专题4.3 对数知识归纳与分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.3 对数 高中数学辅导资料 专题 4.3 对数 一、知识归纳： 1．对数的概念 （1）定义：一般地，如果，那么数 叫作以 为底 的对数，记作.其中， 叫作对数的底数， 作真数. （2）常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 . 2．对数的基本性质 （1） 没有对数，即； （2）1的对数为 ，即 （且）； （3）底的对数为 ，即 （且）； （4） ； . 3．对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． 4．换底公式 （1）对数的换底公式: 且且. （2）换底公式的三个常用推论 （1）推论一:.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. （2）推论二:. （3）推论三:.此公式表示底数变为原来的次方，真数变为原来的次方，所得的对数值等于原来对数值的倍. 自查自纠： 1． 2．负数和零 0 0 1 1 N b 3． 4． 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1． （    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的性质求解即可. 【详解】.故选：C. 2．计算（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据对数运算法则即可得到答案. 【详解】.故选：B. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指对数互化，得到，再根据换底公式,然后根据商与积的对数等于对数的差与和，化简成只剩的表达式，然后代入即可得到. 【详解】即，又 又因为，所以，即.故选：C 4．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用对数与指数的互化求出，再利用对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，，所以，， 所以，所以，故选：A 5．设，且，则（   ） A． B．10 C．20 D．100 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式的互化关系变形，再由换底公式列式计算即可. 【详解】依题意，，由，得， 因此，则，所以.故选：D 6．若，则（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】把指数式化为对数式，根据对数运算性质进一步化简即可. 【详解】由，得，，，.故选:C. 7．已知函数，对a，b满足且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的运算性质可知移项化简即可得. 【详解】因为函数，对a，b满足且，以， 则，所以，即，解得.故选：D 8．声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（   ） A．28 B．27 C．23 D．14 【答案】C 【分析】设声强的声强级为，声强的声强级为，则，再代入数据进行对数运算即可. 【详解】设声强的声强级为，声强的声强级为，则, 由题知,所以. 故选：. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据逐项判断即可求解. 【详解】依题意，由可得： 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：AC. 10．下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 【答案】BD 【分析】利用根式与分数指数幂的运算计算可判断A；由分数指数的运算性质计算可判断B；利用完全平方公式计算可判断C；利用对数的换底公式与对数运算公式计算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由，两边平方得，两边再平方可得，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 11．下列选项正确的是（    ） A．命题“，”的否定是， B．满足的集合M的个数为 C．已知，，则 D．已知指数函数（且）的图象过点，则 【答案】BC 【分析】对于A，命题的前提发生变化；对于B，求出满足条件的集合个数即可；对于C，由题意计算出即可判断；对于D，先求出，再算出即可判断. 【详解】对于A，存在量词命题的否定是全称命题，但前提条件不变，所以命题“，”的否定是，，故选项A错误；对于B，满足的集合M的个数为， 故选项B正确；对于C，，，所以，故选项C正确； 对于D，已知指数函数（且）的图象过点，所以，所以，故选项D错误.故选：BC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12． ． 【答案】 【分析】根据指数和对数运算公式，即可求解. 【详解】原式.故答案为： 13．设，，则 ．（用a，b表示） 【答案】 【分析】利用对数的运算即可求解. 【详解】，故答案为：. 14．已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则 ． 【答案】. 【分析】利用幂函数的定义和性质可得，再应用对数运算律计算即可． 【详解】由幂函数，故有，则，解得，或， 当时，与坐标轴有交点不合题意.所以，，满足条件， .故答案为：． B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（    ） A．1 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】利用对数运算性质求解. 【详解】.故选：D 2．若，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】若，则，则.故选：C. 3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】利用函数的解析式以及函数的奇偶性的性质求解函数值即可． 【详解】根据题意得，，又因为已知是定义在上的奇函数，当时，，，故选：B. 4．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据给定的条件，探讨函数的周期性，再结合函数解析式计算作答. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，则，且， 又为偶函数，则，于是得，，因此函数是周期为4的周期函数，当时，，则，，所以.故选：C 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，得，再根据换底公式及对数的运算性质即可得解. 