3.1.2第1课时　椭圆的简单几何性质 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 第1课时　椭圆的简单几何性质 一、单选题 1．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（    ） A． B． C．或 D． 2．若椭圆与椭圆（）的离心率相同，则实数b的值为（    ） A． B． C． D． 3．我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点和为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 4．曲线与曲线一定有（    ） A．相同的焦距 B．相同的离心率 C．相等的长轴长 D．相等的短轴长 5．已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．2020年11月24日中国发射了嫦娥五号采样返回器，并于12月17日在内蒙古自治区四子王族返回地球，带回月壤1731克，标志着我国探月工程“绕、落、回”三步走战略圆满成功，下图是嫦娥五号第一次近月制动后进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道（椭圆轨道1），再次制动后降轨变为近圆形环月轨道（椭圆轨道2）.若轨道1和轨道2的离心率分别为，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．不能确定 二、多选题 7．关于椭圆 ，下列结论正确的是（ ） A．长轴长为4 B．短轴长为1 C．焦距为 D．离心率为 8．已知椭圆与椭圆，则（    ） A． B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 9．下列关于曲线的说法正确的是（    ） A．当时，曲线表示圆； B．当时，曲线表示焦点在轴的椭圆； C．点是曲线的对称中心； D．曲线表示椭圆时，其焦距为. 10．已知椭圆：的中心为，，是上的两个不同的点且满足，则（    ） A．点在直线上投影的轨迹为圆 B．的平分线交于点，的最小值为 C．面积的最小值为 D．中，边上中线长的最小值为 三、填空题 11．已知焦点在轴上的椭圆C：的离心率为，则实数 ． 12．已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为 . 13．在平面直角坐标系中，若椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是 . 14．已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是 ． 四、解答题 15．椭圆与椭圆哪个更扁？如何比较？ 16．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3； (2)离心率为，且经过点． 17．已知椭圆：（）上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程． 18． 已知椭圆的两个焦点分别为、，P为椭圆上一点，若．求证：． 19．如图所示，已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在第二象限，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《3.1.2� 第1课时　椭圆的简单几何性质》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B B C ACD AC ACD ABC 1．C 【分析】根据长轴长以及离心率，可求出，，再由，进而可求出结果. 【详解】由题意知，，，所以，， ∴， 又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上. ∴椭圆方程：或 故选：C 2．A 【分析】由离心率相等列出关于的方程求解即可. 【详解】若椭圆与椭圆（）的离心率相同， 则，解得满足题意. 故选：A. 3．D 【分析】先由得到与，再由的最大值得，进而求得，，故可得到椭圆C的方程. 【详解】由已知，得，故， ∵，即， ∴，得，故， 所以椭圆C的方程为. 故选：D. 4．B 【分析】将椭圆方程化为标准形式，求两椭圆的焦距，长轴长，短轴长，离心率判断各选项即可. 【详解】椭圆化为标准方程为， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 所以曲线与曲线的离心率一定相等， 故选：B. 5．B 【分析】根据题意利用两点间距离公式结合椭圆方程运算求解. 【详解】设，则， 因为P点在椭圆上，则，记， 所以， 又因为开口向上，对称轴， 且，所以当时，取到最小值. 故选：B. 6．C 【分析】 根据给定信息，设出两个椭圆轨道的长半轴长及半焦距，利用两个轨道的共同特征列式判断即得. 【详解】设轨道1和轨道2的长半轴长分别为，半焦距为， 依题意，，，且， 令，则， 于是， 所以. 故选：C 7．ACD 【分析】结合椭圆的几何性质依次判断即可. 【详解】因为椭圆，所以，，. 长轴长为4 ，故 A正确； 短轴长为，故B 错误； 焦距为，故C正确； ，故 D正确. 故选：ACD. 8．AC 【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论. 【详解】由题意，在中，有，，， ∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为，离心率， 在中，有，，， ∴长半轴为，短半轴为，焦距为， ，解得：，离心率， ∴AC正确，BD错误. 故选：AC. 9．ACD 【分析】根据给定的方程，结合圆、椭圆的定义、性质逐项判断作答. 【详解】曲线， 对于A，当时，方程为表示圆心在原点，半径为的圆，A正确； 对于B，当时，方程为，，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，B不正确； 对于C，曲线上任意点，显然有， 即点也在曲线上，因此点是曲线的对称中心，C正确； 对于D，曲线表示椭圆，则，令曲线的半焦距为c，则， 因此椭圆的焦距，D正确. 故选：ACD 10．ABC 【分析】根据斜率是否存在分类设直线方程，利用，可求得点到直线的距离为定值，即可判断A； 根据椭圆的对称性，的平分线及边上中线最小值都为点到直线的距离可判断BD； C选项可有射影定理和基本不等式求出的最小值，进而得到面积的最小值. 【详解】 选项A：如图，作于，则点在直线上投影为点， 当直线斜率不存在时，设直线为， 因，根据椭圆的对称性可知若在第一象限，则， 代入得，得， 故直线方程为，此时为直线与轴的交点，， 根据椭圆的对称性知，当直线方程为，也符合题意，， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 联立得， 设，，则，， 因，故，即， 化简得， 即， 得， 即点到直线的距离，则， 综上可知为定值，故点的轨迹为以为圆心以为半径的圆，故A正确； 选项B：由A选项知点到直线的最小距离为， 的平分线交于点，当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性， 即为，故的最小值为，故B正确； 选项C：根据射影定理，， 故，当且仅当时等号成立， 此时，故C正确； D选项：当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性， 中，边上中线即为，故D错误， 故选：ABC 11． 【分析】由，解方程即可得出答案. 【详解】因为椭圆C：焦点在轴上， 所以，则， 解得：. 故答案为：. 12． 【分析】首先求出直线过定点坐标，依题意定点在椭圆上或椭圆内，即可求出参数的取值范围，再由椭圆方程得到，即可得解. 【详解】解：直线，令，解得，所以直线恒过定点， 直线与椭圆恒有公共点， 即点在椭圆内或椭圆上，，即， 又，否则是圆而非椭圆， 或，即实数的取值范围是. 故答案为： 13． 【分析】由题易得，再利用计算即可. 【详解】由已知，，所以，故离心率为. 故答案为：. 【点睛】本题考查求椭圆离心率，解决椭圆的离心率的问题，关键是建立的方程或不等式，本题是一道容易题. 14． 【分析】设，，找到两点坐标之间的关系，代入椭圆方程化简即得，注意点C不能在轴上. 【详解】椭圆的焦点在轴上，则短轴在轴上，所以，． 设，，由为的重心，得则 又为椭圆上一动点，所以，即，所以． 当点在轴上时，不能构成三角形，所以，则， 即点的轨迹方程为． 故答案为：． 15．答案见解析 【详解】由方程可知，而中，故椭圆更圆，椭圆更扁． 16．(1)或． (2)或． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接写出a，c的值，然后求出b的值即可写出椭圆的标准方程； （2）根据离心率可设，，对椭圆焦点的位置进行分类讨论写出其标准方程即可. 【详解】（1）由题意知，，所以， 又焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴， 故椭圆的标准方程为或． （2）由题意可得，设，，，则． 又椭圆经过的点为其顶点， 故若点为长轴顶点，则，，椭圆的标准方程为； 若点为短轴顶点，则，，椭圆的标准方程为． 17．(1) (2) 【分析】（1）由已知条件和椭圆定义求出，再由离心率求出，根据求出，即可求得椭圆的标准方程； （2）使用点差法进行求解即可. 【详解】（1）由椭圆的定义知，，∴， 又∵椭圆的离心率，∴， ∴， ∴椭圆的标准方程为. （2）∵为椭圆内一点，∴直线与椭圆必交于，两点， 设，，当时，不合题意，故， ∵为线段的中点，∴，∴， 又∵，均在椭圆上，∴， 两式相减，得，即， ∴，∴，即， ∴直线的方程为，即． 18．证明见解析 【分析】利用椭圆的定义得到，计算出，证明出结论. 【详解】证明：由椭圆的定义可知：， ， ． 因此， 从而． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据，求出，结合焦点坐标求出，从而可求，即可得出椭圆方程； （2）直线方程与椭圆方程联立，可得的坐标，利用三角形的面积公式，可求△的面积． 【详解】（1）解：依题意得， 又， ，， ，． 所求椭圆的方程为． （2）解：设点坐标为， ， 所在直线的方程为，即． 解方程组，并注意到，，可得 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$