1.4.1充分条件与必要条件同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.1　充分条件与必要条件（同步练习） 一、选择题 1.使x>3成立的一个充分条件是(　　) A.x>4　 B.x>0 C.x>2 D.x<2 2.若p是q的充分条件，则q是p的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 3.下列“若p，则q”形式的命题中，满足p是q的充分条件的是(　　) A.若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB B.若x是无理数，则x2也是无理数 C.若x>y，则x2>y2 D.若x2>y2，则x>y 4.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(　　 ) A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 D.无法判断 5.x＝－1是|x|＝1的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 6.“a<0，b<0”的一个必要条件为(　 ) A.a＋b<0 B.a＋b>0 C.>1 D.<－1 7.(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：a是无理数，q：a2是无理数 B.p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C.p：x>2，q：x≥1 D.p：a>b，q：ac2>bc2 8.(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有(　　) A.若x，y是偶数，则x＋y是偶数 B.若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根 C.若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 D.若ab＝0，则a＝0 9.(多选)对任意实数a，b，c，给出下列命题，其中为真命题的是(　　) A.“a＝b”是“ac＝bc”的必要条件 B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 C.“a<5”是“a<3”的必要条件 D.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充分条件 二、填空题 10.若“x<－1”是“x≤a”的必要条件，则a的取值范围是________ 11.下列说法正确的是________．(只填序号) ①“x>5”是“x>4”的充分条件；②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件； ③“－2<x<2”是“x<2”的充分条件． 12.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的一个充分条件是________ 13.已知条件p：2k－1≤x≤1－k，q：－3≤x＜3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为________ 三、解答题 14.判断下列命题的真假． (1)若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形； (2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数； (3)等腰三角形的底角相等； (4)矩形的对角线相等． 15.(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？ (2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？ 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 解析：∵x>4⇒x>3，∴x>4是x>3成立的一个充分条件． 2.B　解析：因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．故选B． 3.A　解析：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，故A满足题意；若x＝，则x2＝2，故B不满足题意；若x＝－1，y＝－2，则满足x>y，但x2<y2，故C不满足题意；若x＝－2，y＝1，则满足x2>y2，但x<y，故D不满足题意． 4.A　解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．故选A． 5.A 解析：当x＝－1时，可得|x|＝1，当|x|＝1，不一定有x＝－1成立，所以x＝－1是|x|＝1的充分条件． 6.A 解析：对于A，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，即a＋b<0是“a<0，b<0”的必要条件，A正确；对于B，当a<0，b<0时，a＋b>0不可能成立，B不正确；对于C，当a<0，b<0时，>1不一定成立，如a＝－1，b＝－2满足条件，而<1，C不正确；对于D，当a<0，b<0时，必有>0成立，即不能推出<－1，D不正确．故选A. 7.BC 解析：A中，a＝是无理数，a2＝2是有理数，所以p不是q的充分条件；B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件；D中，当c＝0时ac2＝bc2，所以p不是q的充分条件． 8.BCD　解析：对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以都是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(－2)2－4a≥0，即a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；对于C，因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，所以符合题意．故选BCD． 9.CD　解析：A：当a＝3，b＝2，c＝0时，显然ac＝bc成立，但推不出a＝b，因此本选项不正确；B：当a＝3，b＝－4时，显然a>b，但是推不出a2>b2，因此本选项不正确；C：因为a<3⇒a<5，所以本选项正确；D：由a＋5是无理数能推出a是无理数，所以本选项正确．故选CD． 二、填空题 10.答案：a<－1　 解析：若“x<－1”是“x≤a”的必要条件，则{x|x≤a}⊆{x|x<－1}，则a<－1， 即实数a的取值范围是a<－1． 11.答案：①③　 解析：②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②错误；①③正确． 12.答案：k＝－1，b＝1(答案不唯一)　 解析：要使y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则k<0且b≥0，这是一个等价条件，而要写出一个充分条件，故可取k＝－1，b＝1．] 13.答案：{k|k≤－2} 解析：∵条件p：2k－1≤x≤1－k，q：－3≤x＜3，且p是q的必要条件，∴解得k≤－2.则实数k的取值范围是{k|k≤－2}． 三、解答题 14.解：(1)因为三角形的内角和为180°，所以一个三角形中有两个角互余，即这两个角的和为90°，那么第三个角为90°，所以这个三角形是直角三角形，该命题为真命题． (2)若一个整数的个位数字是0，则这个数是5的倍数，该命题为真命题． (3)根据等腰三角形的性质知等腰三角形的底角相等，该命题为真命题； (4)根据矩形的性质知矩形的对角线相等，该命题为真命题． 15.解：(1)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件， 则只要 ⊆{x|x<－1或x>3}， 即只需－≤－1，所以m≥2． 故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件． (2)欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆，这是不可能的． 故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$