3.1.1 椭圆及其标准方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

·选择性必修第一册· 第三章 圆锥曲线的方程 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆. 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢? 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆. 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢? ·选择性必修第一册· 第三章 圆锥曲线 3.1.1椭圆及其标准方程 （1）创设情境，引入新课 思考：椭圆是如何形成的呢？ （2）实验探究 接下来我们利用硬纸板、图钉、无弹性细绳、铅笔探究椭圆的形成。 实验1，将长度一定的细绳，两端固定在硬纸板的同一处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，观察笔尖形成的轨迹。 圆 （2）实验探究 实验2，现在将细绳的两端拉开一段距离，分别将两端点固定在两定点F1 、F2，且拉紧绳子，移动笔尖，观察笔尖形成的轨迹。 （2）实验探究 椭圆 （3）归纳概念： 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点 的轨迹叫做椭圆. F1，F2——椭圆的焦点 |F1F2|——椭圆的焦距 追问 你认为在椭圆的定义中，我们必须重点关注哪些关键词句？ ①平面——大前提； ②和——任意一点到两个定点F1，F2的距离的和等于常数; ③常数——常数必须大于焦距. （2）实验探究 实验3，当等于绳长时，笔尖形成的轨迹又是什么？ 实验4，当 大于绳长时，还会形成轨迹吗？ 无轨迹 线段 应用新知 牛刀小试 用定义判断下列动点M 的轨迹是否为椭圆. (1)到的距离之和为4的点M的轨迹. (2)到的距离之和为2的点M的轨迹. (3)到的距离之和为1的点M的轨迹. 解析 (1)因为到两定点的距离之和为4>椭圆 (2)因为到两定点的距离之和为4线段F1F2 (3)因为到两定点的距离之和为4不存在 新课探究 回顾 怎么求动点的轨迹方程？ 思考： 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单？ x y O 类比圆的研究过程，知道椭圆的定义后，接下来我们研究椭圆的标准方程 建系 设点 列式 化简 证明 我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图). 新课探究 O x y F1 F2 M 设常数为，、 建系 设点 列式 化简 证明 新课探究 追问 观察x2,y2的系数以及常数项,考虑怎样能让方程更简洁? 两边同时除以，可得更简洁的椭圆方程： 新课探究 思考： 观察图3，你能在图中找出 表示的线段吗？ O x y F1 F2 P ------ 、 ------ 、 ------ 追问 令你能写出焦点在 轴的椭圆的标准方程吗？ 新课探究 思考： 如果椭圆的焦点在 y 轴上，那么椭圆方程又会是什么呢？ O x y F1 F2 M 类比 焦点在轴上的椭圆的标准方程的推导方法 推导出焦点在轴上的椭圆的标准方程 焦点在 轴的椭圆的标准方程: 新课探究 焦点在 轴的椭圆的标准方程: 焦点在 轴的椭圆的标准方程: 特征： （1）它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和.右边是 1. （2） 的关系： （3）焦点位置的确定： 哪个分母大，焦点就在哪个轴上. 新课探究 椭圆的标准方程相关概念整理 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 三者之间 的关系 焦点位置 的判断 O x y O x y “谁大在谁家” 、 、 应用新知 牛刀小试 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）a=4，b=1，焦点在x轴上； （2）a=4，c=焦点在y轴上. 应用新知 例题1 解析 已知椭圆的两个焦点坐标分别是， 并且经过点 ,求它的标准方程. 应用新知 思考： 还能用其他方法求 例题1 中的标准方程吗？ 尝试着比较不同方法的特点. 课堂小结 Lavf58.28.100 $$