专题4.1 指数知识归纳与分层检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.1 指数 高中数学辅导资料 专题4.1 指数 一、知识归纳： 1．根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做______，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①______没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作______． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 2．分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是 （，，且）；正数的负分数指数幂的意义是 （，，且）；正分数指数幂等于；的负分数指数幂 . 3．分数指数幂的定义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是 . ，且 (2)规定正数的负分数指数幂的意义是 . ，且 (3)0的正分数指数幂等于 ，的负分数指数幂 . 4．指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质： ； ； ，其中，，. 自查自纠：1．根式 ；负数 ；0 ； ； ； 2． 没有意义 3． 没有意义 4． 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若有意义，则是（    ） A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数 【答案】C 【分析】根据根式的概念即得. 【详解】被开方数为负数时只能开奇数次方，所以n为正奇数，故选：C. 2．（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【详解】.故选：D. 3．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】，故选：A 4．（24-25高一上·河南·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式和指数的运算法则计算即可. 【详解】.故选：C. 5．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则的值是（　　） A． B． C．24 D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算求出、的值，再代入计算可得. 【详解】因为，，所以，，所以.故选：B 6．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的运算法则，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由于，A正确，B，C错误；，由于无意义，D错误，故选：A 7．（22-23高一上·河北张家口·阶段练习）已知，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】先根据展开求值，再根据求解，原等式代入求解即可. 【详解】，则，， ，则， 故选：C. 8．（21-22高一上·福建福州·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过函数的奇偶性，的值，以及时函数的极限值排除错误选项即可. 【详解】解：函数的定义域为R，，即为偶函数，排除B；当时，，所以排除A；当时，，，排除D. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据根式的意义逐一判断可得. 【详解】因为，所以为偶数，，所以有意义，A正确； 取，则，所以无意义，B错误； 因为的根指数为奇数，所以有意义，C正确； 若，则，所以无意义，D错误. 故选：AC 10．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用根式的性质、根式与指数幂的互化以及指数幂的运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B错；对于C选项，，C对；对于D选项，，D错.故选：AC. 11．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】应用根式的运算即可. 【详解】，则，解得．故选：ABC 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，则 . 【答案】9 【解析】由指数运算性质有即可求值. 【详解】由知：，故答案为：9. 13． . 【答案】/ 【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】,故答案为： 14．（20-21高一上·上海闵行·期末）已知，，化简： 【答案】 【解析】直接利用指数幂的运算性质化简求值即可. 【详解】，，则.故答案为：. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（22-23高一上·广西桂林·期末）设，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A可举出反例，BCD由指数幂的运算法则判断即可. 【详解】由指数幂运算法则可知：，，BC错误，D正确， 当时，，故，A错误.故选：D 2．（17-18高一上·福建宁德·期中）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误；B中，，故B错误；C中，（），故C正确；D中，，故D错误.故选：C. 3．（22-23高一上·江苏南通·期中）（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】．故选：A． 4．（22-23高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误． 【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；对于B，，故，选项B正确；对于 C，， ，因为，所以，选项C错误；对于D，，选项D错误.故选：B． 5．（24-25高一上·安徽·期中）已知，则（    ） A．2 B．-2 C．4 D．2或-2 【答案】A 【分析】将根式化为分数指数幂，根据指数运算的运算法则即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得；要使得等式有意义，则，所以； 故选：. 6．（2023高一·全国·专题练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质直接化简即可. 【详解】.故选：A. 7．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，所以，因为a，b为正数，所以，当且仅当时，即，时，等号成立，所以的最小值为.故选：D. 8．（23-24高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．12 D．16 【答案】D 【分析】利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】由已知可得，，两边同除得，所以．当且仅当时等号成立，故选：D 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据指数运算的公式直接计算即可. 【详解】，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：CD 10．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】CD 【分析】先由等式得到，再应用基本不等式求得的范围，结合选项判断即可. 【详解】由得：，解得，即，由于，，当且仅当（即）时取得等号.故选：CD. 11．（2023高一·全国·专题练习）已知 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据完全平方公式，立方和公式逐一判断即可. 【详解】由可知：，，因此选项B正确；，因此选项A错误；，因为，所以，所以选项C正确； ，所以D错误．故选：BC． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．的值为 ． 【答案】 【分析】利用根式的性质进行化简求值即可. 【详解】.故答案为：. 13． . 【答案】 【分析】利用指数函数的运算性质计算即可. 【详解】.故答案为：. 14．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】解方程求出x，再代入计算即可. 【详解】 ，，解得，，故答案为：. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$专题4.1 指数 高中数学辅导资料 专题4.1 指数 一、知识归纳： 1．根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做______，这里叫做根指数，叫做被开方数． （2）①______没有偶次方根． ②0的任何次方根都是0，记作______． ③______（，且）． ④（为大于1的奇数）． ⑤（为大于1的偶数）． 2．分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是 （，，且）；正数的负分数指数幂的意义是 （，，且）；正分数指数幂等于；的负分数指数幂 . 3．分数指数幂的定义 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是 . ，且 (2)规定正数的负分数指数幂的意义是 . ，且 (3)0的正分数指数幂等于 ，的负分数指数幂 . 4．指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质： ； ； ，其中，，. 自查自纠：1．根式 ；负数 ；0 ； ； ； 2． 没有意义 3． 没有意义 4． 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．若有意义，则是（    ） A．正偶数 B．正整数 C．正奇数 D．整数 2．（24-25高一上·河北·阶段练习）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 4．（24-25高一上·河南·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知，则的值是（　　） A． B． C．24 D． 6．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·河北张家口·阶段练习）已知，则的值等于（    ） A． B．6 C． D．8 8．（21-22高一上·福建福州·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（22-23高一上·云南曲靖·阶段练习）若，则下列四个式子中有意义的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．1 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知，则 . 13． . 14．（20-21高一上·上海闵行·期末）已知，，化简： B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（22-23高一上·广西桂林·期末）设，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（17-18高一上·福建宁德·期中）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江苏南通·期中）（    ） A． B． C． D．3 4．（22-23高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 5．（24-25高一上·安徽·期中）已知，则（    ） A．2 B．-2 C．4 D．2或-2 6．（2023高一·全国·专题练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．10 B．12 C．18 D．24 8．（23-24高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．12 D．16 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．（24-25高一上·广东汕尾·期末）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知，则的值可以为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．（2023高一·全国·专题练习）已知 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．的值为 ． 13． . 14．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$