4.1.2指数幂的拓展（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

第四章 指数与对数 4.1.2 指数幂的拓展 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：指数幂的扩充过程；掌握分数指数幂的含义及其运算 教学难点：分数指数幂的规定与根式的联系；有理数指数幂的运算性质 了解根式运算与指数运算的内在联系; 掌握有理数指数幂的含义;理解实数指数幂的含义; 掌握有理数指数幂的运算性质，能熟练利用法则进行相关运算； 通过实数指数幂的扩充和相关运算，使学生了解指数幂运算的发展过程. 教学目标 学科素养 数学抽象：通过整数指数幂到实数指数幂的扩充，抽象一般形式； 逻辑推理：有理数指数幂运算规定的逻辑自洽，无理数指数幂的存在性； 数学运算：有理数指数幂的运算性质； 新知引入 情境1：薇甘菊危害热带、亚热带地区，是有害杂草之一，假设第一年它侵害土地的面积是S0 (单位hm2) ，且随着薇甘菊的扩张，后一年的侵害总面积是前一年的1.057倍. 问题1：第二年侵害总面积是多少？第三年？第四年？ 问题3：从第一年算起一年半之后侵害的总面积是多少？ 解：S1 = S0·1.057， S2 = S0·1.0572 问题2：你能提出薇甘菊侵害田地面积S与年数t(年)的关系式吗？ 解：S = S0·1.057t 解：S = S0·1.0571.5 1.5个1.057的乘积如何理解？指数不只限于整数！ 新知引入 问题4：实数是如何分类的？学习的顺序是什么？ 实数 0 无理数 有理数 分数 整数 负整数 正整数 整数 分数 有理数 无理数 实数 aⁿ (n∈N) aⁿ (n∈Q) aⁿ (n∈ ? ) 新知探究 观察下面的变形： (2⁵)² = 210，两边同时开方得到 = 25 . 又由 5 = 10/2 ，得 类似地，我们可以得到 、 ······ 问题5：你有什么发现？你能找出规律吗？ 问题6：现在通过n次方根定义了指数为分数的分数指数幂，这个定义是否合理呢？ Tip：定义的合理性需要满足推广前的运算性质，可以借助运算性质来考察. 新知探究 整数指数幂的运算性质： ①aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ； ②(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ； ③(ab)ⁿ = aⁿbⁿ 目的：借助运算性质②检查是否能定义为指数为分数的形式. 例：定义指数幂的形式：； 由和性质②； 得到，得. 从运算性质验证了指数为分数的合理性！ 再例： 将n次方根记为指数的分母； 将乘方记为指数的分子. 新知探究 指数能否是负分数呢？ 问题7：回顾所学，指数如何从正整数推广到整数？ 例： → 例： 注意：0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义. 新知呈现 aⁿ (n∈Q) 其中 注意：我们将底数规定为正数，即a > 0，避免指数幂无意义的情况。举例如下： 负数没有偶次方根. 有意义. 有理数指数幂 (1) (2) (3) (4) 典例精讲 例题1：求下列各式的值. 解 （1） （2） （3） （4） Tip：尽量使用有理数指数幂进行计算，将计算过程限制在指数上. 消去分母. 例题2：用分数指数幂的形式表示下列各式 (a > 0). (1) (2)   (3)  先化为分数指数幂的形式 解 （1） （2） （3） 典例精讲 典例精讲 变式训练 变式1：计算下列各式： (1)  (2)  (3)  (4)  解 （1） （2）原式 （3）原式 （4）原式 典例精讲 变式训练 (1) (2) (3) 变式2：化简下列各式： 新知呈现 aⁿ (n∈Q) aⁿ (n∈R) 问题8：我们已经将指数推广到有理数，那么指数可以是无理数吗？ x 2x 计算器计算2x的值 1 2 1.4 2.639 015 821 … 1.41 2.657 371 628 … 1.414 2.664 749 650 … 1.414 2 2.665 119 088 … ······ ······ ······ ？ ？ 　 随着x的取值越来越接近于，2x的值也越来越接近于一个实数，我们把这个实数记为． 一般地，当a＞0且x是一个无理数时， ax也是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用．这样，指数幂的概念从有理指数幂推广到实数指数幂． 以后可以证明，当a＞0，a ≠ 1，N>0时，一定有唯一的实数x，满足ax ＝N． 典例精讲 例题3：计算下列各式： (1)  (2)  解：原式 解：原式 有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 典例精讲 最后，标准的分数指数幂的符号并不是在发现之初便设定的如此完美，就像进化论一样，它的产生和演变同样经历了漫长的过程。直到18世纪欧拉才给出了现在的定义，自此，人们开始普遍使用这一表示法。 1360年法国数学家 奥雷姆(N.Oresme) 《比例算法》 1 P 2 2 1585年比利时数学家 斯蒂文(S.Stevin) 《十进算术》 1629年荷兰数学家 吉拉尔(A.Girard) 《代数新发明》 1676年英国数学家 牛顿(I.Newton) 通信(1676) 反思总结 问题9：在进行指数幂的拓展时我们保证了什么时不变的？ 答：指数幂的运算性质 问题10：这节课按照什么顺序对指数幂进行了拓展？ 整数指数幂 分数指数幂 有理数指数幂 无理数指数幂 实数指数幂 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $$