函数与方程思想讲义-2025届高三数学二轮复习

思想方法之函数与方程思想 函数与方程思想是高中数学的核心思想之一，贯穿于整个高中数学学习过程。它不仅是解决数学问题的工具，更是理解数学本质的关键。 核心：将问题转化为函数关系或方程组来求解。 1.函数思想:就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的变化数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图像和性质，使问题获解. 2.方程思想:就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论，从而使问题获解， 3.函数思想与方程思想是密切相关的如: (1)如解方程f(z)=0,就是求函数y=f(x)的零点;(2)解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)-g(x)的解的问题可以转化为函数y=f(x)与y= g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)- g(x)与x轴的交点问题等; 应用： · 利用函数性质（单调性、奇偶性、周期性）分析问题。 · 通过建立方程（如解析几何中的直线、圆方程）或方程组解决实际问题。 举例：求最值、解应用题、数列通项公式的推导。 【应用一】方程有解与参数范围 在函数“零点个数”问题中，经常通过对问题在代数意义与几何意义之间的转化存在相对简便的解题方法，比如含参数方程的根的个数问题中，对于非一元一次或一元二次方程，直接研究方程本身存在一定难度，或者需要对参数进行分类讨论，比较繁琐，但通过“参变分离”，可以将问题转化为一条动直线与一个确定函数的图像交点问题，就可以避免分类讨论，使得问题更易解决。又比如，在研究两个图像的交点个数问题中，两个函数的图像不易绘制，也可以通过将问题转化为方程的根的个数问题后重新拆分结构，再转化为两个容易绘制图像的函数的交点个数问题进行解决。 例1.已知函数,若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的范围是_______ 【答案】( 【分析】由题意可得的图像与有两个不同的交点，如图所示 故实数k的范围是(. 【应用二】不等式中的函数（方程）方法 在解决含参数不等式恒成立（或有解）问题时，可以通过“参变分离”将不等式变形，转化为参数>或<（）函数最小值（最大值）问题解决，避免对参数的分类讨论，使问题简化。对于不能完全进行“参变分离”的不等式而言，也可以通过局部构造函数转化为两个函数图像高低问题来解决不等式。 例2.若存在至少一个x(x0)使得关于x的不等式成立，则实数m的取值范围为( ) A.[-4,5] B.[-5,5] C.[4,5] D.[-5,4] 【答案】A 【分析】不等式可化为， 若对任意x都有， 作函数y=的图像如下， 由图可知，当m>5或m<-4时，对任意x都有 故实数m的取值范围为[-4,5]. 【应用三】函数方程思想在数列中的应用 数列问题中，经常遇到需要研究数列通项或前n项和的最值问题，通过利用函数思想求解最值可以使问题更易解决，尤其对于非等差等比数列而言，这种方法的优势就更加突出。但需要注意的是，在数列问题中构建关于n的函数时，需要注意到n的正整数性，避免在求解最值时出现失误。 例3.已知数列的通项为[-1]，下列正确的是（ ） A. 最大项为0，最小项为－ B. 最大项为0，最小项不存在 C. 最大项为，最小项不存在 D. 最大项为0，最小项为 【答案】A 【分析】令t=，则=f(t)=t(t-1)，0<t对称轴t=， 由复合函数的单调性可知，数列先增后减， 又n为整数，则n=3时，取到最小项为－，n=1时，取到最大项为0. 故选A. 【应用四】函数与方程思想在几何问题中的应用 几何中的最值是高考中的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值（范围）的基本方法。 例4.在平面直角坐标系xOy中，动点P到((这两点的距离之和为4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点。 （1） 求曲线C的方程； （2） △AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由。 【答案】+ 存在最大值为 【分析】(1)由椭圆定义可知，P的轨迹是以((为焦点的椭圆，a=2，b=1，故曲线C的方程为 . (2) △AOB的面积存在最大值. 因为直线l过点E(-1,0),由题意可设直线l的方程为x=my-1或y=0（舍去）. 由整理得 设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>y2,则y1=,y2=,则|y2－y1|=. S△AOB=|OE||y2－y1|==. 设g(t)=+,其中t=,t, 则g(t)在区间[,+∞)上为增函数，所以g(t). 所以S△AOB,当且仅当m=0时取等号,即(S△AOB)max=. 所以△AOB的面积的最大值为。 【应用五】函数方程思想在多元函数最值（范围）问题中的应用 在多元函数最值（范围）问题中，解决思路比较多，例如可以考虑通过基本不等式、消元法研究，若问题为求双元一次函数的最值（范围），则也可以通过考虑将问题整体设为参数，反向消元使条件转化为一个关于含参数的方程有解问题进行解决，但需要注意变量区间，避免对结果判断失误。 例5.已知x>0,y>0,x+y+xy=1,求2x+y的范围。 【答案】2x+y∈(1,+∞) 【分析】令t=2x+y,∵x>0,y>0,∴t>0. 则y=t-2x,将其代入x+y+xy=1中，得x+t-2x+x(t-2x)=1,整理得-2x2+(t-1)x+t-1=0,则该方程需要在x∈(0,+∞)有解即可. 问题等价为t=在x∈(0,+∞)有解，令u=x+1,则u>1, t====∈(1,+∞), 故2x+y∈(1,+∞). 【综合练习】 1.函数f(x)=2x|cosx|−x的零点个数为________． 2.（多选题）已知函数f(x)=x3−|3x2−3|−m，则（ ） A.f(x)只有1个极小值点 B.曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线斜率为9 C.当f(x)有3个零点时，m的取值范围为(−3,1) D.当f(x)只有1个零点时，m取值范围为(−∞,−3]∪[1,+∞) 3. 已知函数,则函数 的零点个数是（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 4.当x⩾1时，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A.(,+∞) B.(1,+∞) C.(e,+∞) D.(,+∞) 5.已知函数f(x)=∣x−a∣+，若不等式f(x)⩾2在x∈[1,2]上恒成立，则参数a的取值范围是（ ） A.[1,3] B.(−∞,1]∪[3.+∞) C.[−2,3] D.(−∞,−2]∪[3,+∞) 6.已知函数f(x)=−a(x++1)，若f(x)⩾0恒成立，则正数a的取值范围是______. 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N∗，均有S5<Sn成立，则的值的取值范围是（ ） A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(−∞,−3)∪[3,+∞) D.(−∞,−3]∪[3,+∞) 8.已知数列是单调递减数列，则λ的取值范围为（ ） A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[0,+∞) 9.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率e=，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为k的直线交椭圆于A，B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)若k=1，求∣AB∣的最大值； 10.已知椭圆E:(a>b>0)a>b>0)，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，∣PF∣=，R是直线y=2上一动点，∣PR∣的最小值为1． (1)求E的方程; (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求△RMN面积的取值范围． 11.若正实数x，y满足+=1，设z=(x2+y2)−20(lnx+lny)﹐则z的最小值为________. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 思想方法之函数与方程思想 函数与方程思想是高中数学的核心思想之一，贯穿于整个高中数学学习过程。它不仅是解决数学问题的工具，更是理解数学本质的关键。 核心：将问题转化为函数关系或方程组来求解。 1.函数思想:就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的变化数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图像和性质，使问题获解. 2.方程思想:就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论，从而使问题获解， 3.函数思想与方程思想是密切相关的如: (1)如解方程f(z)=0,就是求函数y=f(x)的零点;(2)解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)-g(x)的解的问题可以转化为函数y=f(x)与y= g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)- g(x)与x轴的交点问题等; 应用： · 利用函数性质（单调性、奇偶性、周期性）分析问题。 · 通过建立方程（如解析几何中的直线、圆方程）或方程组解决实际问题。 举例：求最值、解应用题、数列通项公式的推导。 【应用一】方程有解与参数范围 在函数“零点个数”问题中，经常通过对问题在代数意义与几何意义之间的转化存在相对简便的解题方法，比如含参数方程的根的个数问题中，对于非一元一次或一元二次方程，直接研究方程本身存在一定难度，或者需要对参数进行分类讨论，比较繁琐，但通过“参变分离”，可以将问题转化为一条动直线与一个确定函数的图像交点问题，就可以避免分类讨论，使得问题更易解决。又比如，在研究两个图像的交点个数问题中，两个函数的图像不易绘制，也可以通过将问题转化为方程的根的个数问题后重新拆分结构，再转化为两个容易绘制图像的函数的交点个数问题进行解决。 例1.已知函数,若函数g(x)=f(x)-k有两个不同的零点，则实数k的范围是_______ 【答案】( 【分析】由题意可得的图像与有两个不同的交点，如图所示 故实数k的范围是(. 【应用二】不等式中的函数（方程）方法 在解决含参数不等式恒成立（或有解）问题时，可以通过“参变分离”将不等式变形，转化为参数>或<（）函数最小值（最大值）问题解决，避免对参数的分类讨论，使问题简化。对于不能完全进行“参变分离”的不等式而言，也可以通过局部构造函数转化为两个函数图像高低问题来解决不等式。 例2.若存在至少一个x(x0)使得关于x的不等式成立，则实数m的取值范围为( ) A.[-4,5] B.[-5,5] C.[4,5] D.[-5,4] 【答案】A 【分析】不等式可化为， 若对任意x都有， 作函数y=的图像如下， 由图可知，当m>5或m<-4时，对任意x都有 故实数m的取值范围为[-4,5]. 【应用三】函数方程思想在数列中的应用 数列问题中，经常遇到需要研究数列通项或前n项和的最值问题，通过利用函数思想求解最值可以使问题更易解决，尤其对于非等差等比数列而言，这种方法的优势就更加突出。但需要注意的是，在数列问题中构建关于n的函数时，需要注意到n的正整数性，避免在求解最值时出现失误。 例3.已知数列的通项为[-1]，下列正确的是（ ） A. 最大项为0，最小项为－ B. 最大项为0，最小项不存在 C. 最大项为，最小项不存在 D. 最大项为0，最小项为 【答案】A 【分析】令t=，则=f(t)=t(t-1)，0<t对称轴t=， 由复合函数的单调性可知，数列先增后减， 又n为整数，则n=3时，取到最小项为－，n=1时，取到最大项为0. 故选A. 【应用四】函数与方程思想在几何问题中的应用 几何中的最值是高考中的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值（范围）的基本方法。 例4.在平面直角坐标系xOy中，动点P到((这两点的距离之和为4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(-1,0)且与曲线C交于A,B两点。 （1） 求曲线C的方程； （2） △AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由。 【答案】+ 存在最大值为 【分析】(1)由椭圆定义可知，P的轨迹是以((为焦点的椭圆，a=2，b=1，故曲线C的方程为 . (2) △AOB的面积存在最大值. 因为直线l过点E(-1,0),由题意可设直线l的方程为x=my-1或y=0（舍去）. 由整理得 设A(x1,y1),B(x2,y2),y1>y2,则y1=,y2=,则|y2－y1|=. S△AOB=|OE||y2－y1|==. 设g(t)=+,其中t=,t, 则g(t)在区间[,+∞)上为增函数，所以g(t). 所以S△AOB,当且仅当m=0时取等号,即(S△AOB)max=. 所以△AOB的面积的最大值为。 【应用五】函数方程思想在多元函数最值（范围）问题中的应用 在多元函数最值（范围）问题中，解决思路比较多，例如可以考虑通过基本不等式、消元法研究，若问题为求双元一次函数的最值（范围），则也可以通过考虑将问题整体设为参数，反向消元使条件转化为一个关于含参数的方程有解问题进行解决，但需要注意变量区间，避免对结果判断失误。 例5.已知x>0,y>0,x+y+xy=1,求2x+y的范围。 【答案】2x+y∈(1,+∞) 【分析】令t=2x+y,∵x>0,y>0,∴t>0. 则y=t-2x,将其代入x+y+xy=1中，得x+t-2x+x(t-2x)=1,整理得-2x2+(t-1)x+t-1=0,则该方程需要在x∈(0,+∞)有解即可. 问题等价为t=在x∈(0,+∞)有解，令u=x+1,则u>1, t====∈(1,+∞), 故2x+y∈(1,+∞). 【综合练习】 1.函数f(x)=2x|cosx|−x的零点个数为________． 【答案】4 【解析】令f(x)=0，得x=0或2|cosx|=​． 