【详解】由，得，则.故选：A. 6．设a，b，c都是正数，且，那么（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可． 【详解】依题意设，则，，， 所以， 则，故A，C错误； 则，故B错误； 则，故D正确. 故选：D. 7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得. 【详解】因为，，， 所以.故选：A. 8．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林·梅森曾对“”（p是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第6个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，再结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】由第6个梅森素数为，第14个梅森素数为，可得， 令，两边同时取对数，则，可得，又，所以，与最接近的数为.故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】根据逐项判断即可求解. 【详解】依题意，由可得： 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：AC. 10．若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据对数运算法则和性质即可判断. 【详解】对于A：，故选项A不正确； 对于B，根据对数的运算法则得，故B正确； 对于C：，故选项B不正确； 对于D：，故选项D正确； 故选：BD. 11．已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A，利用换底公式得到，故；对于B，C，即可判断；对于D，，解方程即可判断. 【详解】利用换底公式的一个推论：，可得若， 则，． A（√）若，则． B（√）． C（√）若，则． D（×）若，则，则或． 故选:ABC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．计算： . 【答案】 【分析】根据指数和对数运算求得正确答案. 【详解】原式，故答案为：. 13．已知 (用表示) 【答案】/ 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】，.故答案为： 14．已知，且，则的值是 . 【答案】1 【分析】由指对互化可得，再利用对数的换底公式和对数的运算性质计算可得的值. 【详解】因为，则， 所以.故答案为：1. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$专题4.3 对数 高中数学辅导资料 专题 4.3 对数 一、知识归纳： 1．对数的概念 （1）定义：一般地，如果，那么数 叫作以 为底 的对数，记作.其中， 叫作对数的底数， 作真数. （2）常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫作常用对数，并把记作 ，以无理数为底数的对数称为自然对数，并且把记为 . 2．对数的基本性质 （1） 没有对数，即； （2）1的对数为 ，即 （且）； （3）底的对数为 ，即 （且）； （4） ； . 3．对数的运算性质 如果且，，，那么： （1） ； （2） ； （3） ． 推广：． 4．换底公式 （1）对数的换底公式: 且且. （2）换底公式的三个常用推论 （1）推论一:.此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数. （2）推论二:. （3）推论三:.此公式表示底数变为原来的次方，真数变为原来的次方，所得的对数值等于原来对数值的倍. 自查自纠： 1． 2．负数和零 0 0 1 1 N b 3． 4． 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1． （    ） A．3 B． C． D． 2．计算（    ） A． B． C．4 D．5 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．设，且，则（   ） A． B．10 C．20 D．100 6．若，则（    ） A． B．2 C． D．5 7．已知函数，对a，b满足且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 8．声强是表示声波强度的物理量，由于声强变化范围非常大，数量级相差很多，因此通过声强级来表示声强强度大小，规定声强级（单位：分贝），其中为标准声强．若声强是声强的200倍，则声强的声强级比声强的声强级大多少分贝（结果保留整数）？（）（   ） A．28 B．27 C．23 D．14 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．下列各式正确的是（   ） A．设，则 B．已知，则 C．若 D．，则 11．下列选项正确的是（    ） A．命题“，”的否定是， B．满足的集合M的个数为 C．已知，，则 D．已知指数函数（且）的图象过点，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12． ． 13．设，，则 ．（用a，b表示） 14．已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则 ． B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（    ） A．1 B． C．4 D．6 2．若，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C．0 D．2 4．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．设a，b，c都是正数，且，那么（   ）． A． B． C． D． 7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 8．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林·梅森曾对“”（p是素数）型素数作过较为系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第6个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 10．若，，则下列各式中，恒等的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．计算： . 13．已知 (用表示) 14．已知，且，则的值是 . 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$