2025-2026学年七年级数学上册竞赛培优：专题卷三 有理数的应用

专题卷三 有理数的应用 (满分:120分 考试时间:120分钟) 一、选择题(每题5分，共30分) 1.[2024·重庆竞赛]17世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出“二进制记数法”的人，用“二进制”记数只需数字0和1。对于“二进制”整数可理解为“逢二进一”。例如：十进制数 则十进制数3在二进制中表示为(11)₂；十进制数 则十进制数5在二进制中表示为(101)₂,若1 (n为正整数)，则n表示的二进制数为 ，其中 或1(i=1,2,…,k)。下列说法正确的有 ( ) ①二进制数(1010)₂转化为十进制数为10； ②十进制数89转化为二进制数为(1011001)₂; A.① B.①② C.②③ D.①②③ 2.[2024·陕西西安交大附中自主招生]假设队伍中共有x人，现列队需要，每10人中走出一个人，当x除以10的余数大于5时，则在余下的人中再走出一人，则共走出的人数为([x]表示不大于x的最大整数) ( ) 3.[温州实验中学自主招生]规定以下运算法则：则的值为 ( ) 4.[南京重点高中自主招生]下面是按一定规律排列的一组数： 第1个数： 第2个数： 第3个数： … 第n个数： 那么，下列选项中最大的数是 ( ) A.第10个数 B.第11个数 C.第12个数 D.第13个数 5.[2023·浙江初中生学科素养测评]若式子 的值取到最小值，则x满足 ( ) 6.[全国初中数学联赛]设 则100M最接近下列哪个整数 ( ) A.10 B.11 C.12 D.13 二、填空题(每题5分，共30分) 7.[余姚中学自主招生]在中国古代诗词中，有很多诗句体现了数学的某些意境，如“明月松间照，清泉石上流”体现了对称的意境；“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”体现了极限(或无限)的意境，请你再举出一例并说明其蕴涵的数学意义： 。 8.如图，这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中:①13=3+10;②25=9+16;③36=15+21;④49=18+31,符合这一规律的是 (填序号)。 9.[2024。芜湖一中高一自主招生考试]将4046减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ……依此类推，直至最后减去余下的 ，则最后余下的数为 。 10.[西工大附中自主招生]如图，数表里的数是按一定的规律排列的，则表中第11行从左到右的第6个数是 。 11.[吉林“城市杯”竞赛]定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为 (其中k 是使 为奇数的正整数)，并且运算重复进行。例如，取n=26运算如图所示,若n=449,则第 449次“F 运算”的结果是 。 12.[2024·温州期中]如图1是一根起点为0且标有单位长度的射线，现有同学将它弯折成图2，弯折后落在虚线上的点，从下往上第一个数是0，第二个数是8，第三个数是32……依此规律，落在虚线上的第五个点对应的数是 。 三。解答题(共60 分) 13. (10分)[2024·汨罗中学自主招生]计算: 14.(12分)请从图中归纳出 的公式，并计算出 的值。 15.(12分)[2024·义乌第一中学竞赛]定义新运算: (右边的运算为平常的加、减、乘、除)。例如： 若a⊗b=a*b,则称有理数a,b为“隔一数对”。 例如： ∴2,3就是一对“隔一数对”。 (1)下列各组数是“隔一数对”的是 (填序号)。 ①a=1,b=2;②a=-1,b=1;③a=- ,b=-13。 (2)计算:((-3)*4-(-3)⊗4+(-31 415)*(-31 415)。 (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”,求1⊗2+2⊗3+3⊗4+4⊗5+…+2 025⊗2 026的值。 16.(12 分)[2024·重庆实验外国语学校自主招生]在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“博雅数”。 定义：对于三位自然数 N，各位数字都不为0，且它的百位数字的2倍与十位数字和个位数字之和恰好能被7整除，则称这个自然数 N 为“博雅数”。例如：415是“博雅数”，∵4，1，5都不为0，且4×2+1+5=14,14能被7 整除;412 不是“博雅数”, ,11不能被7 整除。 (1)判断513,427 是否是“博雅数”,并说明理由。 (2)求出百位数字比十位数字大6的所有“博雅数”的个数，并说明理由。 17.(14 分)先阅读下面的材料，然后解答问题。 材料：在一条直线上有依次排列的n(n>1)台机床正在工作，我们要设置一个零件供应站 P，使这n台机床到供应站 P 的距离总和最小，要解决这个问题，可先“退”到比较简单的情形。 如图1，如果直线上有2台机床时，很明显设在 和 之间的任何地方都可行，因为甲和乙所走的距离之和等于 到 的距离。 如图2，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床. 处最合适，因为如果 P不放在 处，甲和丙所走的距离之和恰好是 到 的距离，可是乙还需走从 到 P 的这一段，因此 P 放在 是处最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方，有5 台机床，P应设在第3台位置。 问题： (1)当有 n台机床时，P应设在何处? (2)根据(1)的结论,求 |的最小值. 专题卷三 有理数的应用 1. B 【解析】二进制数(1010)₂ 转化为十进制数为 ,①正确; 1 则 十 进制数 8 9转 化 为二 进制数为(1011001)₂,②正确; ,③错误。 2. C【解析】根据题意，每10人中走出一个人，当x除以10 的余数大于5 条件进行排除判断， 当x=9时,排除 A; 当x=6时,排除 B; 当x=5时,排除 D, 故选 C。 3. A 【解析】 3×(-1)=-3; ac+ cd=0×2+2×(-1)=-2; bc+d²=3×2+ 。故选 A。 4. A 【解析】第1个数: 第2个数： …… 第n个数： ∴第10个数，第11个数，第12 个数，第13 个数分别为 ，其中最大的数为 ,即第10个数最大。故选 A。 5. A 【解答】原式 |7x-1|+|9x-1|+|11x-1|+|13x-1|) (共5 项) (共7 项) (共9项)+|x (共11项) (共13项)), 以上共有48项的和。 ①其中第1项和第48项的和满足： 当且仅当 时取等号； ②其中第 2 项和第 47 项的和满足： 当且仅当 时取等号； ③其中第3项和第46 项的和满足： 当且仅当 学科网（北京）股份有限公司 时取等号； ④其中第4项和第 45 项的和满足： 当且仅当 时取等号； ,。 ㉔其中第 24 项和第 25 项的和满足： 当且仅当 时取等号； 综上所述，当且仅当 ①∼㉔全部满足。 6. B 【解析】 ∴100M最接近整数11。 7.横看成岭侧成峰，远近高低各不同。体现了三视图的意境。(答案不唯一) 8.③【解析】显然选项①中13不是“正方形数”；选项②④中等式右侧并不是两个相邻“三角形数”之和。 9.2 【解析】令4046=a,则第一次余下的数为 a,第二次余下的数为 第三次余下的数为 依次类推，最后余下的数为 10.61 【解析】由规律可知,第(n+1)行上面共有 (个)数, 奇数行从左到右依次增加，偶数行从左到右依次减小。 当n=10时，第11行上面共有 (个)数,∴表中第11行从左到右的第6个数为55+6=61。 11.8【解析】“F运算”需要对正整数 n分情况(奇数、偶数)循环计算，由于n=449 为奇数，应先进行“F①运算”, 即3×449+5=1 352(偶数), 需再进行“F②运算”， 即 (奇数), 再进行“F①运算”,得到3×169+5=512(偶数), 再进行“F②运算”，即 (奇数), 再进行“F①运算”,得到3×1+5=8(偶数), 再进行“F②运算”，即 (奇数), 再进行“F①运算”,得到3×1+5=8(偶数),…,即第1次运算结果为1352，…， 第4次运算结果为1，第5 次运算结果为8，可以发现第6次运算结果为1，第7 次运算结果为8。从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次运算的结果为 1。而第499次是奇数，这样循环计算一直到第449 次“F运算”，得到的结果为8。 12.128 【解析】第1个数为 第2个数为1²×8=8; 第3个数为 第4个数为 第5个数为 13.解: =30×59÷2 =885。 14.解: n)² 15.(1)①③ 解： ∴1*2=1⊗2, ∴1，2是一对“隔一数对”； ②-1*1=-1-1=-2, ∴-1*1≠-1⊗1, ∴-1，1不是一对“隔一数对”； 是一对“隔一数对”。 综上所述，是“隔一数对”的是①③。 (2)(-3)*4-(-3)⊗4+(-31 415)*(-31 415) (3)1⊗2+2⊗3+3⊗4+4⊗5+…+2 025⊗2 026 =1*2+2*3+3*4+4*5+…+2025*2 026 16.解:(1)513是“博雅数”,427 不是“博雅数”。理由如下： ∵5×2+1+3=14,14 能被7 整除, ∴513 是“博雅数”。 ∵4×2+2+7=17,17不能被7整除, ∴427 不是“博雅数”。 (2)3个。理由如下: 由题意可设这样的“博雅数”为(a+6)ab,,则1≤a≤3, ∵“博雅数”能被7 整除， 为整数。 又∵1≤a≤3,1≤b≤9,且a,b为整数, 或 或 综上所述，这样的博雅数共有 3 个，它们分别是716,823,937。 17.解:(1)当 n 为偶数时,P 应设在第n/2台和第 台之间的任何地方；当n为奇数时，P应设在第 台的位置。 (2)根据绝对值的几何意义,求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示 1，2，…，617 各点的距离之和最小。根据问题(1)的结论，当x=309 时，原式的值最小,最小值是308+307+…+1+1+2+…+308=308×(308+1)=95 172。 $$