24.2点和圆、直线和圆的位置关系同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.2点和圆、直线和圆的位置关系 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（    ）   A． B．4 C． D． 2．如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（    ） A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交 4．如图，分别切于A，B，，则等于（） A． B． C． D． 5．如图，分别切于点A，B，C．若的半径为的长为，则的周长为（　　） A． B． C． D． 6．下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2) 弦相等所对的弧相等，(3) 劣弧一定比优弧短，(4) 直径是圆中最长的弦，(5)垂直于半径的直线是圆的切线． 其中正确的有 (   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 7．已知的半径为3，点O到直线l的距离为4，则下列能够反映直线l与位置关系的图形是（　　） A． B． C． D． 8．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 9．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定 10．下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程： 已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．    下列不属于该尺规作图依据的是（    ） A．两点确定一条直线 B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 11．如图，是的直径，与相切于点A，与相交于点C，若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 12．在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别A、B．以为斜边在右上方作．设点C坐标为，则的最大值为（　　） A． B． C．4 D． 二、填空题 13．杭州亚运会射击项目比赛，中国队取得16金9银4铜的成绩，继续保持着亚洲射击运动霸主的位置．如图，是射击靶的示意图，环靶为圆形，直径，自中心向外共10个等宽的同心圆环区，得分标准如图所示．若最小的圆半径为，最大的圆半径为，某运动员一次训练中，击中了与圆心O的距离为的位置，则该运动员本次射击得分为 分． 14．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接．过点作于点，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 15．用一组a，b，c的值说明命题“如果，那么”是假命题，这组值可以是a＝ ，b＝ ，c＝ ． 16．用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 ． 17．平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 三、解答题 18．已知内接于，过点A作直线，若是非直径的弦，添加，还是的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因．    19．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF、BD、CE的长． 20．在矩形中，，． (1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是 ． 21．如图，已知和直线，过圆心作，为垂足，，，为直线上三个点，且，，，若的半径为，，判断，，三点与的位置关系． 22．如图，是的直径，C点在上，平分角交于D，过D作直线的垂线，交的延长线于E，连接． (1)求证：； (2)求证：直线是的切线； (3)若，，求的长． 23．如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角． 24．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，连接AD，过D作DE⊥AC于E．    (1)求证：DE为⊙O的切线； (2)若AB＝13，CD＝5，求DE的长． 《24.2点和圆、直线和圆的位置关系》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B C A D C C D 题号 11 12 答案 B A 1．B 【分析】和都是等腰直角三角形，可证，由全等三角形对应角相等得为底边，则高最小时，三角形面积最小，则当为的切线时，P到的距离最短，求得这个最小点，再得到矩形为正方形，由勾股定理和正方形的边长相等可求得的长，即可求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上， 则当为底边，则高最小时，三角形面积最小，此时最小， ∵绕点A顺时针旋转一周， ∴点D在以点A为圆心，为半径的圆上， ∴当为的切线时，P到的距离最短， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， ∴， ， 此时的面积为 即面积的最小值为4． 故选：B 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意得到点P的轨迹是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，先根据圆周角定理，由，则利用互余可计算出，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数，熟练掌握三角形的外心的定义与性质是解题的关键． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．B 【分析】由已知点（-2，3）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系，设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d>r，则直线与圆相离． 【详解】解：∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，到y轴的距离是2，小于半径， ∴圆与y轴相交，与x轴相切． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 4．B 【分析】本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度，圆周角定理求解． 连接、，根据切线的性质定理，结合四边形的内角和定理，即可推出的度数，然后根据圆周角定理，即可推出的度数． 【详解】解：解：连接、， ∵、分别切于点、， ∴， ∴， ∵， ， ， 故选：B． 5．C 【分析】连接，根据切线长定理得到，得到的周长等于，再用勾股定理求出的长，就可以算出周长． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， 同理，， ， 在中，， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是掌握切线长定理并能够熟练运用． 6．A 【分析】本题考查圆的相关知识，利用等弧的定义、切线的判定、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，故错误； （2）同圆或等圆中弦相等所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， （5）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．故错误； 正确的只有1个， 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查圆与直线的位置关系，熟练掌圆与直线位置关系的判断是解题的关键．根据题意可知，点O到直线l的距离为4大于半径，故直线l与相离即可得到答案． 【详解】解：的半径为3，圆心O到直线l的距离为4，所以直线l与⊙O相离， 故选 D． 8．C 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法是解题的关键：如果的半径为，圆心到直线的距离为，那么：①直线和相交；②直线和相切；③直线和相离．按照判断直线和圆的位置关系的方法进行判断即可． 【详解】解：的半径为，圆心到直线的距离为， 直线与的位置关系是相交， 故选：． 9．C 【分析】根据的半径为，点P到圆心O的距离为，即可判定点P和的位置关系． 【详解】解：的半径为，点P到圆心O的距离为，， ∴点P在外． 故选：C． 【点睛】本题考查了判断点与圆的位置关系，熟练掌握和运用判断点与圆的位置关系的方法是解决本题的关键． 10．D 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可． 【详解】解：作直线（两点确定一条直线）， 连接，    ∵由作图，， ∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）． ∵， ∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ∴， ∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上． ∴为的外接圆． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 11．B 【分析】先根据切线的性质得到，再利用直角三角形的两个锐角互余和圆周角定理得到求解即可． 【详解】解：∵与相切于点A， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定义以及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解答的关键． 12．A 【分析】根据以AB为斜边在右上方作，可知点C在以为直径的上运动，根据点C坐标为，可构造新的函数，则函数与y轴交点最高处即为的最大值，此时，直线与相切，再根据圆心点D的坐标，可得C的坐标为，代入直线，可得，即可得出的最大值为． 【详解】解：由题可得，点C在以为直径的上运动， 点C坐标为，可构造新的函数，则函数与y轴交点最高处即为的最大值， 此时，直线与相切，交x轴与E，如图所示， ∴E、F， ∴， ∴是等腰三角形，， 连接， ∵A、B， ∴D， ∴， ∴， 根据可得，C、D之间水平方向的距离为，铅垂方向的距离为， ∴C， 代入直线，可得 ， 解得， ∴的最大值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解． 13．8 【分析】先求得9分小圆和8分小圆的半径即可求解． 【详解】解：∵最小的圆半径为，最大的圆半径为， ∴9分小圆的半径为，8分小圆的半径为， ∴该运动员本次射击得分为8分． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，能求出各个圆的半径是解题的关键． 14． 【分析】连接，取的中点E，连接，根据得点H在以E为圆心，为半径的圆上，即当点B、H、E三点共线时，最小，根据是直径得，根据勾股定理得，可得，即可得，在中，根据勾股定理得， ，即可得． 【详解】解：如图所示，连接，取的中点E，连接， ∵， ∴点H在以E为圆心，为半径的圆上， 当点B、H、E三点共线时，最小， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点，明确当点B、H、E三点共线时，最小． 15． 3 4 【分析】此题考查了举反例和不等式的性质，真假命题，根据题意举出反例即可． 【详解】解：当时，满足，但是，， ∴“如果，那么”是假命题，这组值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 16．一个三角形中每个角都小于60° 【分析】根据反证法的步骤，先假设结论不成立，即否定命题即可． 【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即一个三角形中每个角都小于60°． 故答案为：一个三角形中每个角都小于60°． 【点睛】本题考查了反证法的知识，掌握反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立是解题的关键． 17．不能 【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 18．还是的切线，理由见解析 【分析】作直径，连接，由为直径得，根据圆周角定理得，而，所以，根据切线的判定定理得到为的切线． 【详解】解：还是的切线． 理由如下：作直径，连接，，    ∵为直径， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴为的切线． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理． 19．AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm 【分析】由切线长定理可得AE=AF，BF=BD，CE=CD，由线段的数量关系列出方程，即可求解． 【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F， ∴AE=AF，BF=BD，CE=CD， ∵AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm， ∴AF+BF=18cm，BD+CD=28cm，AE+CE=26cm， ∴ ∴ ∴AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm． 【点睛】本题考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程组是解题的关键． 20．(1)点在内，点在外，点在上 (2) 【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解； （2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ，， ， 的半径为8， 点在内，点在外，点在上； （2）解：，，， 又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， 的半径的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键． 21．点在内；点在上；点在外． 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有以下三种情况： 当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外．据此即可求解． 【详解】解：∵，， 点在内； ∵，， 点在上； ∵，， 点在外． 22．(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系、切线的证明，勾股定理的应用等知识点，掌握圆中相关结论是解题关键． （1）证，根据圆中弧、弦、角的关系即可求解； （2）连接半径，可得；根据、即可求证； （3）过点D作于F，可得，在中求出可推出，，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，平分角， ∴， ∴； （2）证明：连接半径，如图1所示： 则， ∴， ∵于E， 在中， 由（1）知 ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）解：过点D作于F，如图2所示： 则， ∵， ∴半径， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中， 23．见解析 【分析】本题考查的是反证法，熟知等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． 假设是钝角或直角，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行证明即可． 【详解】证明：假设是钝角或直角． ∵，是底边上的高， ∴． ∵是钝角或直角， ∴，不符合三角形内角和定理， ∴假设不成立， ∴是一个锐角． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由中位线定理知OD//AC，然后由平行线的性质得到OD⊥DE，故得到答案； （2）由直径所对的圆周角是90°及等腰三角形的性质得到AC的长，然后使用勾股定理求出AD的长度，最后用等积法算出DE长度即可． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵BO＝OA，BD＝DC， ∴OD//AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∴DE为⊙O的切线；    （2）∴AD⊥BD， ∵BD＝CD＝5， ∴AC＝AB＝13， ∴AD＝＝＝12， ∵ ∴， 解得：DE＝， 答：DE的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定及性质定理，涉及了圆周角、等腰三角形等相关知识，掌握并熟练使用相关定义、定理，精准识图是本题的解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$