证：DE=CE: (2)当AE⊥AB于点A,AE=DE=1时，求菱形的边长 1L.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F. (1)求证：DE=DF; (2)若BE=8cm,DF-4cm,求菱形ABCD的面积. 12.如图，在□ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB,且CQ-DP,连接AP,BQ,PQ. (1)求证：AP=BQ: (2)若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形. 29