第1章特殊的平行四边形 能力培优卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版

第1章特殊的平行四边形能力培优卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•海门区校级月考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为斜边BC中点，AD＝3，则BC的长为（　　） A．2.5 B．4 C．6 D．10 2．（2025春•海门区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E为AD中点，点F在边BC上，连接BE、DF，若∠ADF＝2∠ABE，则BF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 3．（2024秋•山亭区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2025春•西城区校级期末）如图，矩形ABCD中，AC＝1，调整∠ABC度数后得平行四边形A′BCD′，A′D′交CD于点E，若要求出A′C的长度，则下列说法中正确的是（　　） A．只需知道AB长度即可 B．只需知道A′D′长度即可 C．只需知道EC长度即可 D．只需知道BD′长度即可 5．（2025春•北京期中）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，若EF＝4，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2025春•海陵区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　） A．2.4 B．4.8 C．12 D．24 7．（2025春•威远县校级期末）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 8．（2025春•碑林区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若OA＝6，菱形ABCD的面积为48，则OE的长为（　　） A．8 B． C．4 D．2 9．（2025春•丹阳市期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作MN平行于AB，分别交AD、BC于点M、N，连接AP、CP．若PM＝2，BN＝4，则图中阴影部分的面积的和为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 10．（2025春•砚山县期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝64°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数为（　　） A．58° B．122° C．148° D．154° 二．填空题（共6小题） 11．（2025春•富锦市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，当 　 　 时，▱ABCD是矩形．（只能添加一个条件） 12．（2025春•樊城区期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，对角线BD的长为6，则点D到AB的距离为 　 　 ． 13．（2025春•柳林县期末）如图1，乳钉纹方鼎是商代的铜鼎，现收藏于山西省博物馆，通高82cm，口边长为50cm的正方形ABCD（图2），O为对角线的交点，则AO＝ 　 　 cm．（结果保留根号） 14．（2025春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E在AD上，且AE＝5，点P在对角线AC上，作点A关于PE的对称点F，当点F恰好落在矩形ABCD的边上时，AF的长为 　 　 ． 15．（2025春•玉环市期末）如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，∠CBD＝20°，则∠AOB＝　 　 ． 16．（2025春•连山区期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝11．连接对角线AC，点E，点F分别为射线AB，射线AC上一动点，连接DF，EF．当∠ADF+∠AEF＝180°，BE＝7时，AF的长为　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．（2025•汉川市模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点，使CF＝BE，连接DF．求证：四边形AEFD是矩形． 18．（2025春•利津县月考）如图，在菱形ABCD中，M为CD的中点，AM的延长线与BC的延长线交于点E，F为DC延长线上一点，且CF＝CD． （1）求证：△CME≌△DMA； （2）试判断四边形BDEF的形状，并证明你的结论． 19．（2025•织金县三模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF． （1）求证：四边形BCEF是菱形； （2）若CE＝2，BC＝3，求菱形BCFE的面积． 20．（2025春•靖江市校级月考）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为32，BF＝1，求点F到线段AE的距离． 21．（2025春•献县校级月考）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，AB＝3，CE＝5． （1）若AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是矩形，且周长为12，求平行四边形ABCD的面积； （3）若四边形AECF是菱形，且平行四边形ABCD的周长是整数，直接写出最大周长． 22．（2025春•文登区期末）如图1，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，连接OE并延长，过点A作AF∥OD，交OE的延长线于点F，连接FD． （1）判断四边形AODF的形状，并说明理由； （2）如图2，连接BE，若∠BAD＝120°，AB＝4，求BE的长． 23．（2025春•市南区期末）如图①，在等边△ABC中，AB＝5，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，你能求出线段MN长度的最小值吗？ 思路分析：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．这样就把求线段MN的最小值转化成求线段CP的最小值． 问题解决： （1）求∠CAP的度数； （2）则线段MN的最小值为 　 　 ． 应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，图④是它的示意图，已知△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是长方形，AB＝AC＝CD＝4米，∠ACB＝30°，MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN，钢丝绳MN长度的最小值为 　 　 米． 第1章特殊的平行四边形能力培优卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D D B D C C B 一．选择题（共10小题） 1．（2025春•海门区校级月考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为斜边BC中点，AD＝3，则BC的长为（　　） A．2.5 B．4 C．6 D．10 【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为斜边BC中点，AD＝3， 则BC＝2AD＝2×3＝6， 故选：C． 2．（2025春•海门区校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，E为AD中点，点F在边BC上，连接BE、DF，若∠ADF＝2∠ABE，则BF的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【解答】解：作∠ADF的平分线交AB于点P，连接PF，过点P作PQ⊥DF于点Q，如图所示： ∴∠ADP＝∠FDP，∠ADF＝2∠ADP，∠PQD＝∠PQF＝90°， ∵∠ADF＝2∠ABE， ∴∠ADP＝∠ABE， ∵四边形ABCD是正方形，AB＝8， ∴BC＝CD＝AD＝AB＝8，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DEAD＝4， 在△ADP和△ABE中， ， ∴△ADP≌△ABE（ASA）， ∴AP＝AE＝4， ∴PB＝AB﹣AP＝4， 即PB＝AP＝4， 在△ADP和△QDP中， ， ∴△ADP≌△QDP（AAS）， ∴AP＝PQ＝4，AD＝QD＝8， ∴PQ＝PB＝4， ∵∠PQF＝∠ABC＝90°， ∴△PQF和△PBF都是直角三角形， 在Rt△PQF和Rt△PBF中， ， ∴Rt△PQF≌Rt△PBF（HL）， ∴BF＝QF， 设BF＝QF＝a， ∴CF＝BC﹣BF＝8﹣a，DF＝QD+QF＝8+a， 在Rt△DFC中，由勾股定理得：CD2+CF2＝DF2， ∴82+（8﹣a）2＝（8+a）2， 解得：a＝2， ∴BF＝a＝2． 故选：C． 3．（2024秋•山亭区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【解答】解： ∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD， ∴OD＝OCAC＝2， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8． 故选：C． 4．（2025春•西城区校级期末）如图，矩形ABCD中，AC＝1，调整∠ABC度数后得平行四边形A′BCD′，A′D′交CD于点E，若要求出A′C的长度，则下列说法中正确的是（　　） A．只需知道AB长度即可 B．只需知道A′D′长度即可 C．只需知道EC长度即可 D．只需知道BD′长度即可 【解答】解：对于选项A、B，由于调整∠ABC度数前后，A′D′和AB的长度保持不变，分别与矩形ABCD的长和宽相等．所以这两条线段的长度不能决定调整∠ABC度数后平行四边形A′BCD′的形状． 故选项A、B不符合题意． 设DC＝a，AD＝b．根据题意，AB＝DC＝A′B＝D′C＝a，AD＝A′D′＝BC＝b． 根据勾股定理，AC2＝AD2+CD2＝a2+b2． 对于选项C，在Rt△A′EC中，A′C2＝A′E2+EC2＝（b﹣D′E）2+EC2， 在Rt△D′EC中，D′E2＝D′C2﹣EC2＝a2﹣EC2． ∴A′C2＝（b）2+EC2＝（）2+EC2， A′C2＝（b）2+EC2＝（b）2+EC2． ∴除了AC和EC之外，还需要知道a或b的值，才能求出A′C的长度． 故选项C也不符合题意． 对于选项D，作D′F∥CD交BC的延长线于F，则D′F⊥BF，易知CED′F为矩形，如图： 在Rt△A′EC中，A′C2＝（b﹣D′E）2+EC2， 在Rt△BD′F中，BD′2＝BF2+D′F2＝（BC+CF）2+EC2＝（b+D′E）2+EC2． ∴A′C2+BD′2＝2b2+2D′E2+2EC2＝2b2+2（D′E2+EC2）＝2（b2+a2）＝2AC2． ∴A′C． ∴选项D符合题意． 故答案为：D． 5．（2025春•北京期中）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，若EF＝4，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵E，F分别是AB，AC的中点，EF＝4， ∴EFBC＝4， ∴AB＝BC＝2EF＝8， 故选：D． 6．（2025春•海陵区校级月考）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH＝（　　） A．2.4 B．4.8 C．12 D．24 【解答】解：设AC交BD于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD， ∵AC＝8，DB＝6， ∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°， 由勾股定理得AB5， ∵菱形ABCD的面积AC•BD＝AB•DH， ∴8×6＝5DH， ∴DH4.8， 故选：B． 7．（2025春•威远县校级期末）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、AF、EF．已知AF平分∠DFE，BE＝2，则DF的长为（　　） A．2 B．4 C． D． 【解答】解：延长FD到G，使FG＝FE，连接AG，如图： ∵AF平分∠DFE， ∴∠GFA＝∠EFA， ∵AF＝AF，FG＝FE， ∴△GFA≌△EFA（SAS）， ∴AG＝AE，GF＝EF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠ADC＝∠ADG＝90°＝∠B， ∴Rt△ADG≌Rt△ABE（HL）， ∴DG＝BE＝2， 设DF＝x，则FG＝x+2＝EF，CF＝CD﹣DF＝5﹣x， ∵∠C＝90°， ∴CE2+CF2＝EF2， ∴（5﹣2）2+（5﹣x）2＝（x+2）2， 解得x， ∴DF， 故选：D． 8．（2025春•碑林区校级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若OA＝6，菱形ABCD的面积为48，则OE的长为（　　） A．8 B． C．4 D．2 【解答】解：∵AC＝2OA＝2×6＝12，菱形ABCD的面积为48， ∴AC•BD＝48， 解得BD＝8， ∵DE⊥AB，OB＝OD， 在Rt△BDE中，OEBD＝4， 故选：C． 9．（2025春•丹阳市期中）如图，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作MN平行于AB，分别交AD、BC于点M、N，连接AP、CP．若PM＝2，BN＝4，则图中阴影部分的面积的和为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【解答】解：如图所示，过点P作EF∥AD， 四边形ABCD是矩形，BD是对角线， ∴S△ABD＝S△CBD， ∵EF∥AD，MN∥AB， ∴四边形EBNP，AEPM，MPFD，PNCF是矩形， ∴AM＝BN＝4， ∴S△EBP＝S△PBN，S△MPD＝S△PFD， ∴S△矩形AEPM＝S△矩形PNCF， ∵AP，PC分别是矩形AEPM和PNCF的对角线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积的和为S△APM+S△PNC＝8． 故选：C． 10．（2025春•砚山县期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝64°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数为（　　） A．58° B．122° C．148° D．154° 【解答】解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝64°， ∴，∠AOD＝90°，O为BD的中点， ∵E为CD的中点， ∴OE是△DBC的中位线， ∴OE∥BC， ∴∠DOE＝∠DBC＝32°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AOE＝90°+32°＝122°， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．（2025春•富锦市期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，当 　∠A＝90°或AC＝BD 时，▱ABCD是矩形．（只能添加一个条件） 【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形． 所以可以添加：∠A＝90°或AC＝BD． 故答案为：∠A＝90°或AC＝BD． 12．（2025春•樊城区期末）如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，对角线BD的长为6，则点D到AB的距离为 　3　 ． 【解答】解：过D作DH⊥BA交BA的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC∥AD，BD平分∠ABC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠DBH∠ABC＝30°， ∵∠DHA＝90°， ∴DHBD6＝3， ∴点D到AB的距离为3． 故答案为：3． 13．（2025春•柳林县期末）如图1，乳钉纹方鼎是商代的铜鼎，现收藏于山西省博物馆，通高82cm，口边长为50cm的正方形ABCD（图2），O为对角线的交点，则AO＝ 　　 cm．（结果保留根号） 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为50cm， ∴AB＝BC＝50cm，∠ABC＝90°，AOAC， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC（cm）， ∴AOAC（cm）． 故答案为：． 14．（2025春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E在AD上，且AE＝5，点P在对角线AC上，作点A关于PE的对称点F，当点F恰好落在矩形ABCD的边上时，AF的长为 　2或4　 ． 【解答】解：如图，连接CE， ∵点A关于PE的对称点F， ∴AE＝EF＝5， ∵AE＝5，AD＝8，CD＝4， ∴DE＝3，AC4， ∴EC5， ∴点F与点C重合， ∴AF＝AC＝4， 当点F在BC上时，如图，过点F作FH⊥AD于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，∠B＝∠BAD＝90°， ∴四边形ABFH是矩形， ∴HF＝AB＝4，BF＝AH， ∴EH3， ∴AH＝2＝BF， ∴AF2， 故答案为：2或4． 15．（2025春•玉环市期末）如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，∠CBD＝20°，则∠AOB＝　40°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠ABC＝90°， ∵AOBD， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∵∠CBD＝20°， ∴∠ABO＝∠OAB＝90°﹣20°＝70°， ∴∠AOB＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 故答案为：40°． 16．（2025春•连山区期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝11．连接对角线AC，点E，点F分别为射线AB，射线AC上一动点，连接DF，EF．当∠ADF+∠AEF＝180°，BE＝7时，AF的长为　或　 ． 【解答】解：①当点E位于线段AB上时，如图中E1，过点F1作F1G⊥AD交AD于点G，过点F1作F1H⊥AB交AB于点H， 则∠F1GD＝∠F1HE1＝90°， 由条件可知AC平分∠DAB，∠DAB＝60°， ∴∠CAB＝30°，F1G＝F1H，∠GF1H＝120°， 则Rt△AF1G≌Rt△AF1H（HL）， 则AG＝AH， 由条件可知∠GF1E1＝120°， ∴∠E1F1H＝∠GF1D， 则△E1F1H≌△DF1G（ASA）， ∴F1H＝GF1，E1H＝GD， 设F1H＝x，则AF1＝2x，， ∵AB＝11，BE＝7， ∴AE1＝4，， ∴， 解得， 则； ②当点E位于射线AB的延长线上时，如图中E2，过点F2作F2M⊥AD交AD于点M，过点F2作F2N⊥AB交AB于点N， 同理可证AN＝AM，△E2F2N≌△DF2M（ASA）， ∴F2N＝MF2，E2N＝MD， 设F2N＝x，则AF2＝2x，， 由条件可知AE2＝18，， ∴，解得， 则； 故答案为：或． 三．解答题（共7小题） 17．（2025•汉川市模拟）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点，使CF＝BE，连接DF．求证：四边形AEFD是矩形． 【解答】证明：∵CF＝BE， ∴CF+EC＝BE+EC． 即 EF＝BC． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD∥EF，AD＝EF． ∴四边形AEFD是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°． ∴平行四边形AEFD是矩形． 18．（2025春•利津县月考）如图，在菱形ABCD中，M为CD的中点，AM的延长线与BC的延长线交于点E，F为DC延长线上一点，且CF＝CD． （1）求证：△CME≌△DMA； （2）试判断四边形BDEF的形状，并证明你的结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠ECM＝∠ADM， ∵M为CD的中点， ∴CM＝DM， 在△CME和△DMA中， ， ∴△CME≌△DMA（ASA）； （2）解：四边形BDEF是矩形，证明如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC＝CD， 由（1）可知，△CME≌△DMA， ∴CE＝AD， ∴CE＝BC， ∵CF＝CD， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵CD＝BC， ∴DF＝BE， ∴平行四边形BDEF是矩形． 19．（2025•织金县三模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF． （1）求证：四边形BCEF是菱形； （2）若CE＝2，BC＝3，求菱形BCFE的面积． 【解答】（1）证明：在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC，BC＝2DE， ∵BE＝2DE， ∴BC＝BE， ∵BE＝EF， ∴BC＝EF， ∵DE∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形， ∵BE＝FE， ∴四边形BCFE是菱形； （2）解：连接BF，交CE于O， ∵四边形BCFE是菱形， ∴BF⊥CE，OECE＝1，OB＝OF，BE＝BC＝3， ∴∠BOE＝90°， 在Rt△BOE中，由勾股定理得：OB， ∴BF＝2OB＝4， ∴S菱形BCFEBF•CE42＝4， ∴菱形BCFE的面积为． 20．（2025春•靖江市校级月考）如图，四边形AECF是菱形，对角线AC、EF交于点O，点D、B是对角线EF所在直线上两点，且DE＝BF，连接AD、AB、CD、CB，∠ADO＝45°． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）若正方形ABCD的面积为32，BF＝1，求点F到线段AE的距离． 【解答】（1）证明：∵菱形AECF的对角线AC和EF交于点O， ∴AC⊥EF，OA＝OC，OE＝OF， ∵DE＝BF， ∴BO＝DO， 又∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∵∠ADO＝45°， ∴∠DAO＝∠ADO＝45°， ∵AO＝DO， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形． （2）解：∵正方形ABCD的面积为32， ∴， ∴， ∴BO＝DO＝CO＝AO＝4， ∴AC＝2AO＝8， ∵BF＝1， ∴OF＝BO﹣BF＝4﹣1＝3， ∵四边形AFCE是菱形， ∴EF＝2OE＝2OF＝6，AC⊥EF， ∴菱形AFCE的面积， 在Rt△AOE中， ， 设点F到线段AE的距离为h， ∴菱形AFCE的面积＝AE•h＝24， 即5h＝24， ∴， ∴即点F到线段AE的距离为． 21．（2025春•献县校级月考）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，AB＝3，CE＝5． （1）若AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线，求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是矩形，且周长为12，求平行四边形ABCD的面积； （3）若四边形AECF是菱形，且平行四边形ABCD的周长是整数，直接写出最大周长． 【解答】（1）证明：如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD， ∴∠BEA＝∠FAE，AF∥CE， ∵AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线， ∴∠FAE∠BAD，∠ECF∠BCD， ∴∠FAE＝∠ECF， ∴∠BEA＝∠ECF， ∴AE∥CF， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是矩形时，如图2所示： ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵四边形AECF周长为12， ∴2（AE+EC）＝12， ∵CE＝5， ∴AE＝1， 在Rt△ABE中，AB＝3， 由勾股定理得：BE， ∴BC＝BE+CE， ∴平行四边形ABCD的面积为：BC•AE； （3）若四边形AECF是菱形时，如图3所示： ∴AE＝AF＝CF＝CE＝5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴AD﹣AF＝BC﹣CE， ∴BE＝DF， ∴AD＝BC＝BE+5， ∴AB＝3， ∴平行四边形ABCD的周长是：2（AB+BC）＝2（3+BE+5）＝2BE+16， ∴当BE为最大时，平行四边形ABCD的周长为最大， 在△ABE中，AB＝3，AE＝5， 根据三角形三边之间的关系得：AE﹣AB＜BE＜AE+AB， ∴2＜BE＜8， ∵平行四边形ABCD的周长是整数， ∴BE必为整数， ∴BE的最大值为7， 平行四边形ABCD周长的最大值为：2BE+16＝30． 22．（2025春•文登区期末）如图1，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，连接OE并延长，过点A作AF∥OD，交OE的延长线于点F，连接FD． （1）判断四边形AODF的形状，并说明理由； （2）如图2，连接BE，若∠BAD＝120°，AB＝4，求BE的长． 【解答】解：（1）四边形AODF是矩形， 理由：∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥OD， ∴∠AFE＝∠DOE， 在△AEF和△DEO中， ， ∴△AEF≌△DEO（AAS）， ∴FE＝OE， ∴四边形AODF是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝90°， ∴四边形AODF是矩形． （2）如图2，作EH⊥BD于点H，则∠BHE＝90°， ∵AB＝AD＝4，∠BAD＝120°， ∴∠ABD＝∠ADB（180°﹣120°）＝30°， ∵∠AOB＝90°， ∴OAAB＝2， ∴OB2， ∵AE＝DE，BO＝DO， ∴EO∥AB，EOAB＝2， ∴∠EOH＝∠ABD＝30°， ∴EHEO＝1， ∴OH， ∴BH＝OB+OH＝23， ∴BE2， ∴BE的长是2． 23．（2025春•市南区期末）如图①，在等边△ABC中，AB＝5，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，你能求出线段MN长度的最小值吗？ 思路分析：过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．这样就把求线段MN的最小值转化成求线段CP的最小值． 问题解决： （1）求∠CAP的度数； （2）则线段MN的最小值为 　　 ． 应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，图④是它的示意图，已知△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是长方形，AB＝AC＝CD＝4米，∠ACB＝30°，MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN，钢丝绳MN长度的最小值为 　　 米． 【解答】解：（1）过点M作ME∥BC交AB于点E，过点C作CP∥MN交EM的延长线于点P，作射线AP，过点C作CH⊥AP于点H，如图②所示： ∵△ABC是等边三角形，AB＝5， ∴AB＝BC＝AC＝5，∠ACB＝60°， ∵ME∥BC， ∴∠AME＝∠ACB＝60°， ∴∠AMP＝180°﹣∠AME＝120°， ∵PM∥BC，CP∥MN， ∴四边形MNCP是平行四边形， ∴MN＝CP，MP＝CN， ∵AM＝CN， ∴AM＝MP， ∴∠CAP＝∠MPA， 在△AMP中，∠CAP+∠MPA+∠AMP＝180°， ∴2∠CAP+120°＝180°， ∴∠CAP＝30°； （2）∵CH⊥AP于点H， ∴△ACP是直角三角形， 在Rt△ACH中，∠CAP＝30°，AC＝5， ∴CHAC， 由（1）可知：MN＝CP， ∴当PC最小时，MN为最小， ∵点P在射线AP上运动，根据“垂线段最短”得：当CP⊥AP时，CP为最小， ∴当点P与点H重合时，CP为最小，最小值是线段CH的长， ∴CP的最小值是， ∴线段MN的最小值为， 故答案为：； 应用：连接AD，过点A作AR⊥DE于点R，交BC于点T，过点M作MF∥BC交AB于点F，过点D作DQ∥MN交FM的延长线于点Q，作射线AQ，过点D作DK⊥AQ于点K，如图④所示： ∵∠ACB＝30°， ∴∠AMF＝∠ACB＝30°， ∴∠AMQ＝180°﹣∠AMF＝150°， ∵MF∥BC，DQ∥MN， ∴四边形MNDQ是平行四边形， ∴MN＝DQ，KM＝DN， ∵AM＝DN， ∴AM＝KM， ∴∠MAQ＝∠MQA（180°﹣∠AMQ）（180°﹣150°）＝15°， ∵MN＝DQ， ∴当DQ最小时，MN为最小， ∵点Q在射线AQ上，根据“垂线段最短”得：当DQ⊥AQ时，DQ为最小， ∴当点Q与点K重合时，DQ为最小，最小值是线段DK的长， ∴MN的最小值是线段DK的长， 在矩形BCDE中，CD＝4米，∠BCD＝∠EDC＝90°， ∴AR⊥DE于点R， ∴∠ARD＝∠BCD＝∠EDC＝90°， ∴四边形TRDC是矩形， ∴TR＝CD＝4米，DR＝CT，∠RTC＝90°， 在Rt△ABT中，AC＝4米，∠ACB＝30°， ∴ATAC＝2米， 由勾股定理得：CT（米）， ∴DR＝CT（米）， 在Rt△ARD中，AR＝AT+TR＝2+4＝6（米）， 由勾股定理得：AD（米）， ∵∠ACB＝30°，∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝120°， ∵AC＝CD＝4米， ∴∠CAD＝∠CDA（180°﹣∠ACD）（180°﹣120°）＝30°， ∴∠KAD＝∠MAQ+∠CAD＝15°+30°＝45°， ∵DK⊥AQ， ∴△AKD是等腰直角三角形， ∴DK＝AK， 由勾股定理得：ADDK， ∴DKAD（米）． ∴MN的最小值是米． 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$