设y1=2|cosx|，y2=，在平面直角坐标系中先画出y=2cosx的图象， 保留x轴上方的部分图象并把x轴下方的图象向上翻折即得y1=2|cosx|的图象， 再作出y2=的图象，如图所示，由图可知两者共有3个交点. 综上所述，函数f(x)共有4个零点． 故答案为：4. 2.（多选题）已知函数f(x)=x3−|3x2−3|−m，则（ ） A.f(x)只有1个极小值点 B.曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线斜率为9 C.当f(x)有3个零点时，m的取值范围为(−3,1) D.当f(x)只有1个零点时，m取值范围为(−∞,−3]∪[1,+∞) 【答案】BC 【解析】由3x2−3⩾0得x⩾1或x⩽−1；由3x2−3<0得−1<x<1. 当x⩾1或x⩽−1时，f(x)=x3−3x2+3−m，则f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)， ∴当x>2或x⩽−1时f′(x)>0，当1⩽x<2时f′(x)<0， ∴f(x)在(−∞,−1]，(2,+∞)上单调递增，在[1,2)上单调递减. 当−1<x<1时f(x)=x3+3x2−3−m，则f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)， ∴当0<x<1时f′(x)>0，当−1<x<0时f′(x)<0， ∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(−1,0)上单调递减. 综上得，f(x)在x=0，x=2处取得极小值，故f(x)有2个极小值点，故A错误. ∵f′(3)=3×32−6×3=9，∴曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线斜率为9，故B正确. 由f(x)=0得x3−|3x2−3|=m，函数f(x)的零点个数问题转化为函数g(x)=x3−|3x2−3|的图象与直线y=m的交点个数问题. 根据函数f(x)单调性分析，作出函数g(x)=x3−|3x2−3|的图象，如图所示， 由图1可得，当函数g(x)=x3−|3x2−3|的图象与直线y=m有3个交点时，m的取值范围为(−3,1)，故C正确. 由图2可得，当函数g(x)=x3−|3x2−3|的图象与直线y=m有1个交点时，m的取值范围为(−∞,−3)∪(1,+∞)，故D错误． 故选：BC. 3. 已知函数,则函数 的零点个数是（ ） A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】B 【分析】作出函数的图像如图所示. 当y=0时，=y只有一个根， 当y时，=y有两个根， 当y时，=y有三个根， 当y>2时，=y有两个根， 令t=f(x),的零点即为=的根， 作出两函数=，可知两函数有交点t1,t2,0<t1<1,1<t2<2, 所以函数的零点个数是5个. 故选B. 4.当x⩾1时，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是（ ） A.(,+∞) B.(1,+∞) C.(e,+∞) D.(,+∞) 【答案】D 【分析】由得−>−1， 即−>x−x=−， 令(x⩾1)，则>0， 所以f(x)在[1,+∞)上单调递增， 由−>−， 可得f(ax)>f()，ax>，即a>x在x⩾1时恒成立， 令g(x)=(x⩾1)，则g′(x)=，令g′(x)=0得x=e， 当1⩽x<e时g′(x)>0，g(x)单调递增， 当x>e时g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)⩽g(e)==，所以a>​. 故选：D. 5.已知函数f(x)=∣x−a∣+，若不等式f(x)⩾2在x∈[1,2]上恒成立，则参数a的取值范围是（ ） A.[1,3] B.(−∞,1]∪[3.+∞) C.[−2,3] D.(−∞,−2]∪[3,+∞) 【答案】D 【分析】由∣x−a∣+⩾2，x∈[1,2]，得∣x−a∣⩾2−， 如图，作h(x)=∣x−a∣和g(x)=2−在x∈[1,2]上的图象， 由题意，h(x)=∣x−a∣的图象在g(x)=2−图象上方， h(x)=∣x−a∣随a值移动， ①当h(x)图象在g(x)图象左侧，h(x)移动到与g(x)相切时， 设h(x)=x−a与g(x)=2−相切，g′(x)=， 设切点为(x0,x0−a)， 则​​ 且由图象x0>0，所以x0=，a=2−2， 结合图象，a⩽2−2． ②当f(x)图象g(x)在图象右侧，若f(x)与g(x)相交于点(2,1)，f(2)=a−2=1， 得a=3，结合图象，a⩾3， 综上，a∈(−∞,2−2]∪[3,+∞). 故选：D． 6.已知函数f(x)=−a(x++1)，若f(x)⩾0恒成立，则正数a的取值范围是______. 【答案】(0,1] 【分析】函数f(x)=−a(x++1)的定义域为(0,+∞)， 由f(x)⩾0可得⩾a(x++1)，即⩾在(0,+∞)上恒成立. 设g(x)=，则g′(x)=，设h(x)=x+，显然h(x)在(0,+∞)上单调递增， 因h(1)=1>0,h()=−1<0，故存在x0∈(,1)，使得h(x0)=x0+lnx0=0，则=x0，即x0=1. 当x∈(0,x0)时，g′(x)>0，则g(x)在(0,x0)上递增；当x∈(x0,+∞)时，g′(x)<0，则g(x)在(x0,+∞)上递减. 故当x=x0时，g(x)max=g(x0)==1，故有⩾1， 即得0<a⩽1，故正数a的取值范围是(0,1]. 故答案为：(0,1]. 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N∗，均有S5<Sn成立，则的值的取值范围是（ ） A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(−∞,−3)∪[3,+∞) D.(−∞,−3]∪[3,+∞) 【答案】B 【解析】由题意知S5是等差数列{an}的前n项和中的最小值，必有a1<0，公差d>0， 若a5=0，此时S4=S5，S4，S5是等差数列{an}的前n项和中的最小值， 此时a5=a1+4d=0，即a1=−4d，则===3； 若a5<0，a6>0，此时S5是等差数列{an}的前n项和中的最小值， 此时a5=a1+4d<0，a6=a1+5d>0，即−5<<−4， 则===1+∈(3,+∞)， 综上可得：的取值范围是[3,+∞)， 故选:B． 8.已知数列是单调递减数列，则λ的取值范围为（ ） A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[0,+∞) 【答案】A 【分析】因为数列是单调递减数列, 故>,即2n+λ>n+1+λ, 可得λ>1-n,而n∈N+, 故λ>0. 故选A. 9.已知椭圆C:(a>b>0)的离心率e=，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为k的直线交椭圆于A，B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)若k=1，求∣AB∣的最大值； 【答案】(1);(2) 【分析】(1)因为e==，所以=， 又连接四个顶点所得菱形的面积为⋅2a⋅2b=4，可得ab=2， 解得a=2，b=1，所以椭圆方程为. (2)如图所示： 设直线AB的方程为：y=x+m，A(x1,y1)，B(x2,y2) 联立，可得：5x2+8mx+4m2−4=0，则Δ=16(5−m2)>0⇒−<m<， 由韦达定理可得：x1+x2=−，x1x2=， 由弦长公式可得：∣AB∣=∣x1-x2∣==​ 当m=0时，∣AB∣取得最大值. 10.已知椭圆E:(a>b>0)a>b>0)，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，∣PF∣=，R是直线y=2上一动点，∣PR∣的最小值为1． (1)求E的方程; (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求△RMN面积的取值范围． 【答案】(1);(2)[,+∞) 【分析】设点F(c,0)(c>0)， 当直线PF与x轴垂直时，点P(c,)，则 因为∣PR∣的最小值为2−b=1，所以b=1， 又由a2=b2+c2， 可解得a=2，c=3， 故E的方程为． （2）如图， 设点M(m,0)，N(n,0)，R(t,2)，注意到RM，RN斜率不为0， 设RM:x=y+m，RN:x=y+n， 联立，得[16+(t−m)2]y2+4(t−m)my+4(m2−4)=0， 因为RM与E相切，所以Δ=[4(t−m)m]2−4[16+(t−m)2]⋅4(m2−4)=0， 于是16(t−m)2m2−16[16+(t−m)2](m2−4)=0， 化简得3m2+2tm−t2−16=0， 又RN与E相切，同理有3n2+2tn−t2−16=0， 故m，n是一元二次方程3x2+2tx−t2−16=0的两根， 则m+n=−，mn=−， 所以∣MN∣=∣m−n∣===， 又t2⩾0，所以S△RMN=∣MN∣⋅2=⩾=， 所以△RMN面积的取值范围为[,+∞)． 11.若正实数x，y满足+=1，设z=(x2+y2)−20(lnx+lny)﹐则z的最小值为________. 【答案】−20ln5 【分析】因为x，y为正实数，且+=1， 所以x+y=xy，且x+y=+=1(x+y)=2++⩾2+2=4（当且仅当x=y=2时取“=”）. 又因为z=(x2+y2)−20(lnx+lny)=−xy−20ln(xy)=−(x+y)−20ln(x+y). 设函数f(x)=x2−x−20lnx(x⩾4).问题转化为求函数f(x)的最小值. 因为f′(x)=x−1−=， 由f′(x)>0⇒x2−x−20>0⇒(x+4)(x−5)>0，又x⩾4，所以x>5； 由f(x)<0⇒4⩽x<5. 所以函数f(x)在[4,5)上单调递减，在(5,+∞)上单调递增. 所以f(x)的最小值为：f(5)=−5−20ln5=−20ln5. 故答案为：−20ln5. 学科网（北京）股份有限公司 $$