精品解析：江苏省无锡市江阴市青阳初级中学2024-2025学年九年级下学期3月份作业检查数学试题

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市青阳中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 在代数式中，整式有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的识别，由数与字母的乘积组成的代数式是单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和是多项式；单项式与多项式统称为整式，据此解题． 【详解】解：所给代数式中： ，是多项式，属于整式， ，是单项式，属于整式， 即不是多项式，也不是单项式，不属于整式， 综上可知，整式有4个， 故选：B． 3. 已知有理数，满足方程组，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程组中两个方程的特点，由①+②即可求出的值； 【详解】解：上述两个二元一次方程相加，可得，． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法，把方程组中的方程灵活变形运用“整体思想”是解决问题的关键． 4. 下列是不等式的一个解的是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，再根据不等式的解集确定不等式的解即可． 【详解】解： ， 解得： 所以A符合题意，B，C，D都不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解及其解法，理解不等式的解的含义是解本题的关键． 5. 点在第二象限，距轴单位，距轴单位，则坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标；根据第二象限点的坐标符号特征及点到坐标轴的距离确定坐标, 第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正，即形式为(， )，即可求解． 【详解】解：点在第二象限，距轴单位，距轴单位，则坐标为， 故选：D． 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，则的，得出经过的象限是第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限 ∴不经过的象限是第二象限 故选：B 7. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象．根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于，当时，，观察图象可排除B和D； ∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过二、三、四象限； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， 观察A、C选项，选项A符合题意， 故选：A． 8. 若分式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，由，解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不为0时分式有意义． 9. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意，得： ， 解得：（舍去）； 故选C． 10. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，解题的关键是设出点的坐标表示出线段长度，结合中点性质求出的高，再利用面积公式计算． 设点A的横坐标为，根据反比例函数解析式表示出A、B两点坐标，求出的长度；由D是中点得出点D到的距离；最后代入三角形面积公式计算． 【详解】解：设点的坐标为 （）． 轴， 点的横坐标为，点的横坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． ， 即． 点是的中点， 点到直线（直线）的距离为． ． 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方国家的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平方根，准确把握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义：若一个数的平方等于，则这个数是的平方根，结合平方运算的结果特征，得出正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 函数中，自变量的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数． 【详解】依题意，得x-3≥0， 解得：x≥3． 【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 14. 分解因式：2a3﹣8a=________． 【答案】2a（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】． 15. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十：粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．原来有米______斗． 【答案】2.5 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题．解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系列出方程组． 设原来有米x斗，再向桶加谷子y斗，由题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：原来有米x斗，向桶中加谷子y斗， 谷子出米率为， 则可列方程组为， 解得， ∴原来有米2.5斗， 故答案为2.5 16. 在电压不变的情况下，某电器的电流与它的电阻之间成反比例函数关系，其图象如图所示．为保证该电器各元件安全工作，限制电流不超过，则该电器可变电阻R的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出反比例函数的解析式为，再求出当时，，然后根据反比例函数的增减性求解即可得． 【详解】解：设电流与它的电阻之间的反比例函数的解析式为， 将点代入得：， ∴， 当时，， 由反比例函数的性质可知，在第一象限内，随 的增大而减小， ∵为保证该电器各元件安全工作，限制电流不超过，即， ∴该电器可变电阻 的取值范围是， 故答案为：． 17. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点是点，的“和谐点”．如图，点，点是直线：上任意一点，若点是点，的“和谐点”，直线 交轴于点，当为直角时，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的相关知识．设点的坐标为，根据点是点，的“和谐点”，表示出点的坐标，进而根据为直角可得点和点的横坐标相同得到的值，即可求得点和点的坐标；求得直线 的解析式，进而求得点的坐标；作于点，求得和的长度，根据 的面积的不同表示方法求出点到直线的距离．理解新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键．根据 的面积的不同表示方法求出点到直线的距离是解决本题的易错点． 【详解】解：设点的坐标为， 点，点是点，的“和谐点”， 点的坐标为， ∵， 点的横坐标和点的横坐标相同． ∴． 解得：． 点的坐标为，点的坐标为． 设直线 的解析式为． ∴． 解得：． 直线 的解析式为． 当时， ． 点的坐标为． ∴． 作于点． 由题意得：与轴的交点为． ∴，． ∵． ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程组：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解分式方程， （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1） 得： 解得 将 代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2） 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 20. （）解方程： ； （）解不等式组： 【答案】（）， ；（）不等式组无解． 【解析】 【分析】（）利用因式分解法解答即可求解； （）按照解一元一次不等式组的步骤解答即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】解：（）∵ ， ∴， ∴或， ∴， ； （）， 由得， ， 由得，， ∴不等式组无解． 21. 计算及先化简，再求值： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x从、、 中选择一个适当的数代入． 【答案】（1） （2），2 【解析】 【分析】（1）先计算各项，再计算加减即可得； （2）利用平方差公式，完全平方公式进行化简得，根据，，得， ，把代入进行计算即可得． 