精品解析：黑龙江省大庆市大庆实验中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

大庆实验中学2025—2026学年度上学期高二年级开学考试 数学试题 第II卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. 设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2. 在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 从大到小排列的一组数据：134，126，120，110，96，90，86，80，这组数据的下四分位数为（ ） A. 86 B. 88 C. 123 D. 126 5. 在一次校园安全知识竞赛中，甲､乙､丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲､乙两人都答对的概率是，乙､丙两人都答错的概率是，则甲､乙､丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 7. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得部分分，有选错的的0分. 8. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（ ） A. 数据，，…，的平均数为 B. 数据，，…，的标准差为 C. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，则可以是钝角三角形 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 的最小值为 D. 若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每空5分，共15分把答案填在答题卡的相应位置. 11. 如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________. 12. 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________. ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 13. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤把答案填在答题卡的相应位置. 14. 如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 15. 如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，，. （1）证明：平面； （2）若，，求二面角的正弦值. 16. 从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. （1）求第七组的频率，并求出样本中位数； （2）已知该校有600名女生，男生身高总体数据的平均数和方差分别为173.5和17.75，女生身高样本数据的平均数和方差分别为163和30，估计该校学生身高的平均数和方差； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求. 17. 如图，已知正方形的边长为分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为为线段上一点（含端点）. （1）若为线段中点，设直线与直线的交点为，证明：平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由； （3）求点到平面的距离的取值范围. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2025—2026学年度上学期高二年级开学考试 数学试题 第II卷（选择题，共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. 1. 设m，n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由空间中线面的位置关系进行判断即可． 【详解】对于A项，当相交时，才成立，故A项错误； 对于B项，由，，得，而，则，故B项正确； 对于C项，若，，则，或，或，故C项错误； 对于D项，若，，则可以平行或异面，故D项错误． 故选：B 2. 在直角中，斜边，直角边.若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，得该几何体为以1为底面半径，高为的圆锥，即可求解． 【详解】在直角中，斜边，直角边， 得， 若以该直角三角形的一条直角边AB所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体为以1为底面半径，高为的圆锥， 则该几何体的体积为：， 故选：A 3. 在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则，及三点共线，推得.利用基本不等式中“1”的妙用，求得的最小值. 【详解】，即，， ，，，， ，三点共线，则. ， 当且仅当，即时，等号成立，因此，的最小值为. 故选：B. 4. 从大到小排列的一组数据：134，126，120，110，96，90，86，80，这组数据的下四分位数为（ ） A. 86 B. 88 C. 123 D. 126 【答案】B 【解析】 【分析】先从小到大排列这组数据，再根据百分位数的求解步骤计算即可得解. 【详解】从小到大排列这组数据得：80，86，90，96，110，120，126，134， 因为，所以这组数据的下四分位数为. 故选：B 5. 在一次校园安全知识竞赛中，甲､乙､丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲､乙两人都答对的概率是，乙､丙两人都答错的概率是，则甲､乙､丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件的乘法公式，以及对立事件的概率公式可求得答案. 【详解】记事件：甲答对这道题；事件:乙答对这道题；事件：丙答对这道题. 由题可知：事件相互独立，且, 所以 因为，所以,所以 因为事件相互独立，所以事件相互独立. 所以所以. 所以 即没有人答对该题的概率为： 所以至少有一人答对该题的概率为： 故选：C. 6. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又，分别为、中点， ，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D． 解法二: 设，分别为中点， ，且，为边长为2的等边三角形， 又 中余弦定理，作于，， 为中点，，， ，，又，两两垂直，，，，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 7. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形ABC的边长为1，为弧上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法一：建立平面直角坐标系，根据三角函数定义设，然后由平面向量的坐标运算表示出，结合三角恒等变换和三角函数性质即可得解；法二：取的中点为，中点为O，利用极化恒等式化简，结合图形可解. 【详解】方法1：由已知，弧是以为圆心，1为半径的圆的一部分， 以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则由已知，，， 由任意角的三角函数的定义，设，， 则，，， ， 令，，则， 当时，，， ， 存在，使，即， 当时，的最小值为． 方法2：利用极化恒等式，取的中点为，则， ， 取中点为O，则：， 因为，所以， 当在弧上时，，当且仅当三点共线时取等号， 则 故选：A． 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得部分分，有选错的的0分. 8. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（ ） A. 数据，，…，的平均数为 B. 数据，，…，的标准差为 C. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项. 【详解】由题知，，， 所以，的平均数为， 的方差为， 所以数据，，…，的标准差为2s，A正确，B错误； 给原数据增加一个数据，且， 这七个数据的方差为， 故C正确，D错误. 故选：AC 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，则可以是钝角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角形大边对大角及正弦定理判断AB选项，由向量加法的几何意义、数量积的运算判断C选项；由两角和的正切公式判断D选项. 【详解】A选项，在中，由得，即，所以，A正确； B选项，由正弦定理得即，解得， 又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且，所以， 所以是等边三角形，C正确； D选项，因为， 所以， 所以，即， 因为，所以， 又因为， 所以，所以是锐角三角形，D错误； 故选：AC. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 的最小值为 D. 若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用面面平行的判定推理平面平面，然后利用直线与平面相交判断A；利用定义法作出线面角，并在直角三角形中求出线面角的正弦判断B；把三角形与三角形置于同一平面内，利用余弦定理求出线段长判断C；先利用线面垂直的判定推理平面，取棱的中点利用面面平行的判定推理得平面平面，进而平面，从而求出点的轨迹为正六边形，求解周长即可判断D． 【详解】对于A：先证平面平面，由正方体性质可知，且， 且，所以四边形和均为平行四边形， 所以，，因为平面， 在平面外，所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面， 又为的中点，为线段上动点（包括端点）， 所以直线与平面相交，从而直线与平面相交，故A错误； 对于B：连接，则，由平面，平面， 得，又，，平面， 则平面，过作交于，连接， 于是平面，是直线与平面所成的角，，，所以，故B正确； 对于C，把三角形与三角形置于同一平面内，连接， 则的最小值为， 在中，，， ， 由余弦定理得，C正确； 对于D，由正方体的性质知平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，平面，故平面； 如图， 取棱的中点分别为， 连接，可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，平面， 故平面平面，所以平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形，边长为， 其周长为，所以点的轨迹为正六边形，则点的轨迹长度为，D正确． 故选：BCD 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题：本题共3小题，每空5分，共15分把答案填在答题卡的相应位置. 11. 如图，已知点在平行四边形所在平面外，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面平行的性质定理构造线线平行，再根据平行线段比例关系，可得结论. 【详解】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以， 所以. 故答案为：. 12. 口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________. ①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤. 【答案】①④ 【解析】 【分析】在①中，由对立事件定义得与为对立事件；有②中，与有可能同时发生；在③中，与有可能同时发生；在④中，（C）（E）；在⑤中，从而（B）（C）． 【详解】口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球， 事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”， “取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”， ①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确； ②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误； ③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误； ④，（C），（E），， 从而（C）（E），故④正确； ⑤，，从而（B）（C），故⑤错误． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件等基本概念的合理运用． 13. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式和正余弦定理对已知条件进行变形，从而可求出A，再利用正弦定理边化角和三角函数性质可求答案. 【详解】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， . 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤把答案填在答题卡的相应位置. 14. 如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三点共线、得，用表示出，根据向量共线可得，进而求得即可求解； （2）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 由三点共线，且，可知， 在等腰梯形中，由，， 可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，又， 则， 分别过作的垂线，垂足分别为， 因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得， 所以，， 可得 ， 又是边上一点（含端点），，则， 所以. 15. 如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，，. （1）证明：平面； （2）若，，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，进而得，再根据线面垂直的判定定理得证； （2）以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 因为，E为棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以. 因为平面，平面，且，所以平面. 因为平面，所以. 因为，平面，平面，且，所以平面. 【小问2详解】 取棱的中点，连接， 因为E为棱的中点，所以∥， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 由（1）可知平面的一个法向量为. 由， 所以二面角的正弦值为. 16. 从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. （1）求第七组的频率，并求出样本中位数； （2）已知该校有600名女生，男生身高总体数据的平均数和方差分别为173.5和17.75，女生身高样本数据的平均数和方差分别为163和30，估计该校学生身高的平均数和方差； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，事件，求. 【答案】（1）第七组的频率为0.06，样本中位数为174.5 （2）平均数为169，方差为50 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求第七组的频率，再结合中位数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的公式直接求解即可； （3）确定样本空间，利用古典概型概率公式求概率. 【小问1详解】 第六组的频率为， 则第七组的频率为； 前三组的频率为 前四组的频率为， 所以中位数位于第四组，设中位数为， 由，解得， 即样本中位数为174.5. 【小问2详解】 该校学生身高的平均数为， 该校学生身高的方差为. 【小问3详解】 第六组的人数为4，设为a，b，c，d， 第八组的人数为，设为A，B， 则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA， bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况， 因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组， 所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况． 所以． 17. 如图，已知正方形的边长为分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为为线段上一点（含端点）. （1）若为线段中点，设直线与直线的交点为，证明：平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由； （3）求点到平面的距离的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为 （3） 【解析】 【分析】（1）由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得即可. （3）由点到平面的距离结合二次函数在区间的值域求解即可. 【小问1详解】 分别为中点，，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接，    由题设，易知四边形为平行四边形，为中点， 是的中点，为中点， ，又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 ，，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角，； 取中点，连接，  ，， ，，，， ，，又平面，， 平面，平面，， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，    则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为. 【小问3详解】 由（2）可得，平面的法向量，， 所以点到平面的距离， 令， 所以，， 所以，即, 故点到平面的距离的取值范围为 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，且边的中线的长为，求的面积； （3）若是锐角三角形，求的范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得得解； （2）根据余弦定理可得，利用向量的中线公式及数量积的运算，可得，再利用面积公式，即可求解； （3）根据正弦定理边角化以及三角恒等变换可得，再根据角的范围，结合三角函数的性质即可求解． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， 得到，即， 又，，所以， 又因为，可得. 【小问2详解】 因为，且， 所以由，可得，解得， 由题意， 两边平方，可得， 因为，所以，解得或（舍）， 则的面积为. 【小问3详解】 因为 ， 由题知，，解得， 因为， 所以，可得， 可得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $