24.4 弧长和扇形面积（分层作业）数学人教版九年级上册

24.4 弧长和扇形面积 题型一 求弧长 1．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B，C在上．若，则的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，的半径是3，点A、B、C在上，若，则弧的长为 ． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）半径为的圆中，圆心角所对的弧长是 ． 题型二 求扇形面积 1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图是某校铅球场地的设计图，该场地由和扇形组成，，分别与交于点，．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若扇形半径为4，圆心角为，则该扇形的面积为 ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用表示） 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，点A，B，C是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为 ． 题型三 求弓形面积 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． (1)求的度数； (2)求图中阴影部分的面积． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E，过点D作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为8，，求阴影部分的面积． 4．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以为直径的经过的顶点C，点E是的内心，连接并延长交于点D，连接． (1)试判断的形状并证明； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 题型四 求圆锥面积 1．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，圆锥的母线与高的夹角为，母线长为，求它的侧面积． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的直径，求圆锥全面积． 3．（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图，张敏同学用纸板制作一个高为、底面半径为的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，求她所需纸板的面积（用π表示）． 4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）如果圆锥的底面周长是，侧面展开后所得的扇形的圆心角为． (1)求该圆锥的底面半径和母线； (2)求该圆锥的侧面积和全面积． 题型五 求不规则图形的面积 1．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）如图，在中，，点D为上一点，以为直径的交于点E，连接，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，，，求阴影部分面积． 3．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点 D，点 E在上，且． (1)求证：是的切线； (2)判断 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)若， ，求阴影部分的面积（结果保留）． 4．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的直径，点A是上的一点，过点A作圆O的切线交的延长线于点D，已知． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 题型一 求点的弧形运动路径长度 1．（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为3的中，边长为3的等边两顶点B，C在圆上，若在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点O顺时针旋转，第二次与自身重合时，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（   ） A． B． C． D． 题型二 求图形旋转后扫过的面积 1．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是 ． 2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，把绕点顺时针旋转至的位置，使点的对应点落在斜边上，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ． 4．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）． 题型三 圆锥侧面上最短路径问题 1．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 3．（22-23九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 题型四 圆锥的实际应用 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 2．（20-21九年级上·江西南昌·期末）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上下都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的，如图2所示现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）         3．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 4．（2025·福建福州·二模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 1．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°． （2）【问题解决】如图2，在四边形中，，，求的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． （3）【问题拓展】 如图3，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 2．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题． 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形． 如图，正方形内接于，的面积为，正方形的面积为．以圆心为顶点作，使．将绕点旋转，、分别与交于点、，分别与正方形的边交于点、．设由、、及正方形的边围成的图形（阴影部分）的面积为． (1)当经过点（如图）且的半径为时，求的值（结果保留）； (2)当于时（如图），求、、之间的关系为： (用含、的代数式表示)； (3)当旋转到任意位置时（如图），则（2）中的结论仍然成立吗：请说明理由． 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图1，将的顶点A放在直径的端点E处，顶点C在上，边与相交于点F．已知，，的半径为8． (1)求扇形的面积； (2)从图1的位置开始，将绕点A逆时针旋转，当点F与点D重合时（如图2所示），若边与恰好相切于点P，求的长； (3)在（2）的基础上，若的顶点A在上滑动，当直角顶点C恰好落在上且在直径的右侧（如图3所示）时，边与射线交于点G，与的另一交点为H，若，求的长． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某数学活动小组对一个数学问题作如下探究： (1)【问题发现】如图①，正方形的四个顶点在上，点E在弧上，连接、、，若在上取一点F，使得，连接，发现与全等，请说明理由； (2)【变式探究】如图②，正方形的四个顶点在上，若点E在弧上，过点A作，探究线段、、间的数量关系，并说明理由； (3)【结论运用】如图③，在中，，，．点D为边上一动点，连接，点E为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．当点D从的四等分点（靠近点B）出发，向终点A运动，同时，点E从点D出发，向终点C运动，运动过程中，始终保持，则的最小值为 ，点F所经过的路径长为 ．（直接写出结果） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.4 弧长和扇形面积 题型一 求弧长 1．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理．根据圆周角的性质，计算出弧所对的圆心角度数，按照弧长公式求出弧长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵． ∴， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B，C在上．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及勾股定理，同弧所对的圆心角与圆周角的2倍关系，以及弧长的计算．解题的关键是求出圆的半径与所对的圆心角．根据，延长到圆心E，在设未知数求出半径的长，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，即可求出圆心角，利用弧长公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵轴， ∴圆心在y轴上， 设圆心为点E，连接、、， ， ∵在坐标系中：，，， ∴可知：，， 此时由于半径相等：， ∴设，则， ∵由题可知：， ∴在中有勾股定理：， ∴，解得：， ∴半径为：5， ∵同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍，， ∴， ∴的长为：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，的半径是3，点A、B、C在上，若，则弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．由圆周角定理可得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 的半径是3， 弧的长为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）半径为的圆中，圆心角所对的弧长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是弧长的计算，解题的关键是利用弧长公式计算求出弧长．弧长公式为，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长． 【详解】解：半径为的圆中，圆心角所对的弧长为：． 故答案为：． 题型二 求扇形面积 1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图是某校铅球场地的设计图，该场地由和扇形组成，，分别与交于点，．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若扇形半径为4，圆心角为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，直接根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形的面积为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期末）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，若，，则阴影部分的面积是 ．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，根据题意可得阴影部分的面积，据此列式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴阴影部分的面积 故答案为：． 4．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，点A，B，C是上的点，且，的半径为2，则此阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题可先根据圆周角定理求出圆心角的度数，再根据扇形面积公式计算阴影部分（扇形）的面积．本题主要考查了圆周角定理和扇形面积公式，熟练掌握圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）和扇形面积公式（其中为圆心角度数，为半径）是解题的关键． 【详解】解：∵点，，是上的点， ∴ ∵的半径为 ∴阴影部分（扇形）的面积 故答案为：． 题型三 求弓形面积 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，是的直径，，，的平分线交于点D． (1)求的度数； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，弓形的面积等，掌握圆周角定理及扇形面积公式是解题的关键． （1）由直径所对的圆周角为90度可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）由勾股定理计算出，由圆周角定理得出，阴影部分的面积． 【详解】（1）解：是的直径， ， 平分， ， 和都是所对的圆周角， ； （2）解：，，， ， ， 如图，连接， 由（1）知， ， ， ， 阴影部分的面积． 2．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，，． (1)求的长； (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理得到，然后求出，进而求解即可； （2）连接，得，则，即可求得和，结合扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； （2）如图，连接， ∵ ∴， ∴， 在中，， 则， ∴． 【点睛】此题考查了求扇形面积，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E，过点D作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为8，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型． （1）连接，根据圆周角定理得出，再证明是的中位线，得出，再证明，即可证明是的切线． （2）根据计算即可； 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ， ， ， ， ∴是的中位线， ， ， ， ∴是的切线． （2）解：连接． ， ， ， ， ， ， ， ∴． 4．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图，以为直径的经过的顶点C，点E是的内心，连接并延长交于点D，连接． (1)试判断的形状并证明； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题是圆的综合题，考查了扇形的面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，由点是的内心，得到、分别平分、，根据角平分线的定义得到，，得到，根据等腰直角三角形的判定定理得到结论； （2）连接、，与交于点，由（1）可知△为等腰直角三角形，根据勾股定理得到，根据平分，，求得，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵为直径， ∴， ∵点E是的内心， ∴分别平分、， ∴，， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：如图，连接与交于点F， 由（1）可知为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四 求圆锥面积 1．（24-25九年级上·甘肃定西·期末）如图，圆锥的母线与高的夹角为，母线长为，求它的侧面积． 【答案】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，直角三角形性质，根据含30度角的直角三角形的性质得出底面圆的半径为，结合圆锥的侧面积公式，进行计算求解，即可解题． 【详解】解：如图，圆锥的母线与高的夹角为，母线长为， 底面圆的半径为， 它的侧面积（）． 2．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的直径，求圆锥全面积． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算、扇形的面积的计算，熟记相关计算公式是解答本题的关键． 根据题意得出底面积为：，底面周长为：，再计算侧面积，然后求和即可． 【详解】解：∵底面圆的直径， ∴底面半径是， ∴底面积为：，底面周长为：， ∵圆锥的母线长， ∴侧面积为：， ∴这个圆锥的全面积为底面积侧面积． 3．（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图，张敏同学用纸板制作一个高为、底面半径为的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，求她所需纸板的面积（用π表示）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算．熟练掌握扇形面积的计算公式，勾股定理，弧长公式，是解决本题的关键． 根据勾股定理可得母线长，再求出弧长，再根据扇形面积的计算方法即可求解（方法不唯一）． 【详解】解：∵圆锥的母线长， ∴． 故纸板的面积为． 4．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）如果圆锥的底面周长是，侧面展开后所得的扇形的圆心角为． (1)求该圆锥的底面半径和母线； (2)求该圆锥的侧面积和全面积． 【答案】(1)圆锥的底面半径为，母线长为 (2)侧面积，全面积 【分析】本题考查了圆锥的计算． （1）设圆锥的底面半径为，母线长为，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的里面周长计算即可得解； （2）根据扇形的面积公式和圆的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意得：，， 解得：，， ∴圆锥的底面半径为，母线长为； （2）解：该圆锥的侧面积：， 该圆锥的全面积：． 题型五 求不规则图形的面积 1．（24-25九年级上·宁夏固原·期末）如图，在中，，点D为上一点，以为直径的交于点E，连接，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得到，证明得到，然后利用切线的判定定理可证得结论； （2）先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，，进而根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，，， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、角平分线的定义、含30度角的直角三角形的性质、扇形面积等知识，熟练掌握切线的判定定理是解答的关键． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于． (1)求证：是的切线； (2)若与相切于点，，，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】连接，根据等腰三角形的性质可证，根据平行线的性质可证，从而可证结论成立； 连接，可证四边形是正方形，设正方形的边长为，可得：，，利用勾股定理可得方程，解方程即可求出正方形的边长为，利用即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， 则有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）解：如下图所示，连接， 与相切于点， ， 由可知， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 设正方形的边长为，则，， ， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 正方形的边长为， ，， 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交于点 D，点 E在上，且． (1)求证：是的切线； (2)判断 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)若， ，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）连接，结合等腰三角形性质，直角三角形性质推出，进而得到，即可证明是的切线； （2）连接，证明，推出，再进行代换求解，即可得到与 之间的数量关系； （3）利用直角三角形性质得到，证明是等边三角形，进而推出，利用勾股定理求出，进而推出，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，理由如下： 如图，连接， 由（1）得， 在 和 中，， ， ， 又， ； （3）解：，， ， 是等边三角形， ， 由勾股定理，得 ． 由（2）得 ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，切线的判定定理，全等三角形性质和判定，等边三角形判定与性质，勾股定理，扇形面积公式，解题的关键在于灵活运用相关知识． 4．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的直径，点A是上的一点，过点A作圆O的切线交的延长线于点D，已知． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ， ， ， ∵， ∴， ； （2）解：， ， ， ∴图中阴影部分的面积的面积-扇形的面积． 题型一 求点的弧形运动路径长度 1．（2025·贵州毕节·一模）如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理和弧长公式的应用．解题关键在于确定点的运动轨迹是圆弧，利用勾股定理求出圆弧所在圆的半径，再准确运用弧长公式进行计算．本题需要先确定点的运动轨迹，再根据弧长公式计算轨迹长度．点绕点顺时针旋转，其运动轨迹是以为圆心，长为半径的一段圆弧，先求出的长度，再利用弧长公式计算． 【详解】解：∵底面是边长为的正方形， ∴对角线的长度为． ∵，半径． ∴点在地面划出的痕迹长． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为3的中，边长为3的等边两顶点B，C在圆上，若在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，明确点B的运动路径是解题的关键．画出在圆内绕翻滚一周的图形，可知点B经过的路径分别是圆心角为的三条弧，即点B的运动路径长为半径为3的圆的周长，进行计算即可． 【详解】解：如图，在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径分别为圆心角为：的三条弧长，即点B的运动路径长为半径为3的圆的周长， ∴点B的运动路径长为：， 故选：D． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点O顺时针旋转，第二次与自身重合时，点经过的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是求出第二次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵的内接正六边形绕点顺时针旋转，第二次与自身重合时旋转角为， ∴点B经过的路径长为， 故选C． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，半径为的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线，然后把半圆沿直线进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线重合为止，则圆心运动路径的长度等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轨迹、圆的弧长公式，如图，圆心运动路径的长度的长，根据弧长公式计算即可．解题的关键是搞清楚轨迹是什么图形，记住弧长公式，圆周长公式． 【详解】解：如图，圆心运动路径的长度： 的长， ∴圆心运动路径的长度等于． 故选：C． 题型二 求图形旋转后扫过的面积 1．（23-24九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，中，是直角，，，将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到边延长线上的处，则边扫过的图形中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算．由将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处，可得，由题给图象可知：可得出阴影部分面积． 【详解】解：中，是直角，， ，． 将以点为中心顺时针旋转，使点旋转到的延长线上的点处， ． 所以 ． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，把绕点顺时针旋转至的位置，使点的对应点落在斜边上，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质．将图中不规则阴影部分的面积，转化为规则的扇形和三角形面积之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知， ，． ， ． ，， ． 在中， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·云南楚雄·期中）如图，将绕点旋转得到，已知，则线段扫过的图形面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积．由旋转可得，，进而得到，据此解答即可求解． 【详解】解：∵是绕点旋转得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段扫过的图形面积为， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到．若，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积是：是关键； 分别求得∶扇形的面积、以及的面积，即可求解． 【详解】，，， ， 的面积是： ， 在中， ，， ， ， 则阴影部分的面积是：， ， ， ． 故答案为：． 题型三 圆锥侧面上最短路径问题 1．（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 3．（22-23九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 题型四 圆锥的实际应用 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）图1中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形围成圆锥时，恰好重合．已知这种加工材料的顶角，圆锥底面圆的直径为． (1)求图2中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质． （1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，从而求出，再由即可求解； （2）先根据等腰直角三角形的性质得到，再利用扇形的面积公式，利用进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ∴； （2）解：，，， 而， ， ． 2．（20-21九年级上·江西南昌·期末）如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的上下都是空的把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的，如图2所示现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）         【答案】 【分析】将圆锥的侧面展开，转化出平面几何图形，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上的面积即为所求． 【详解】解：过点作交于点，作出圆锥的侧面展开图扇形，如图： ∵的直径，的直径，点O、、共线，与AB、CD都垂直， ∴在中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布． 故答案是： 【点睛】本题解决的关键在于将立体图形转化为平面图形，涉及到的知识点有圆的周长、面积公式，勾股定理，平行线分线段成比例定理，特殊的锐角三角函数，扇形的面积公式等知识点；解决问题时切入点不同则思路方法略有不同，不管哪种思路都要条理清晰的推理演算． 3．（2022·湖南邵阳·模拟预测）在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 4．（2025·福建福州·二模）综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长______；（填“相等”或“不相等”）若，则______． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形，请用含r，l的式子表示． (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草㡌，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】(1)相等，6 (2) (3)不够长；理由见解析 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则解答即可． （2）根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得到等式，变形表示即可． （3）根据（2）得，得到，计算最短，继而得到，比较解答即可． 【详解】（1）解：根据圆锥侧面展开图的意义，得到圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长是相等的，由，则， 解得， 故答案为：相等，6． （2）解：根据题意，得圆锥底面圆的周长为，侧面展开图的扇形弧长为，根据问1的结论，得， 解得． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴够长． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开，弧长公式，扇形与底面圆的关系，勾股定理，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 1．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°． （2）【问题解决】如图2，在四边形中，，，求的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，进而可以利用圆周角的性质求出的度数，请运用小刚的思路解决这个问题． （3）【问题拓展】 如图3，在正方形中，，动点，分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点． ①请你写出与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）或；（2）；（3）①，② 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由、、、共圆，得出； （3）①由“”可证，可得，，由余角的性质可证；②由题意可得点的运动路径是以为直径的圆的，由弧长公式可求解． 【详解】解：（1）如图1， ，， 以点为圆心，长为半径画圆，点、、必在上， 是的圆心角，而是圆周角， ， 同理，当点在弧上时，． 故答案为：或； （2）如图2，取的中点，连接、， ， ， 点、、、均在上， ， ， ； （3）①结论：，， 理由：四边形是正方形， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图3，连接，交于点， 点在运动中保持， 点的运动路径是以为直径的圆的， 点的运动路径长为． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，正方形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题． 经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形． 如图，正方形内接于，的面积为，正方形的面积为．以圆心为顶点作，使．将绕点旋转，、分别与交于点、，分别与正方形的边交于点、．设由、、及正方形的边围成的图形（阴影部分）的面积为． (1)当经过点（如图）且的半径为时，求的值（结果保留）； (2)当于时（如图），求、、之间的关系为： (用含、的代数式表示)； (3)当旋转到任意位置时（如图），则（2）中的结论仍然成立吗：请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质可知，，则根据计算即可得出答案； （2）由正方形的性质可知四边形也是正方形，且其面积，则根据即可得出、、之间的关系； （3）由可得，过点作，，垂足分别为、，易证四边形为正方形，于是可得，，利用可证得，于是可得，进而可得，易证，则，然后根据即可得出结论． 【详解】（1）解：当经过点时，由正方形的性质可知： ，， ； （2）解：当于时，由正方形的性质可知： 四边形也是正方形，且其面积， ， 故答案为：； （3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下： ， ， 如图，过点作，，垂足分别为、， 易证四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 易证， ， ． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，三角形的面积公式，列代数式，正方形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图1，将的顶点A放在直径的端点E处，顶点C在上，边与相交于点F．已知，，的半径为8． (1)求扇形的面积； (2)从图1的位置开始，将绕点A逆时针旋转，当点F与点D重合时（如图2所示），若边与恰好相切于点P，求的长； (3)在（2）的基础上，若的顶点A在上滑动，当直角顶点C恰好落在上且在直径的右侧（如图3所示）时，边与射线交于点G，与的另一交点为H，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，可得，可得，再利用扇形面积公式计算即可； （2）如图，连接，证明，求解，结合，可得，再进一步求解即可； （3）如图，当时，连接，，过作于，作于，证明四边形为矩形，可得，，求解，，从而可得答案；如图，当时，连接，，过作于，作于，同法可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当时，连接，，过作于，作于， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，当时， 连接，，过作于，作于， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：为或． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，切线的性质，求解扇形面积，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 4．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某数学活动小组对一个数学问题作如下探究： (1)【问题发现】如图①，正方形的四个顶点在上，点E在弧上，连接、、，若在上取一点F，使得，连接，发现与全等，请说明理由； (2)【变式探究】如图②，正方形的四个顶点在上，若点E在弧上，过点A作，探究线段、、间的数量关系，并说明理由； (3)【结论运用】如图③，在中，，，．点D为边上一动点，连接，点E为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．当点D从的四等分点（靠近点B）出发，向终点A运动，同时，点E从点D出发，向终点C运动，运动过程中，始终保持，则的最小值为 ，点F所经过的路径长为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 (3)， 【分析】（1）由题意易得，然后可根据“”证明三角形全等即可； （2）连接，过点A作，交的延长线为H，由题意易得是直径，，则有，然后可得四边形是正方形，进而可知，最后问题可求证； （3）以为边作等边三角形，连接，证明，通过得到点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，连接，交圆弧于点，求出的最小值，通过证明，利用弧长公式得到点所经过的路径长． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 连接，过点A作，交的延长线为H，如图所示： ∵正方形是正方形， ∴， ∴是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：以为边作等边三角形，连接， ∵是等边三角形， ，，， ， ∴， ， ∴当点和点运动过程中，始终保持， 则点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点， 连接，交圆弧于点，此时取得最小值， 是等边三角形，点是中点，， ，， ， ， 点是中点， ， 是等边三角形， ， ， 则点所经过的路径长为． 故答案为：的最小值为，点所经过的路径长为． 【点睛】本题考查正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，圆周角的性质，弧长公式，本题的关键在于构造全等三角形，利用定点定长的特点发现隐圆从而解决路径长问题． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$