【小问1详解】 解：原式= = =； 【小问2详解】 解：原式= = = =， ∵，，， ∴， ， ∴当时，原式=． 【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握实数的混合运算，分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式并正确计算． 22. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了3个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）实数的值是______； （2）在数轴上还有两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的值； （3）在数轴上还有点表示实数，且，化简： 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是实数与数轴，算术平方根的化简，非负数的性质，熟练的化简绝对值与理解非负数的性质是解本题的关键； （1）由“蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点”即可求解； （2）利用算术平方根和绝对值的非负性即可求解． （3）先判定 ，，再化简即可． 【小问1详解】 解：∵点表示，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了3个单位长度到达点 ∴实数的值是： 【小问2详解】 ∵与互为相反数，所以． ∴，， ∴ ，， ∴． 【小问3详解】 ∵，， ∴ ，， ∴ ； 23. 已知关于的方程 ． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边 的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ，即 ， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当 时；当 或 时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当 时， ，则， 方程化为 ，解得 ， 的周长 ； 当 或 时， 把代入方程得 ，解得 ， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 24. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，连接 ，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求点C的坐标和的面积． （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式：，一次函数解析式： （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入求出m的值，然后求出点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入一次函数利用待定系数法求解即可； （2）令一次函数即可求出点C的坐标，利用代入数据求解即可； （3）根据题意得到不等式的解集即为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围，根据A，B两点的横坐标求解即可． 【小问1详解】 将代入，得到 ， ∴反比例函数解析式为； 将代入，得， ∴ 将，代入 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 在，令，即， 解得， ∴点， ∴ ； 【小问3详解】 由图象可得，的解集为一次函数在反比例函数图象上方部分x的取值范围， ∴或 ； 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积问题，图象法解不等式问题等知识，解题的关键是正确利用数形结合思想解题． 25. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？ 【答案】（1）A系列单价为10元；B系列单价为15元 （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列方程解答即可． （1）设A系列单价为x元；B系列单价为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设B系列单价为y元，则单件降价为元，每天的销售量为件，根据销售额等于单价乘以数量列式 根据题意，得，解方程即可． 【小问1详解】 设A系列单价为x元；B系列单价为元，根据题意，得，解方程，得， 经检验，是原方程的根，此时=15元， 答：A系列单价为10元；B系列单价为15元． 【小问2详解】 设B系列定价为y元，则单件降价为元，每天的销售量为件， 根据题意，得， 整理得， 解得， 尽可能让顾客得到实惠， 故定价为8元． 答：B系列产品的实际售价应定为8元． 26. 每年的3月12日是我们国家的“植树节”，某学校计划组织七年级234名学生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司甲乙两种型号客车作为交通工具．为锻炼学生，决定把这个活动方案交于学校的“数学大本营”社团学生策划．学生们实地调查发现：每辆车都坐满时，用2辆甲种客车和1辆乙种客车每次可运送学生120人；用1辆甲种客车和3辆乙种客车每次可运送学生135人． （1）1辆甲种客车和1辆乙种客车都坐满后一次分别可送多少名学生？ （2）社团老师还给学生们提出了要求：本次活动会有6名教师陪同出行，每辆客车上至少有1名教师；租一辆甲种客车400元，租一辆乙种客车280元，要求总费用在2300元以内．请你帮忙解决： ①共需租多少辆客车？ ②请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】（1）1辆甲种客车和1辆乙种客车都坐满后一次分别可送45名、30名学生 （2）①共需租6辆客车；②租4辆甲客车，2辆乙客车时，租金最少，最少租金是2160元 【解析】 【分析】（1）设1辆甲种客车和1辆乙种客车都坐满后一次分别可送x名、y名学生，根据“用2辆甲种客车和1辆乙种客车每次可运送学生120人；用1辆甲种客车和3辆乙种客车每次可运送学生135人”列出二元一次方程组求解即可； （2）①设需租n辆客车，根据题意列出一元一次不等式组求解即可； ②设租a辆甲车，（6-a）辆乙车，总租金为w元，根据题意得出w关于a的一次函数解析式，求出a的取值范围，然后根据一次函数的性质解答． 【小问1详解】 解：设1辆甲种客车和1辆乙种客车都坐满后一次分别可送x名、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：1辆甲种客车和1辆乙种客车都坐满后一次分别可送45名、30名学生； 【小问2详解】 ①设需租n辆客车， 根据题意，得， 解得：， 因为n是整数，所以n=6， 即共需租6辆客车； ②设租a辆甲车，（6-a）辆乙车，总租金为w元， 根据题意，得w＝400a+280（6﹣a）＝120a+1680， ∵， ∴4≤a≤6， 又∵120>0， ∴w随a的增大而增大， 所以当a＝4时，w有最小值，w最小＝120×4+1680＝2160， 此时6﹣a＝2， 答：租4辆甲客车，2辆乙客车时，租金最少，最少租金是2160元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，根据题意正确列出方程或不等式组是解题的关键． 27. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．由此得到． （1）如图2，正方形是由四个边长为，的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是___________________．（用，表示） （2）请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式． （3）请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数，满足，，求的值． 【答案】（1） （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，注意数形结合思想的运用． （1）图2可以看作是一个边长为的大正方形，也可以看作是由四个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为的小正方形组成的图形，分别求出面积，即可得出答案； （2）根据图2进行设计图形并对式子进行分解； （3）根据（1）中所得等式，结合题意可得关于x，y的方程组，进而整体代入计算即可． 【小问1详解】 发现的等式是 ， 故答案为： ； 【小问2详解】 如图， ． 【小问3详解】 由（1）得． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 28. 综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形 中，，过点作交于点，过点作交于点，易得 ，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________； （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转 得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （4）如图4，直线分别交轴和轴于 两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以 为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4，2；（2）；（3）；（4）存在，点D的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）在中，分别令即可求得A，B的坐标，从而求得 的长； （2）过点E作轴于M，构造“型全等”即可求得点E的坐标； （3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，这样构造了“型全等”，即可求得点C的坐标，用待定系数法即可求得直线的函数表达式； （4）分三种情况考虑，构造“型全等”即可求得点D的坐标． 【详解】解：（1）在中，分别令，得，即点A的坐标为，点B的坐标为 ， ∴， 故答案为：4，2； （2）过点E作轴于M，如图， 则， ∵ ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点E的坐标为； 故答案为：； （3）过点B作交于点C，过点C作轴于点N，如图， 则， ∵ ， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为： ， ∵直线过点A、C， ∴，解得：， 即直线的解析式为：； （4）存在 对于，令，得；令，得 ； ∴； ①当为正方形 的一边时，如图，分别过D、C作轴于F，轴于N； 则， ∵ ， ∴； ∵ ；， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理得； ②当为正方形的一边时，此时点D的坐标就是①中点C的坐标，点D为①中的点C， 即点D的坐标为； ③当为正方形的对角线时，如图， 过点D作x轴垂线，垂足为点G，过B作于点H， 同理可证明， ∴， 显然点D落在第一象限，设， 则，， 由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 解得：， 即； 综上，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定等知识，掌握一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．注意分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省无锡市江阴市青阳中学九年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 在代数式中，整式有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 已知有理数，满足方程组，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 下列是不等式的一个解的是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 5. 点在第二象限，距轴单位，距轴单位，则坐标为( ) A. B. C. D. 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若分式有意义，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 9. 一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接 ，取 的中点，连接，则的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 近来，中国芯片技术获得重大突破，芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方国家的技术封锁，已知，则用科学记数法表示为______． 12. 的平方根是___________． 13. 函数中，自变量的取值范围是_______. 14. 分解因式：2a3﹣8a=________． 15. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十：粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．原来有米______斗． 16. 在电压不变的情况下，某电器的电流与它的电阻之间成反比例函数关系，其图象如图所示．为保证该电器各元件安全工作，限制电流不超过，则该电器可变电阻R的取值范围是___． 17. 抛物线的顶点坐标是______． 18. 在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，则称点是点，的“和谐点”．如图，点，点是直线：上任意一点，若点是点，的“和谐点”，直线 交轴于点，当为直角时，则点到直线的距离为______． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）解方程组：； （2）解方程：． 20. （）解方程： ； （ ）解不等式组： 21. 计算及先化简，再求值： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中x从、、 中选择一个适当的数代入． 22. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了3个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）实数的值是______； （2）在数轴上还有两点分别表示实数和，且与互为相反数，求的值； （3）在数轴上还有点表示实数，且，化简： 23. 已知关于的方程 ． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的一边长，另两边 的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 24. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，连接 ，直线与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求点C的坐标和的面积． （3）直接写出不等式的解集． 25. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A，B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件． （1）A系列产品和B系列产品的单价各是多少？ （2）为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？ 26. 每年的3月12日是我们国家的“植树节”，某学校计划组织七年级234名学生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司甲乙两种型号客车作为交通工具．为锻炼学生，决定把这个活动方案交于学校的“数学大本营”社团学生策划．学生们实地调查发现：每辆车都坐满时，用2辆甲种客车和1辆乙种客车每次可运送学生120人；用1辆甲种客车和3辆乙种客车每次可运送学生135人． （1）1辆甲种客车和1辆乙种客车都坐满后一次分别可送多少名学生？ （2）社团老师还给学生们提出了要求：本次活动会有6名教师陪同出行，每辆客车上至少有1名教师；租一辆甲种客车400元，租一辆乙种客车280元，要求总费用在2300元以内．请你帮忙解决： ①共需租多少辆客车？ ②请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 27. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理．例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．由此得到． （1）如图2，正方形是由四个边长为 ，的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是___________________．（用 ，表示） （2）请你用若干块如图1所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；．要求：在图3的框中画出图形，写出分解的因式． （3）请你用（1）发现的等式解决问题：已知两数，满足，，求的值． 28. 综合与探索 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得 ，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， （1）直接写出_________，_________； （2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________； （3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式； 【拓展应用】 （4）如图4，直线分别交轴和轴于 两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以 为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $