精品解析：2025年重庆市八中科学城中学校小升初自主招生数学试题

2025年重庆市八中科学城中学校小升初自主招生数学试题 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 56位阿姨在广场上跳舞，她们至少有____________个人是同一个月出生的． 【答案】5 【解析】 【分析】运用抽屉原理，把12个月看作抽屉，56位阿姨看作元素，求至少有几个元素在同一抽屉．本题主要考查抽屉原理，熟练掌握将月份作为抽屉、人数作为元素，利用除法运算和余数分析是解题的关键． 【详解】解： ∵ ，即平均每个月有4人出生，还余8人． ∴至少有人在同一个月出生． 故答案为：5 ． 2. 某校组织各年级学生参加“新希望杯”书法大赛，五、六年级共有20人获奖．在所有的获奖者中有18人不是六年级的，有10人不是五年级的，则该校书法大赛获奖的总人数为____________人． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查容斥原理．在所有的获奖者中有18人不是六年级的，则除了六年级以外其他年级获奖的人数是18人，有10人不是五年级的，则除了五年级以外其他年级年级获奖人数是10人，则将人数相加就是2份1到4年级的获奖人数加上五年级和六年级的人数，减去五、六年级共有20人获奖，剩下的就是2份1到4年级的人数，即1到4年级获奖人数是4人． 【详解】（人）， （人）， （人）， 则该校书法大赛获奖的总人数为24人． 3. 从7、0、5、4、9这五个数中选出四个数，组成一个能同时被2、3、5整除的数，最大的一个是____________． 【答案】9750 【解析】 【分析】本题考查有理数的除法，有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 根据有理数的除法，有理数的大小比较，逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：能被2和5整除，这个四位数个位上的数字一定是0．要使这个四位数最大， 则千位上的数字是9，得四位数9口口0， 再根据能被3整除的数的特征， 可得百位上的数字是7，十位上的数字是5， 所以最大的是9750． 故答案为：9750． 4. 质数a、b、c满足：，则____________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了质数的定义，熟练掌握质数定义，是解题的关键．根据质数定义得出，再分两种情况，讨论即可． 【详解】解：， ，b、c有一个质数是2，另一个质数是29； ，17不能写成两个质数的和； ∴； 故答案为：17． 5. 如果，那么A的整数部分是____________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了分数的加法与除法运算，以及通过放缩法确定数值范围，解题的关键是利用放缩法估算分母的取值范围． 先对分母中分数和进行放缩估算，再根据倒数关系确定的范围，从而得出整数部分． 【详解】解：分母是，一共有个分数相加． 因为（取90到99），所以． 即． ，根据除法与倒数的关系，由A的分母，可得． 因为，所以的整数部分是9． 故答案为：9． 6. 三辆不同型号的警车从同一地点同时出发沿同一路线追赶前方逃窜的匪车．快速车4分钟后追上匪车，并紧跟匪车；2分钟后，中速车追上，双方下车搏斗（原地）；40秒后慢速车赶到，并协助制服了匪徒．已知快速车每分钟行800米，中速车每分钟行750米，那么慢速车每分钟比匪车多行____________米． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查追击问题，根据中速车的速度乘以时间为总路程，中速车的总路程减去快速车4分钟行驶的路程为匪车2分钟行驶的路程，分别求出慢速车和匪车每分钟行驶的路程，作差即可． 【详解】解：由题意，匪车的速度为：（米/分钟）； 慢速车的速度为：（米/分钟）； （米）； 故答案为：25． 7. 甲乙两个运动员进行米赛跑两次，第一次甲让乙先跑米，结果甲比乙早到秒；第二次甲让乙先跑米，结果乙到的时候甲离终点还有米．则乙跑完米需____________秒． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了追及问题，明确追及问题数量间的关系是解决本题的关键．由题意可得，根据第二次甲乙在相同时间内跑的路程，可得甲乙的速度比是，利用相同时间内的路程比=速度比，可得乙秒所跑的路程．进而可得乙的速度，乙跑完米的时间即可求． 【详解】解： （米） （秒） 故答案为：． 8. 有一个自然数，除以3余数是1，除以5余数是2，除以7余数是3，这个数最小是____________． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查余数问题，根据题意，得到这个数除以15余7，设这个数为，得到除以7余数是3，根据的余数为3，的余数为1，得到最小是，进行求解即可． 【详解】解：因为一个自然数，除以3余数是1， 设这个数为（为自然数）， 又因为这个数除以5余数是2， 所以除以5余1， 故除以5余2， 设 则这个数为， 因为除以7余数是3， 所以的余数为3， 因为的余数为1， 所以最小是， 所以这个数最小为； 故答案为：52． 9. 从1、2、3、…，2018这2018个自然数中选出n个数，使这n个数的乘积个位是7，当n取最大值时，这n个数的和最大是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字个位特征、乘法运算规律以及求和最值，解题关键是确定乘积个位为7时数字的选取规则，进而找出最多数的组合并求和． 【详解】要使乘积个位为7，所选数的个位只能是1、3、7、9， 每10个数中个位是、、、的数（如中的、、、乘积个位为9； 每20个数可分成2组10个数，8个数的乘积，个位为（个位为1）， 即每20个数为一个周期，选8个数，乘积个位为1． （个完整周期）（剩余18个数）； 100个周期共选个数， 剩余18个数（2001～2018）中，选个位1、3、7、9的数：2001、2003、2007、2009、2011、2013、2017（共7个）， 在1到2018中，此类数共有807个，其总乘积的个位为9， 为使乘积个位变为7，需从中去掉的数的乘积个位为7， 为使最大，应去掉最少的数，即1个个位为7的数， 为使剩余数的和最大，应去掉最小的数7， 因此，所求最大和为所有807个备选数之和减去一个7， 第1周期（1－20）： ； 第2周期（21－40）： ； 第3周期（41－60）： ； …… 第100周期的和：， 100个周期总和：（首项+末项）个数， 剩余7个数的和：， 故总最大和：． 故答案为：． 10. 一个数列有如下规则：当数n是奇数时，下一个数是；当数n是偶数时，下一个数是，如果这个数列的第一个数是奇数，第四个数是11，则这个数列的第一个数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是仔细观察每个数字的关系，并从中找到规律．由第四个数是11，倒推出第三个，第二个，第一个，再根据题意判断即可． 【详解】解：第四个数是11， 第三个数是（不符合题意）， 第三个数是（符合题意）， 第二个数是（符合题意）， 第二个数是（符合题意）， 当第二个数是44时， 第一个数是（不符合题意）， 第一个数是（符合题意）， 当第二个数是21时， 第一个数是（不符合题意）， 第一个数是（不符合题意）， 这个数列为：， 故答案为：． 二、计算题（共30分） 11. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题可先将括号展开，再利用加法交换律和结合律对式子进行重新组合，最后通过计算得出结果．本题主要考查了四则运算的灵活运用以及加法交换律和结合律的应用．熟练掌握加法交换律、结合律是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．将方程组中的第一个方程的两边同乘以4，与第二个方程相加，消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：， 由得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 13. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】通过观察可发现，此题只要把①代入②即可，所以用代入消元法比较简单． 【详解】解：， 把①代入②得： ， ； 代入①得． 方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的代入法，难易程度适中． 14. 解方程． （1） （2） 【答案】（1）； （2）1.5 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解方程的依据是等式的基本性质：等式两边同时加或减相同的数等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个非数，等式仍然成立，比例的性质：两内项积等于两外项积来计算． 根据运算法则先去括号，然后把含有未知数的放在等号左边，常数放在等号右边，再根据等式的性质计算即可； 根据比例的性质对等式变形，然后再根据等式的性质解方程即可． 【小问1详解】 解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； 【小问2详解】 解：， 根据内项积等于外项积，可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 15. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． 方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 16. 计算：． 【答案】210 【解析】 【分析】本题考查规律探究，先求出，依次类推，得到原式，再进行计算即可． 【详解】解：， ； ； 故原式 ． 17. 脱式计算．（能简算的要简算） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，先根据把所求式子裂项，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ． 18. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】设，则 ，解答即可． 本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设， 则 ， ． 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】将原式变形求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】题目主要考查有理数的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 三、解答题（共40分） 20. 某个早晨，容器中有200个细菌，白天有光照，容器中的细菌将减少65个，夜间无光照，容器中的细菌将增加40个，则在第几个白天，容器中的细菌全部死亡？ 【答案】第7个白天 【解析】 【分析】根据题意，每天减少细菌个数为个，从而得到第6天后剩余细菌数为：，可知第7天白天所有细菌可全部死亡． 【详解】解：由题意得一昼夜细菌减少个， 第6天后剩余细菌数为：， 第7天白天的时候减少65个，容器中的细菌全部死亡． 【点睛】本题考查有理数运算的实际应用，读懂题意，列出式子是解决问题的关键． 21. 学校第一次买了5个篮球与4个足球共花150元，第二次买了4个篮球与8个足球共花240元．每个篮球与每个足球各是多少元？ 【答案】篮球每个10元，足球每个为25元 【解析】 【分析】设篮球每个元，足球每个元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 【详解】解：设篮球每个元，足球每个元， 根据题意得：， 解得：． 答：篮球每个10元，足球每个25元． 22. 李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内．已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总卖给商店，西院养鸡数的卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的．原来东、西两院一共养鸡多少只？ 【答案】280只 【解析】 【分析】设东、西两院一共养鸡x只，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一次的应用是解题的关键． 【详解】解：设东、西两院一共养鸡x只， 根据题意，得， 解得． 答：东、西两院一共养鸡280只． 23. 一些工人做一项工程，如果能调来人，那么天可以完成；如果只调来人，就要天才能完成，那么调走人后，完成这项工程需要多少天？ 【答案】天 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设个人做天的量为，原来有人在做这项工程， 根据题意可得，求出进而可求出调走人后，完成这项工程需要的时间，根据题意正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设个人做天的量为，原来有人在做这项工程， 由题意可得，， 解得， 如果调走人，需要天， 答：调走人后，完成这项工程需要天． 24. 射击比赛多年来一直是奥运首金的产生地，东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国代表团揽入本届奥运会第一枚金牌．成功的背后是运动员刻苦训练的结果，一名射击运动员统计了近两天的射击成绩，这名运动员两天射击的次数相同．若第一天射中十环及以上的次数比十环以下的次数的4倍多2次，第二天射中十环及以上次数比第一天增加了8次，正好是十环以下次数的6倍．这名运动员每天射击多少次？ 【答案】这名运动员每天射击147次 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设第一天射中十环以下的次数为次，进而得到第一天射中十环及以上的次数为次，第二天射中十环及以上次数为次，第二天射中十环以下的次数为次，根据第二天射中十环及以上次数正好是十环以下次数的6倍，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设第一天射中十环以下的次数为次，进而得到第一天射中十环及以上的次数为次， 第二天射中十环及以上次数为次， 由这名运动员两天射击的次数相同，\ 则第二天射中十环以下的次数为次， 由题意，得：， 解得：， ∴； 答：这名运动员每天射击147次． 25. 长方形中，，E、F分别是边上的两点，．试求三角形面积的最小值． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查矩形的性质及二次函数的性质，理解题意，作出辅助线，得出函数关系式是解题关键． 结合图形得出，确定，设，则，代入确定函数关系式求解即可． 【详解】解：如图所示，分别是三个直角三角形的面积，每个直角三角形的面积分别是对应矩形面积的一半， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时， 最小为：． 26. A种酒精中纯酒精的含量为，B种酒精中纯酒精的含量为，C种酒精中纯酒精的含量为，它们混合后得到纯酒精含量为的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升，那么其中A种酒精有多少升？ 【答案】A种酒精有7升 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的应用，百分数的应用，设C种酒精有x升，则B种酒精有升，A种酒精有升，根据它们混合后得到纯酒精含量为的酒精11升得出，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设C种酒精有x升，则B种酒精有升，A种酒精有升，根据题意得： ， 解得：， 则A种酒精有（升）， 答：A种酒精有7升． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆市八中科学城中学校小升初自主招生数学试题 一、填空题（每题3分，共30分） 1. 56位阿姨在广场上跳舞，她们至少有____________个人是同一个月出生的． 2. 某校组织各年级学生参加“新希望杯”书法大赛，五、六年级共有20人获奖．在所有的获奖者中有18人不是六年级的，有10人不是五年级的，则该校书法大赛获奖的总人数为____________人． 3. 从7、0、5、4、9这五个数中选出四个数，组成一个能同时被2、3、5整除的数，最大的一个是____________． 4. 质数a、b、c满足：，则____________． 5. 如果，那么A的整数部分是____________． 6. 三辆不同型号的警车从同一地点同时出发沿同一路线追赶前方逃窜的匪车．快速车4分钟后追上匪车，并紧跟匪车；2分钟后，中速车追上，双方下车搏斗（原地）；40秒后慢速车赶到，并协助制服了匪徒．已知快速车每分钟行800米，中速车每分钟行750米，那么慢速车每分钟比匪车多行____________米． 7. 甲乙两个运动员进行米赛跑两次，第一次甲让乙先跑米，结果甲比乙早到秒；第二次甲让乙先跑米，结果乙到的时候甲离终点还有米．则乙跑完米需____________秒． 8. 有一个自然数，除以3余数是1，除以5余数是2，除以7余数是3，这个数最小是____________． 9. 从1、2、3、…，2018这2018个自然数中选出n个数，使这n个数的乘积个位是7，当n取最大值时，这n个数的和最大是____________． 10. 一个数列有如下规则：当数n是奇数时，下一个数是；当数n是偶数时，下一个数是，如果这个数列的第一个数是奇数，第四个数是11，则这个数列的第一个数是________． 二、计算题（共30分） 11. 计算：． 12. 解方程组：． 13. 解方程组： 14. 解方程． （1） （2） 15. 解方程： 16. 计算：． 17. 脱式计算．（能简算的要简算） 18. 计算：． 19. 计算： 三、解答题（共40分） 20. 某个早晨，容器中有200个细菌，白天有光照，容器中的细菌将减少65个，夜间无光照，容器中的细菌将增加40个，则在第几个白天，容器中的细菌全部死亡？ 21. 学校第一次买了5个篮球与4个足球共花150元，第二次买了4个篮球与8个足球共花240元．每个篮球与每个足球各是多少元？ 22. 李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内．已知东院养鸡40只；现在把西院养鸡总卖给商店，西院养鸡数的卖给加工厂，再把剩下的鸡与东院全部的鸡相加，其和恰好等于原来东、西两院养鸡总数的．原来东、西两院一共养鸡多少只？ 23. 一些工人做一项工程，如果能调来人，那么天可以完成；如果只调来人，就要天才能完成，那么调走人后，完成这项工程需要多少天？ 24. 射击比赛多年来一直是奥运首金的产生地，东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国代表团揽入本届奥运会第一枚金牌．成功的背后是运动员刻苦训练的结果，一名射击运动员统计了近两天的射击成绩，这名运动员两天射击的次数相同．若第一天射中十环及以上的次数比十环以下的次数的4倍多2次，第二天射中十环及以上次数比第一天增加了8次，正好是十环以下次数的6倍．这名运动员每天射击多少次？ 25. 长方形中，，E、F分别是边上的两点，．试求三角形面积的最小值． 26. A种酒精中纯酒精的含量为，B种酒精中纯酒精的含量为，C种酒精中纯酒精的含量为，它们混合后得到纯酒精含量为的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升，那么其中A种酒精有多少升？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $