精品解析：2025年黑龙江省佳木斯市富锦市第四中学中考数学四模试卷

2025年黑龙江省佳木斯市富锦四中中考数学四模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的除运算法则、积的乘方、乘法公式分别化简得出答案． 【详解】解：A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. ，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2. 下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A，B，D不是中心对称图形，C是中心对称图形， 故选C 3. 如图是由若干个相同的小正方体搭成一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图得出最底层小正方体的个数，根据主视图得出第二层最多有几个小正方体，即可得出答案． 【详解】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体所需的小正方体最多为个． 故选A． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是根据主视图判断出第二层最多有几个小正方体． 4. 我市某一周的每一天的最高气温统计如下表： 最高气温/℃ 25 26 27 28 天数 1 1 2 3 下列说法错误的是（ ） A. 众数是28 B. 平均数是26.5 C. 极差是3 D. 中位数是27 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数、平均数、极差、中位数的概念求解即可． 【详解】解：A、气温28℃次数最多，有3天，故众数是28，故该选项正确；不符合题意； B、平均数=，故该选项错误；符合题意； C、极差=28-25=3，该选项正确；不符合题意； D、因为有7个数，故中间数是27，所以中位数是27，故该选项正确；不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了众数、平均数、极差、中位数的概念，熟练掌握这些统计概念是解题的关键． 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染， 那么由题意可知1+x+x（1+x）=100， 整理得，x2+2x-99=0， 解得x=9或-11， x=-11不符合题意，舍去． 那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人． 故选：B． 【点睛】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，并可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，注意要舍去不合题意的解． 6. 已知关于的分式方程的解是负数，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解分式方程得出，根据方程的解为正数，分式有意义的条件得出且，即可求解． 【详解】解：， 即， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵的解为负数， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键． 7. 天天超市将99个桔子装进两种包装盒，大包装盒每个装12个桔子，小包装盒每个装5个桔子，那么包装方式有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】设大包装盒有x个，小包装盒有y个，列出二元一次方程，再求它的正整数解即可． 【详解】解：设大包装盒有x个，小包装盒有y个，根据题意列方程得，12x+5y＝99， 因为x、y为正整数，故满足题意的方程的解为或， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程整数解问题，解题关键是根据题意列出方程，准确求出符合题意的整数解． 8. 如图，平面直角坐标系中，矩形的面积为 24 ， 为的中点，直线 经过原点 ，双曲线 经过点 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由E是CD的中点，易证△ADE≌OCE ，且CE是△ABO的中位线，△ABO与△ECO面积比为4:1，由矩形ABCD的面积即可求出△ECO的面积，进一步求出m的值. 【详解】解：∵ E是CD的中点，∴ DE=CE， 且AD∥CO，∴∠D=∠ECO=90°，∠AED=∠OEC， ∴△ADE≌OCE ∴ ∴矩形ABCD的面积等于△ABO的面积 ∵ E是AO的中点，∴ EC是△ABO的中位线，且其面积比为1:4， ∴ △ECO的面积为6， ∴，∴ 故 故答案为：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线、反比例函数等知识点，将矩形的面积转化成△ABO的面积是解决本题的关键. 9. 如图，矩形中，，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可求BD，，从而得到QC，由勾股定理即可求解； 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴ ∵AB∥CD， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的相似、矩形的性质、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为6，E，F分别为上两点，且，作．交于点G，交于点H，连接．下列结论：①；②；③当时，的面积为6；④CH的最小值是．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】先证可得，再根据说明即可判定①；如图：延长到M，使,然后再证可得，进而说明是的垂直平分线可得，然后根据线段的和差和等量代换即可判定②；由结合可得,，然后运用勾股定理求得,进而得到，再根据三角形的面积公式计算即可判定③；如图：取的中点Q，连接，由直角三角形的性质和勾股定理可得、，再说明当Q、H、C三点共线时，有最小值，然后求解即可判定④． 【详解】解：∵正方形， ∴,， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴,即， ∴，即①正确； 如图：延长到M，使, ∵,,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴,即②正确； ∵， ∴， ∵， ∴,， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的面积为,即③正确； 如图：取的中点Q，连接， ∵， ∴， 在中，, 在中，，当Q、H、C三点共线时，有最小值，,即④错误． 则正确的有①②③． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 人的血管首尾相连的长度大约可达千米，千米用科学记数法表示为 ___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：千米米米． 故答案为：． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得出，解一元一次不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：要使函数有意义，需满足， 解得， 故答案为：． 13. 如图，已知，添加一个条件__________，使得． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． 结合题中，，根据两个三角形全等的判定定理添加条件即可得到答案． 【详解】解：，， 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 当时， 在和中， ， ； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：或或． 14. 在一个不透明的口袋里装有2个红球和3个白球，先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球，则2次摸到的球颜色不一样的概率为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图展示所有25种等可能的结果，再找出2次摸到的球颜色不一样的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有25种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不一样的结果数为12， 所以2次摸到的球颜色不一样的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 15. 若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 16. 如图，是的内接三角形，且，直径是8，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，可得，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接，， ， ， ， 是等腰直角三角形， 在中，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出． 17. 现有一圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【详解】解：圆锥的底面周长是：． 设圆锥底面圆的半径是，则． 解得：． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，垂足为D，P为线段上的一个动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在的外部作，作于F，交于P，此时最小，，根据，得，，即可得，则，在中，，，运用锐角三角函数即可得． 【详解】解：如图所示，在的外部作，作于F，交于P， 此时最小， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，线段的最小值，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线． 19. 在矩形中，，，点在边上．且，是射线上的一个动点．若是等腰直角三角形，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】如图1，当时，根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，，过作于，根据全等三角形的判定和性质定理，勾股定理即可得到结论；如图2，当时，根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，，过作于，根据全等三角形的判定和性质定理，勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图1，当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图2，当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 20. 如图，是直角边长为的等腰直角三角形，以等腰直角三角形的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，连接，得到；再以等腰直角三角形的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，连接，得到；再以等腰直角的斜边为直角边作第四个等腰直角三角形，连接，得到，记的面积分别为，，，如此下去，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出、、，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、规律型等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质与三角形面积的计算，找出规律是解题的关键． 【详解】解：是直角边长为的等腰直角三角形， ，，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， 同理可得：， ， ， 故． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简,再求值：，其中 【答案】, 【解析】 【分析】先将括号内的部分通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简结果；再根据特殊角三角函数求出x的值，代入化简结果求出值即可. 【详解】， 当时， 原式 【点睛】可不是考查了分式的化简和求值的应用。主要考查计算能力和化简能力，熟练掌握运算法则是解题的关键. 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2），B（5，5），C（1，1）均在格点上． （1）将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1； （3）在（2）的条件下，求△A1B1C1扫过的面积． 【答案】（1） 如图，△A1B1C1即为所求； （2） 如图，△A2B2C1即为所求； （3）8π﹣6 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1； （2）根据旋转的性质即可画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1； （3）根据扇形面积公式即可求△A1B1C1扫过的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵B1C12＝42+42＝32， ∴△A1B1C1扫过的面积＝扇形B1C1B2的面积-△A1B1C1的面积3×4＝8π﹣6． 【点睛】本题主要考查了画平移图形，画旋转图形，求图形扫过的面积等等，熟知相关知识是解题的关键． 23. 如图，抛物线经过点，与轴交于点与轴交于点， 且． （1）求抛物线的解析式; （2）直线交轴于点，将的面积分为的两部分，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出OC的长，根据得出点B坐标，再把A，B坐标代入二次函数关系式，求出a，b的值即可； （2）求出D点坐标，确定线段BD的三等分点即可得到点E的坐标. 【详解】把代入 得 把点的坐标代入 得 解得 抛物线的解析式 对于二次函数，当y=0时， 解得，， ∴点D的坐标为：（3，0） ∴BD=|3-(-1)| =4， ∵直线交轴于点，将的面积分为的两部分 ∴BE：ED=1:3或DE:EB=1:3 ∴点的坐标是或 【点睛】本题主要考查的是二次函数函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式. 24. 近年来佳木斯市旅游事业发展迅速，“大亮子河森林公园”“富锦国家湿地公园”“赫哲民族文化村”“大来岗达勒花海”等景区愈来愈为人们所知晓，在一次调查中，根据市民对这四个景区的了解情况，按答题分数分为比较熟悉；基本了解；略有知晓；知之甚少，四类进行统计，绘制了以下两幅统计图（不完整），请根据图中信息解答以下各题： （1）本次调查活动的样本容量是______； （2）补全条形统计图； （3）“略有知晓”类占扇形统计图的圆心角是______度？ （4）已知某小区有人，那么估计对这些景区“比较熟悉”的有多少人？ 【答案】（1） （2） 补全条形图如图所示： （3）144 （4）人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）由类别人数及其所占百分比可得样本容量； （2）用总人数乘以类别百分比求出其人数，再根据各类别人数之和等于总人数求出类别人数，从而补全条形图； （3）用乘以类别对应的百分比可得其圆心角度数，用类别人数除以总人数可得其所占百分比； （4）用总人数乘以样本中类别人数所占比例可得答案． 【小问1详解】 解：本次调查活动的样本容量是（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解类别人数为（人）， ∴类别人数为（人） 【小问3详解】 解：， ∴“略有知晓”类占扇形统计图的圆心角为， 故答案为：144； 【小问4详解】 解：对这些景区“比较熟悉”的人估计有（人）． 25. 在一条直线上的甲、乙两地相距240km，快、慢两车同时出发，快车从甲地驶向乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地；慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车1小时后，继续按原路原速驶向甲地．在两车行驶过程中，两车距甲地的距离与两车行驶时间之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： （1）直接写出快、慢两车的速度； （2）求慢车停车之后再次行驶时，与甲地的距离与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （3）直接写出两车出发多长时间后，相距60km？ 【答案】（1）， （2） （3）或或5h 【解析】 【分析】（1）根据图象，找出对应的时间与路程求得答案即可； （2）由题意可以求出慢车的速度就可以求出点B的坐标，由待定系数法求出BF的解析式即可； （3）由待定系数法求出求出直线OD和DE的解析式，再由一次函数与一元一次方程的关系建立方程就可以求出结论． 【小问1详解】 解：∵快车从甲地驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回到甲地， ∴快车8小时行驶480千米， ∴快车在行驶过程中的速度为∶480÷8=60(千米/时)． ∵慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车1小时后，继续按原速驶向甲地共用9小时， ∴慢车8小时行驶240千米， ∴慢车在行驶过程中的速度为∶240÷8=30(千米/时)； 【小问2详解】 解：如图，慢车从乙地驶向甲地，因故停车时距甲地210千米，所以慢车行驶了240-210=30（千米），故行驶时间为30÷30=1(小时)， ∴点B的坐标为(2，210) 设 ，代入点B(2，210)，F(9，0)，得 解得 ∴（2<x<9）． 【小问3详解】 解：设 ，代入点D(4，240)，F(8，0)，得 解得 ∴， 设 代入点D(4，240)，得： 240=4k ∴k=60 ∴直线OD的解析式为 由题意得： -30x+270-60x=±60 解得x=或x -60x+480-(-30x+270)=60， 解得x=5； 也就是当两车行驶小时或小时或5小时，两车相距60千米． 【点睛】此题考查一次函数的实际运用，利用待定系数法求得函数解析式，进一步利用行程问题的基本数量关系解决问题，正确识图，理清题意是解题的关键． 26. 在中，点在直线上，连接，交直线于点，交直线于点，过点作交直线于点．探究线段，，之间的数量关系． （1）当平分时，如图①，求证：． 探究如下：某同学思考这道题时，想通过三角形全等证明，进而再证明三角形全等，最终得出，请写出图①的证明过程； （2）当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图②；当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图③，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； （2）当点在的延长线上时，，当点在的延长线上时， 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先证明和全等得，根据得，进而可依据“”判定和全等得，则，然后根据即可得出结论； （2）当点在的延长线上时，先证明和全等得，根据得，进而可依据“”判定和全等得，则，然后根据即可得出，，之间的数量关系；当点在的延长线上时，先证明和全等得，根据得，由此可依据“”判定和全等得，则，然后根据即可得出，，之间的数量关系． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图②，当点在的延长线上时，，理由如下： 平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ； 如图③，当点在的延长线上时，，理由如下： 平分， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ． 27. 某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，用3000元购进A商品和用1800元购进B商品的数量相同，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元． （1）A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）A：50元，B：30元； （2）第一种：进A商品14件，B商品26件；第二种：进A商品15件，B商品25件；第三种：进A商品16件，B商品24件； （3）第三种，840元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，找等量关系式，设未知数，列方程求解即可； （2）根据题意，列不等式组，根据解集找整数解即可； （3）根据函数的增减性求最值. 【小问1详解】 解：设B商品每件的进价为x元，则A商品每件的进价为（x+20）元， 由题意，得 = 解得x=30 经检验：x=30是方程的解，且符合题意 ∴A商品每件的进价为30+20=50元 答：A商品每件的进价为50元，B商品每件的进价为30元； 【小问2详解】 解：设A种商品的数量a件，B种商品的数量（40-a）件，由题意，得 解得13≤a≤16 ∵a为正整数 ∴a为14，15，16 ∴B种商品的数量为26，25，24 所以有三种进货方案：第一种：进A商品14件，B商品26件；第二种：进A商品15件，B商品25件；第三种：进A商品16件，B商品24件； 【小问3详解】 解：令所获利润为W元，则 W=（45-30）（40-a）+（80-50）a ∴ ∵k=15＞0 W随a的增大而增大 ∴a=16时，即A购买16件，B购买24件利润最大 元 答：A购买16件，B购买24件利润最大，最大利润840元. 【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式组求解，分式方程注意检验． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，的长是一元二次方程的两个根，直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）是直线上一动点，设的面积为，请求出关于的函数解析式； （3）直线上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或或或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形定义，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用是解题的关键． （）求出，，再用待定系数法可得直线解析式为； （）求出，，，根据三角形面积公式可得； （）设，可得，，，然后分三种情况列方程，即可解得答案． 【小问1详解】 解：由得：，， ∴，， 设直线解析式为，把代入得：， 解得， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：在中，令得， ∴， ∵， ∴， ∵是直线上一动点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：直线上存在点，使为等腰三角形，理由如下： 设， ∵，， ∴，，， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得（此时，重合，舍去）或， ∴； 当时，， 解得或， ∴或； 综上所述，的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年黑龙江省佳木斯市富锦四中中考数学四模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图是选自历届世博会徽中的图案，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图是由若干个相同的小正方体搭成一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（　　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 我市某一周的每一天的最高气温统计如下表： 最高气温/℃ 25 26 27 28 天数 1 1 2 3 下列说法错误的是（ ） A. 众数是28 B. 平均数是26.5 C. 极差是3 D. 中位数是27 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 6. 已知关于的分式方程的解是负数，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 天天超市将99个桔子装进两种包装盒，大包装盒每个装12个桔子，小包装盒每个装5个桔子，那么包装方式有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 8. 如图，平面直角坐标系中，矩形的面积为 24 ， 为的中点，直线 经过原点 ，双曲线 经过点 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，，，点P在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点Q，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为6，E，F分别为上两点，且，作．交于点G，交于点H，连接．下列结论：①；②；③当时，的面积为6；④CH的最小值是．其中结论正确的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 11. 人的血管首尾相连的长度大约可达千米，千米用科学记数法表示为 ___________米． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 13. 如图，已知，添加一个条件__________，使得． 14. 在一个不透明的口袋里装有2个红球和3个白球，先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球，则2次摸到的球颜色不一样的概率为 _____． 15. 若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______． 16. 如图，是的内接三角形，且，直径是8，则______． 17. 现有一圆心角为，半径为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为______． 18. 如图，在中，，，，垂足为D，P为线段上的一个动点，连接，则的最小值为______． 19. 在矩形中，，，点在边上．且，是射线上的一个动点．若是等腰直角三角形，则的长为________． 20. 如图，是直角边长为的等腰直角三角形，以等腰直角三角形的斜边为直角边作第二个等腰直角三角形，连接，得到；再以等腰直角三角形的斜边为直角边作第三个等腰直角三角形，连接，得到；再以等腰直角的斜边为直角边作第四个等腰直角三角形，连接，得到，记的面积分别为，，，如此下去，则______． 三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 先化简,再求值：，其中 22. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2），B（5，5），C（1，1）均在格点上． （1）将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1； （3）在（2）的条件下，求△A1B1C1扫过的面积． 23. 如图，抛物线经过点，与轴交于点与轴交于点， 且． （1）求抛物线的解析式; （2）直线交轴于点，将的面积分为的两部分，请直接写出点的坐标． 24. 近年来佳木斯市旅游事业发展迅速，“大亮子河森林公园”“富锦国家湿地公园”“赫哲民族文化村”“大来岗达勒花海”等景区愈来愈为人们所知晓，在一次调查中，根据市民对这四个景区的了解情况，按答题分数分为比较熟悉；基本了解；略有知晓；知之甚少，四类进行统计，绘制了以下两幅统计图（不完整），请根据图中信息解答以下各题： （1）本次调查活动的样本容量是______； （2）补全条形统计图； （3）“略有知晓”类占扇形统计图的圆心角是______度？ （4）已知某小区有人，那么估计对这些景区“比较熟悉”的有多少人？ 25. 在一条直线上的甲、乙两地相距240km，快、慢两车同时出发，快车从甲地驶向乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地；慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车1小时后，继续按原路原速驶向甲地．在两车行驶过程中，两车距甲地的距离与两车行驶时间之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题： （1）直接写出快、慢两车的速度； （2）求慢车停车之后再次行驶时，与甲地的距离与行驶时间之间的函数关系式，并写出自变量取值范围； （3）直接写出两车出发多长时间后，相距60km？ 26. 在中，点在直线上，连接，交直线于点，交直线于点，过点作交直线于点．探究线段，，之间的数量关系． （1）当平分时，如图①，求证：． 探究如下：某同学思考这道题时，想通过三角形全等证明，进而再证明三角形全等，最终得出，请写出图①的证明过程； （2）当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图②；当为的外角平分线，且点在的延长线上时，如图③，请直接写出，，之间的数量关系． 27. 某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，用3000元购进A商品和用1800元购进B商品的数量相同，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元． （1）A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？ （2）商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？ 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，的长是一元二次方程的两个根，直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）是直线上一动点，设的面积为，请求出关于的函数解析式； （3）直线上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $