专题4.2 指数函数知识归纳与分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.2 指数函数 高中数学辅导资料 专题4.2 指数函数 一、知识归纳： 1．指数函数及其性质 （1）概念：一般地，函数称为指数函数，其中是常数，且． （2）指数函数的图象与性质 图象 定义域 R 值域 性质 过定点 ，即时， 当时， ； 当时，时 当时， ； 当时， 在上是 在上是 与的图象关于轴对称 2．解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 3．指数爆炸 （1）当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大， 较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． （2）把自变量x看成时间，在长为T的时间周期中，指数函数的值从增长到，增长率为，它是一个常量．因此，在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长． 4．比较幂大小的方法： （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断． 自查自纠： 1． 增函数 减函数 2． 同底 3．底数a 4．指数函数的单调性 指数函数的图象的变化规律 中间值 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数值求出，再求函数值即可. 【详解】，故选：A. 2．设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】借助指数函数性质分类讨论即可得. 【详解】由函数为指数函数，故且， 当时，函数单调递增，有，不符合题意，故舍去； 当时，函数单调递减，有，符合题意，故正确. 故选：A. 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式列出其满足的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知函数要有意义，需满足，解得， 故的定义域为，故选：B 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【详解】令，所以，因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为.故选：D. 5．（安徽省·2024-2025高一上·期中）已知那么a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数，指数函数单调性可得答案. 【详解】因函数在R上单调递减，在R上单调增.则．所以． 故选：B 6．（重庆市·2023-2024高二下·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由即可由指数函数的单调性求解. 【详解】的定义域满足，解得，故选：C 7．（安徽省亳州市·2022-2023高三上学期·月考）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数性质可知，由此可得；利用可求得结果. 【详解】由题意知：，解得：，. 故选：C. 8．（山西省朔州市·2024-2025高一上·期中考）已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由指数函数恒过定点可得，代入可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】因为且，令可得，，所以该函数过定点； 又点在一次函数的图象上，所以，因此，当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为.故选：B 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（湖南省长沙市浏阳市·2021-2022学年高一下·入学考）下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据幂函数的性质判断A、B，根据指数函数的性质判断C、D. 【详解】对于A：因为在上单调递增，又，所以，故A错误； 对于B：在上单调递减，又，所以，故B错误； 对于C：因为，又在上单调递增， 且，所以，即，故C错误； 对于D：，，所以，故D正确； 故选：ABC 10．（吉林省·2024-2025学年高一上·期末）下列说法正确的是（    ） A．命题：“”的否定是“” B．函数恒过定点 C．函数的值域为 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABD 【分析】对每个选项逐一判断即可. 【详解】对于A：命题：“”的否定是“”，故A正确； 对于B：由时，，故函数恒过定点，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以函数的值域为，故C错误. 对于D：因为函数的定义域为，对于函数， 令，解得，所以函数的定义域为，故D正确； 故选：ABD 11．（四川省绵阳市·2023-2024学年高一上·期中）关于函数的相关性质，下列正确的是（    ） A．函数的图象关于轴对称 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递减 D．函数的最小值为0，无最大值 【答案】ACD 【分析】探讨给定函数的性质，再逐项判断即可得解. 【详解】函数的定义域为R，， 因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，A正确； 当时，，而函数是减函数， 则在上单调递增，在上单调递减，B错误，C正确； 当时，，则， 当时，由是偶函数，得， 因此，，即函数的最小值为0，无最大值，D正确. 故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（上海市·高三·毕业考）若函数为偶函数， 且当时，， 则 . 【答案】/ 【分析】利用偶函数的定义即可求解. 【详解】当时，，所以，又因为为偶函数，所以．故答案为：. 13．已知，则 . 【答案】1 【分析】利用分段函数分段处理及复合函数由里到外的原则即可求解. 【详解】由已知时，，所以，又时，， 所以，所以.故答案为：. 14．（四川省通江中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题）函数为奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数定义，由恒成立求解即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，因为为奇函数，所以对任意，都有.则，所以.故答案为：. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．10 【答案】D 【分析】根据题意推得，得到函数的周期为，利用函数的周期性和对称，结合，代入即可求解. 【详解】由为奇函数，可得函数的对称中心为，即 又由，则的对称轴为，即， 所以，即， 又由，所以，即函数的周期为， 则. 故选：D. 2．（江西省·2023-2024学年高二上·期末联考）若函数（）是偶函数，则（    ） A．2023 B．2024 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义与性质，即可求出结果. 【详解】因为，所以，又是偶函数，所以，得到或（舍去），得， 故选：B 3．（山西省晋城·高三下·月考）“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断当时， 为奇函数，再根据函数为奇函数，求出a的值，即可判断“”和“函数为奇函数”之间的逻辑关系，可得出答案. 【详解】当时，，满足，即函数为奇函数；当函数为奇函数时，则， 即， 即，故，解得，即函数为奇函数推不出一定是，故“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件，故选：A 4．（重庆市南开·2022-2023高一上·月考）已知函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式以及单调性的性质可得函数在上单调递增，再利用指数函数、幂函数、构造函数研究自变量大小关系即可． 【详解】解：函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上单调递增， 因为函数在上单调递减，所以；又函数在上单调递增，所以； 构造，易知在单调递增，且，，，所以，故，又因为在上递增，所以.故选：D. 5．（湖北省黄冈市·2022-2023学年高一上·期中）对，用表示中的较大值，记为，若，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用数形结合画出两函数图象，取较大的部分即可求出结果. 【详解】易知函数为单调递减，为单调递增，两函数图象至多一个交点，令，解得；当时，，当时，；所以，画出函数的图象如下图所示：      由图可知，的最小值为1.故选：C 6．（河北省张家口·2024-2025学年高一下·开学考）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，可得为偶函数，进而判断出函数在上单调递增，在上单调递减，则由不等式可得，即可解出答案. 【详解】函数，则，所以为偶函数，当时，，函数单调递减，函数单调递减，则函数单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，则由不等式，得，则，化简得，解得，则不等式的解集为.故选：A. 7．（北京市·2023-2024学年高一上·期中）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得恒成立，再分和两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】因为不等式恒成立，即恒成立，所以恒成立，即恒成立，当时恒成立，符合题意；当时，则，解得； 综上可得，即实数的取值范围是.故选：B 8．（江苏省南通市·2024-2025学年高一上·月考）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为恒成立问题，分离参数求最值即可. 【详解】函数由和复合而成，因为在区间上单调递减，而单调递增， 所以在区间上单调递减，因为，如图，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（重庆南开·2023-2024学年高一上·阶段）下列命题中正确的是（    ） A．函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】BCD 【分析】根据指数函数单调性和值域结合二次函数或不等式性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且在上单调递减，可得， 所以函数的值域为，故A错误；对于选项B：令，解得，可知函数的定义域为，因为在上单调递增，且，可得，则，所以函数的值域为，故B正确；对于选项C：令，则，可得， 因为开口向上，对称轴为，可得在上单调递增，且， 所以的值域为，即函数的值域为，故C正确；对于选项D：由题意可得的定义域为，因为，即，可得，所以函数的值域为，故D正确；故选：BCD. 10．（黑龙江省哈尔滨市·2023-2024学年高一上·期中）已知定义在上的函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的最小值为5 B．函数在定义域内单调递增 C．若函数，则的值域是 D．若函数，则的值域为 【答案】AC 【分析】根据二次函数的单调性判断AB，根据均值不等式判断C，换元后利用二次函数判断D. 【详解】函数的对称轴方程为，所以函数在上单调递增，故函数无最小值，故A错误B正确；因为，当且仅当，即时等号成立，故的值域是，故C错误；函数，令，则，二次函数对称轴，所以在上单调递增，故，所以的值域为，故D正确.故选：AC 11．（广东省汕头市金山中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别求出各个选项的值域，结合有界函数的定义即可得出答案. 【详解】对于A，因为，所以，所以，不存在正数，使得成立，故函数不是“有界函数”.对于B，，因为，所以，存在正数，使得成立，故函数是“有界函数”.对于C，，因为，所以，所以，所以，所以，即，存在正数，使得成立，故函数是“有界函数”.对于D，令，则，当即时，等号成立，即，所以，不存在正数，使得成立， 故函数不是“有界函数”.故选：BC. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（江西省景德镇·2023届高三上·质检）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，根据偶函数的性质及单调性原不等式等价于，解得即可. 【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且当时，，即在上单调递增，所以在上单调递减，则不等式等价于，即，解得，即.故答案为： 13．（陕西省兴平市·2024届高三·二模）对，用表示中的较大值，记为，若，则的最小值为 . 【答案】 【详解】取，时等式成立，函数单调递增，故是方程的唯一解， 当时，，，；当时，，，；综上所述：的最小值为.故答案为：. 14．（河北省石家庄市二十三中2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题）已知是偶函数，则 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】先利用函数奇偶性的定义可求得实数的值，从而得到，再利用基本不等式即可推得，由此得解. 【详解】因为函数为偶函数，则，即，所以，由的任意性可得，故，所以， 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，即， 所以，即的最小值为.故答案为：；. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$专题4.2 指数函数 高中数学辅导资料 专题4.2 指数函数 一、知识归纳： 1．指数函数及其性质 （1）概念：一般地，函数称为指数函数，其中是常数，且． （2）指数函数的图象与性质 图象 定义域 R 值域 性质 过定点 ，即时， 当时， ； 当时，时 当时， ； 当时， 在上是 在上是 与的图象关于轴对称 2．解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 3．指数爆炸 （1）当底数时，指数函数值随自变量的增长而增大， 较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸． （2）把自变量x看成时间，在长为T的时间周期中，指数函数的值从增长到，增长率为，它是一个常量．因此，在经济学或其他学科中，当某个量在一个既定的时间周期中，其增长百分比是一个常量时，这个量就被描述为指数式增长，也称指数增长． 4．比较幂大小的方法： （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断． 自查自纠： 1． 增函数 减函数 2． 同底 3．底数a 4．指数函数的单调性 指数函数的图象的变化规律 中间值 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知指数函数且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 2．设．若函数为指数函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（安徽省·2024-2025高一上·期中）已知那么a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（重庆市·2023-2024高二下·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （   ） A． B． C． D． 7．（安徽省亳州市·2022-2023高三上学期·月考）已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 8．（山西省朔州市·2024-2025高一上·期中考）已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（湖南省长沙市浏阳市·2021-2022学年高一下·入学考）下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（吉林省·2024-2025学年高一上·期末）下列说法正确的是（    ） A．命题：“”的否定是“” B．函数恒过定点 C．函数的值域为 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 11．（四川省绵阳市·2023-2024学年高一上·期中）关于函数的相关性质，下列正确的是（    ） A．函数的图象关于轴对称 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递减 D．函数的最小值为0，无最大值 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（上海市·高三·毕业考）若函数为偶函数， 且当时，， 则 . 13．已知，则 . 14．（四川省通江中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题）函数为奇函数，则的值为 ． B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，，则（    ） A． B． C．0 D．10 2．（江西省·2023-2024学年高二上·期末联考）若函数（）是偶函数，则（    ） A．2023 B．2024 C．2 D． 3．（山西省晋城·高三下·月考）“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（重庆市南开·2022-2023高一上·月考）已知函数，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 5．（湖北省黄冈市·2022-2023学年高一上·期中）对，用表示中的较大值，记为，若，则的最小值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 6．（河北省张家口·2024-2025学年高一下·开学考）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（北京市·2023-2024学年高一上·期中）若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（江苏省南通市·2024-2025学年高一上·月考）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（重庆南开·2023-2024学年高一上·阶段）下列命题中正确的是（    ） A．函数的值域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 10．（黑龙江省哈尔滨市·2023-2024学年高一上·期中）已知定义在上的函数，下列说法错误的是（    ） A．函数的最小值为5 B．函数在定义域内单调递增 C．若函数，则的值域是 D．若函数，则的值域为 11．（广东省汕头市金山中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．（江西省景德镇·2023届高三上·质检）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的的取值范围是 . 13．（陕西省兴平市·2024届高三·二模）对，用表示中的较大值，记为，若，则的最小值为 . 14．（河北省石家庄市二十三中2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题）已知是偶函数，则 ，的最小值为 ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$