专题04 一元一次方程的求参问题6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题04 一元一次方程的求参问题 目录 典例详解 类型一、利用定义求参数 类型二、代入方程的解求参数 类型三、利用两方程解之间的关系求参数 类型四、错解问题 类型五、正整数解问题 类型六、新定义运算中的含参问题 压轴专练 类型一、利用定义求参数 一元一次方程需满足两个核心条件：①只含1个未知数，且未知数次数为1；②未知数系数不为0 【例1】如果是关于的一元一次方程，求 ． 【例2】已知是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【变式1-1】若是关于的一元一次方程，则 ． 【变式1-2】若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【变式1-3】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 类型二、代入方程的解求参数 【例3】如果关于x的方程的解是，那么a的值为（ ） A． B． C． D． 【例4】已知方程的解为．则代数式的值为 ． 【变式2-1】已知方程中被方块“■”盖住的是一个常数，若该方程的解为．则这个常数是 ． 【变式2-2】已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值为 ． 【变式2-3】若是方程的解，则代数式的值为 ． 类型三、利用两方程解之间的关系求参数 先分别解出两个一元一次方程（含参数的方程解用参数表示），再根据题目给出的解的关系列出关于参数的等式，解这个等式求出参数，最后将参数代入原方程验证，确保解的关系符合题意。 【例5】若关于x的方程与的解相同，则m的值是（   ） A．7 B． C．1 D． 【例6】关于x的一元一次方程的解与方程的解互为相反数，则满足条件的a的值为 ． 【变式3-1】若关于的方程的解与的解相同，求的值． 【变式3-2】若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 【变式3-3】已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 类型四、错解问题 【例7】某同学解方程时，把□处数字看错解得，他把□处看成了（   ） A．3 B． C．8 D． 【例8】小庄在解关于的方程时，在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6，因而求得方程的解为，求原方程的正确解． 【变式4-1】学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【变式4-2】小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【变式4-3】某同学在解方程时，因看错了前面的符号，将“”看成“”，得到方程的解为，试求的值并正确地解方程． 类型五、正整数解问题 【例9】已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 【例10】若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】已知关于的方程有正整数解，则满足条件的所有整数的值为 ． 【变式5-2】关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 【变式5-3】已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 类型六、新定义运算中的含参问题 【例11】定义“※”运算为“”，如“”，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例12】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【变式6-1】用“”定义新运算：对于任意有理数，都有，例：，若，那么的值是 ． 【变式6-2】新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为，求的值． 【变式6-3】新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 1．已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A．2023 B．-2013 C．2013 D．-2023 4．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．已知，为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ． 6．已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 7．若关于x的方程的解是负整数，则满足条件的整数k的值有 个． 8．已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 9．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 10．已知是常数，如果方程与关于的方程的解相同，求的值． 11．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 12．某同学在解方程去分母时，忘记了把1乘以最小公倍数，结果求得的解为，现请你帮他求出正确的解． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元一次方程的求参问题 目录 典例详解 类型一、利用定义求参数 类型二、代入方程的解求参数 类型三、利用两方程解之间的关系求参数 类型四、错解问题 类型五、正整数解问题 类型六、新定义运算中的含参问题 压轴专练 类型一、利用定义求参数 一元一次方程需满足两个核心条件：①只含1个未知数，且未知数次数为1；②未知数系数不为0 【例1】如果是关于的一元一次方程，求 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【例2】已知是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ， ． 故选C． 【变式1-1】若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴且， ∴． 故答案为：2． 【变式1-2】若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：是关于的一元一次方程， ，， 由，可得：， 由，可得：， ． 故答案为：． 【变式1-3】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， ∴． 故答案为：． 类型二、代入方程的解求参数 【例3】如果关于x的方程的解是，那么a的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故选D． 【例4】已知方程的解为．则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：方程的解为， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】已知方程中被方块“■”盖住的是一个常数，若该方程的解为．则这个常数是 ． 【答案】12 【详解】解：设这个常数为， 将代入，得：， 解得， 故答案为：12． 【变式2-2】已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：将代入得，， 解得，， 故答案为：． 【变式2-3】若是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2023 【详解】解：∵a是方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 类型三、利用两方程解之间的关系求参数 先分别解出两个一元一次方程（含参数的方程解用参数表示），再根据题目给出的解的关系列出关于参数的等式，解这个等式求出参数，最后将参数代入原方程验证，确保解的关系符合题意。 【例5】若关于x的方程与的解相同，则m的值是（   ） A．7 B． C．1 D． 【答案】A 【详解】解：， 解得， 将代入， 解得， 故选：A． 【例6】关于x的一元一次方程的解与方程的解互为相反数，则满足条件的a的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：， ∵关于x的一元一次方程的解与方程的解互为相反数， ∴关于x的一元一次方程的解是， 把代入方程得： ， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-1】若关于的方程的解与的解相同，求的值． 【答案】 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵两个方程的解相同， ∴， 解得． 【变式3-2】若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 【答案】 【详解】解： ， ， ， ， 方程的解是关于x的方程的解的2倍， ， 解得：， 将代入方程得 ， 解得：． 【变式3-3】已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 【答案】 【详解】解：由 由 ∵的解比方程的解大5 ∴ 解得： . 类型四、错解问题 【例7】某同学解方程时，把□处数字看错解得，他把□处看成了（   ） A．3 B． C．8 D． 【答案】C 【详解】解：设□用表示， 则方程是， 把代入得， 解得：． 故选：C． 【例8】小庄在解关于的方程时，在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6，因而求得方程的解为，求原方程的正确解． 【答案】 【详解】解：∵在去分母过程中，方程两边同乘6，方程左边的1漏乘6， ∴ 将代入， 得， ∴ ∴ 解得：， ∴ 方程去分母得， ∴ ∴ 解得． 【变式4-1】学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【答案】 【详解】解：由题意得：方程的为， 将代入方程得：， 解得： ∴原方程为， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 【变式4-2】小李同学在解关于x的一元一次方程去分母时，方程右边的1漏乘了3，因而求得方程的解为，请你帮助小李同学求出a的值，并求出原方程正确的解． 【答案】， 【详解】解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：， 则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 【变式4-3】某同学在解方程时，因看错了前面的符号，将“”看成“”，得到方程的解为，试求的值并正确地解方程． 【答案】 【详解】解：将代入可得：， 解得：， 所以原方程为。 ． ． 类型五、正整数解问题 【例9】已知关于的一元一次方程解为正整数，则所有满足条件的的整数有（   ）个． A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解： 去括号得： 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于的一元一次方程解为正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或或或， 故选：B． 【例10】若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 当，即时，方程的解是， ∵关于x的方程的解为正整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， 所以满足条件的所有整数a值的个数是4， 故选：D． 【变式5-1】已知关于的方程有正整数解，则满足条件的所有整数的值为 ． 【答案】0或6或8 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程有正整数解， ∴为正整数， ∴或或， 解得或或， 故答案为：0或6或8． 【变式5-2】关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 【答案】16 【详解】解：， ， 当时，， ∵是正整数， ∴整数， 所以，它们的和为； 故答案为：16． 【变式5-3】已知关于的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：． 要想使方程的解为非正整数，则整数满足：， 是负整数，且能整除5， 的值为，， 当时，解得：， 当时，解得：， 符合条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 类型六、新定义运算中的含参问题 【例11】定义“※”运算为“”，如“”，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 故选：C． 【例12】定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程不是互为“成双方程” (2) 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”，理由如下： 解，得， 解，得， ， 方程与方程不是互为“成双方程”． （2）解，得， 解，得， 关于x的方程与方程互为“成双方程”， ， ． 【变式6-1】用“”定义新运算：对于任意有理数，都有，例：，若，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）解：方程的解为， ∵关于的方程与方程是“兄弟方程”， ∴的解为， 将代入方程得，． ； （2）由题意，另一解为． 则或， 或． 【变式6-3】新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3或 【详解】（1）解：解方程，得：， 则的解为， 将代入，得：， 解得； （2）解：解，得：， 解，得：， 则， 解得； （3）解：设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为， 当时，解得， 当时，解得， 综上可知，的值为3或． 1．已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且， 解得：，， 则 故选：D． 2．小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小强将方程抄为，解得， 则将代入错误方程得：， 解得：． 原方程为：， 移项得：， 即， 解得：． 故选：A． 3．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A．2023 B．-2013 C．2013 D．-2023 【答案】B 【详解】解：对于方程， ∵令， ∴原方程可化为． ∵已知关于的方程的解为， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 4．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：的解为， 将代入中，得： ∴， 再将代入中，得： ∴， 故选：B． 5．已知，为常数，关于的方程，无论为何值，它的解总是，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：把代入关于的方程 得： ， ， ， ， ， ∵无论为何值，它的解总是 ∴无论为何值，恒成立， ， 解得：， ， 故答案为：． 6．已知是方程的一个解，则整式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，即， ∴， 故答案为：． 7．若关于x的方程的解是负整数，则满足条件的整数k的值有 个． 【答案】 【详解】解：∵关于x的方程的解是负整数， ∴的值为，，， 解得的值为，，，共个， 故答案为：． 8．已知关于x的方程． (1)若，求该方程的解； (2)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求m的值； (3)若该方程有正整数解，求整数m的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 9．已知a，b为常数，关于x的方程 ，不论k取何值，方程的解总为，求a，b的值． 【答案】． 【详解】解：把代入得： ， 整理得：， ∵方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：． 10．已知是常数，如果方程与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】 【详解】解：解方程，得 ． 将代入中，得 ， 解得， 的值是． 11．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程不是互为成双方程 (2) 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”，理由如下： 解，得， 解，得， 因为， 所以方程与方程不是互为“成双方程”． （2）解，得， 解，得， 因为关于的方程与方程互为“成双方程”， 所以， 所以． 12．某同学在解方程去分母时，忘记了把1乘以最小公倍数，结果求得的解为，现请你帮他求出正确的解． 【答案】 【详解】解：该同学去分母时方程右边的1忘记乘12， 则原方程变为， 此时方程的解为， 代入得   整理得： ， 解得； 将代入方程， 去分母：， 去括号：， 解得， 即原方程的解为. 19 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$