2025-2026学年七年级数学上册竞赛培优：专题卷四 有理数及其运算的综合

专题卷四 有理数及其运算的综合 (满分:120分 考试时间:120分钟) 一、选择题(每题5分，共30分) 1.[重庆竞赛]不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别是A,B,C。如果|a-b|+|b-c|=|a-c|,那么点 B ( ) A.在点 A,C的左边 B.在点A，C的右边 C.在点A,C之间 D.上述三种情况均可能 2.[2024·杭州外国语学校兴趣班筛选]在2□4□的方框中填上合适的数字，使这个四位数是3 和5的倍数，则不同的填法有 ( ) A.6种 B.5种 C.7 种 D.以上结果都不对 3.已知 则 abc的值等于 ( ) A.-1 B.3 C.-3 D.1 4.[2023·广州越秀区校级自主招生] 的最小值为 ( ) A.12 B.6 C. D.3 5.[2023·宁波青藤书院培优]已知 a₁,a₂,…,a₁₀)为十个不同的正整数，满足 或3，其中i=1,2,…,10,约定 若 a₁,a₂,……,a₁₀中最大的数为M，最小的数为m，则M-m的最大值为 ( ) A.13 B.14 C.15 D.16 6.[2024·全国初中生数学素养与创新能力竞赛]图中都是由棱长为a的正方体叠成的几何体。第1个几何体由1个正方体叠成，第2个几何体由4个正方体叠成，第3个几何体由10个正方体叠成，…，按此规律，记第n个几何体由xₙ个正方体叠成，其中n=1，2，3，…，则 的值为 ( ) A. D. 二、填空题(每题5分，共30分) 7.[2024·襄阳自主招生]一个大于2的整数可分解成若干个1或2的和，也可有1又有2出现，现做如下变换:1可能异变成2,2也可能异变成1,例如:3=1+2,3=1+1+1,可能异变成1+1,1+2,2+2,1+1+1,1+1+2,1+2+2,2+2+2,共7种形式(不考虑加数的顺序),那么9可以分解异变成 种形式。 8.[温州实验中学自主招生]已知| ，则实数x的取值范围是 。 9.[2024·西安交大少年班自主招生]已知a+b+c+d=0,abcd>0,则 10.[江苏竞赛]已知整数a,b,c,d满足abcd=25,且a>b>c>d,那么 11.在1，2，3，…，2026前面任意添上正号或负号，则其非负代数和的最小值是 。 12.[宁波镇海中学自主招生改编]如图的程序表示输入一个整数便会按程序进行计算。 设输入x的值为48，根据程序，第1次计算的结果是24，第2 次计算的结果是12，则第2 026 次计算的结果是 。 三.解答题(共60分) 13.(10分)[2024·江阴“优利信”杯竞赛]小江编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3。例如,10可以这样得到:1+3=4,4×2=8,8+2=10。 (1)写出最终结果为136的过程。 (2)证明可以得到 14.(12分)[2023安徽拔尖创新人才培养学科知识竞赛]阅读材料一： 材料二：求 的值。 答案解：设 将等式①的两边同乘2， 得 ② ②-①,得 即 根据以上材料回答： 的个位数字为 。 结果的个位数字为 。 (3)求 的值。 13. (12 分)[“希望杯”邀请赛]已知( ,求x+2y+3z的最大值和最小值。 16.(12分)[江苏竞赛]如图，在六边形的顶点处分别标上数1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三个数之和满足以下条件： (1)大于9。 (2)大于10。 若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由。 17. (14 分)[上海竞赛]某环形街道上顺时针排列有4所中学： ，它们依次有电视 15 台，8台，5台，12台，为使各校的电视数相同，允许一些中学向相邻中学调出电视，则满足要求的调配方案中调出电视台数最少时的台数为多少? 专题卷四 有理数及其运算的综合 1. C 【解析】根据|a-b|+|b—c|表示数b的点到a与c 两点的距离的和，|a-c|表示数a与c 两点的距离即可求解。 ∵|a-b|+|b-c|=|a-c|,∴点 B 在点A,C之间。 2. C【解析】根据能同时被3 和5 整除数的特征可知，末位为0 或5，各数位加起来能被3 整除，共有以下几种填法： 2 040,2 340,2 640,2 940,2 445,2 145,2 745,共7种。 3. D 【解析】 同理可得(b=c=1, abc=1×1×1=1。 4. C 【解析】①当x<2时,原式 ∵x<2, ②当2≤x≤6时,原式 ∵2≤x≤6, ③当6<x≤12时,原式 ∵6<x≤12, ④当x>12时,原式 ∵x>12, 综上所述，当x=6时，原式有最小值，为 5. B 【解析】∵a₁,a₂,…,a₁₀为十个不同的正整数,满足 或3,其中i=1,2,…,10,约定 a₁₁=a₁，此时取4次差值为3，1次差值为2的情况，∴M-m的最大值为3×4+2=14。 如1,3,6,9,12,15,13,10,7,4,最大的数与最小的数的差是14。 6. A【解析】由题意得, 第1个几何体由1个正方体叠成； 第2个几何体由4个正方体叠成，即4=1+3； 第3个几何体由10个正方体叠成，即10=1+3+6；第4个几何体由20个正方体叠成，即1+3+6+10=20; …… 第n个几何体中的正方体个数为1+3+6+10+… 7.40【解析】由题意,得9=1+2+2+2+2,9=1+1+1+2+2+2, 9=1+1+1+1+1+2+2, 9=1+1+1+1+1+1+1+2, 9=1+1+1+1+1+1+1+1+1。 第1个等式可以异变成6种形式； 第 2个等式可以异变成7 种形式； 第 3个等式可以异变成8 种形式； 第 4 个等式可以异变成9种形式； 第 5 个等式可以异变成10 种形式。 共计6+7+8+9+10=40(种)形式。 8.2≤x≤3 【解析】①当x<1时,原式=1-x+2-x+3-x+4-x=10-4x; ②当1≤x<2时,原式=x-1+2-x+3-x+4-x=8-2x; ③当2≤x<3时,原式=x-1+x-2+3-x+4-x=4; ④当3≤x<4时,原式=x-1+x-2+x-3+4-x=2x-2; ⑤当x≥4时,原式=x-1+x-2+x-3+x-4=4x-10。 故若原式=4，则属于第三种情况。 又由x=3时也满足|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4, 所以x的取值范围是 2≤x≤3。 9.0 【解析】∵a+b+c+d=0, ∴b+c+d=-a,a+c+d=-b,a+b+d=-c,a+b+c=-d, ∵abcd>0, ∴要么都是正数，要么两负两正，要么都是负数。 ∵a+b+c+d=0, ∴a,b,c,d中两正两负。 不妨设a>0,b>0,c<0,d<0,则 =-(1+1-1-1) =0。 10.12 【解析】225=5×5×1×1=5×(-5)×1×(-1), 则a=5,b=1,c=-1,d=-5, ∴|a+b|+|c+d|=|5+1|+|-1-5|=6+6=12。 11.1 【解析】1-2-3+4=0,5-6-7+8=0,则四个数为一个循环，每组循环的结果为0。 ∵2026=506×4+2, ∴1,2,3,…,2 026前任意添上正号或负号,得到的非负代数和的最小值是1-2-3+4+5-6-7+8十…-2 025+2026=506×0-2 025+2026=1。 12.3 【解析】第1次得到的结果为24，第2 次得到的结果为12，第3次得到的结果为6，第4 次得到的结果为3，第5次得到的结果为3+5=8，第6 次得到的结果为4，第7次得到的结果为2，第8次得到的结果为1，第9 次得到的结果为1+5=6，第 10次得到的结果为3， … 从第3次开始，每6 次计算为一个循环组依次循环,(2 026-2)÷6=337……2, ∴第 2 026 次得到的结果为第 338 循环组的第 2次，与第4 次的结果相同，是3. 13.解: ·(不断乘2,再加 14.(1)8 (2)1 解： -1, 2 029÷4=507……1,2²⁰²⁹个位上的数字为2,∴2²⁰²⁹一1的个位上的数字为1。 (3)设 D将等式①的两边同乘7， 得7 ②-①,得6S=7101-1, 15.解:∵|x+1|+|x-2|≥3,|y-2|+|y+1|≥3,|x-3|+|z+1|≥4, ∴(|x+1|+|x-2|)(| y - 2 | + | y + 1) (|x-3|+|x+1|)≥36。 ∵(|x+1|+|x-2|)(|y-2|+|y+1|)(|z-3|+|z+1|)=36。 ∴|x+1|+|x-2|=3,|y-2|+|y+1|=3,|x-3|+|z+1|=4, ∴-1≤x≤2,-1≤y≤2,-1≤z≤3, ∴-1≤x≤2,-2≤2y≤4,-3≤3z≤9, ∴-6≤x+2y+3z≤15, 故x+2y+3z的最大值为15,最小值为-6。 16.解:(1)能,如答图1。 (2)不能。理由如下： 如答图2，设按要求所填的六个数顺次为a，b，c，d，e,f, 它们任意相邻三数和大于 10，即大于或等于11，∴a+b+f≥11,b+c+d≥11,c+d+e≥11,d+e+f≥11,e+f+a≥11,c+a+b≥11, 则每个不等式左边相加一定大于或等于66， 即3(a+b+c+d+e+f)≥66, 整理得a+b+c+d+e+f≥22。 ∵1+2+3+4+5+6=21, ∴与a+b+c+d+e+f≥22矛盾,则不能使每三个相邻的数之和都大于10。 17.解:设 A₁ 中学调给A₂中学x₁台电视(若x₁ 为负数，则认为是 A₂ 中学向 A₁中学调出|x₁|台电视，下同)， A₂ 中学调给 A₃中学x₂台电视;A₃中学调给 A₄中学x₃ 台电视；A₄中学调给A₁中学x₄ 台电视。 ∵电视共有 15+8+5+12=40(台),平均每校10 台, = 设 |的最小值， 其中x₁ 是满足 的整数。设. 考虑定义在-8≤x≤15 上的函数 y=|x|+|x-2|+|x-7|+|x-5|。 ∵|x|+|x-7|表示数x到0 与7 的距离之和,当0≤x≤7时, |x|+|x-7|取得最小值7; 同理可得,当2≤x≤5时,|x-2|+|x-5|取得最小值3。 故当 2≤x≤5时,y取最小值10, 即当x=2,3,4,5时, 取最小值10， ∴满足要求的调配方案中调出电视最少总台数为10。 学科网（北京）股份有限公司 $$