精品解析：2025年湖北省孝感市文昌中学6月中考三模数学试卷

数学综合试卷 （本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无放． 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、精心选一选（本大题共10小题，每小題3分，满分30分） 1. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”，月季被誉为“花中皇后”，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，正方体的表面展开图上写有“新时代好少年”六个字，还原成正方体后“代”的对面的字是（ ） A. 新 B. 好 C. 少 D. 年 3. 下列运算结果是的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式； B. “掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件； C. 的算术平方根是； D. 若一组数据的方差，则这组数据的总和为24 7. 如图，是的直径，点C，D在上，连接若，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 8. 学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（ ） A. 2小时 B. 3小时 C. 4小时 D. 5小时 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的投影长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 12. 如图，已知，若，，则____°． 13. 设、是方程的两个根，则____． 14. 如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F． 若，，则四边形面积为___________． 15. 如图，四边形是边长为2正方形，是等腰直角三角形，，E是边上一点，连接． （1）若时，则______（用含的式子表示）： （2）当和的面积相等时，______． 三、用心解一解（本大题共9小题，满分75分．请认真谈题，冷静思考.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E， (1)求证：AC=DE； (2)求△BDE的面积． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）请画出将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，则点的坐标为______； （2）请画出绕原点逆时针旋转的图形，则点的坐标为______； （3）在（）的旋转过程中，点运动的路径长为______（结果保留） 19. 2025年是“十四五”规划收官之年，鄂尔多斯市某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计，如图，整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： __________， __________；请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 20. 如图，为的直径，点C在上，过点O作交于点D，延长，交于点F，过点C作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，过点作轴于，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）E是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标． 22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 23. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，交延长线于点，以线段为邻边作矩形． （1）如图，连接，求度数和的值； （2）如图，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图，当时，在平面内有一动点，满足，连接，请直接写出的最小值是______． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线函数解析式； （2）如图①，当点在第二象限时，若，求的值； （3）将，两点间的距离记为，当两点重合时其距离为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围及对应的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学综合试卷 （本试题卷共4页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无放． 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、精心选一选（本大题共10小题，每小題3分，满分30分） 1. 宋朝·杨万里有诗曰：“只道花无十日红，此花无日不春风．一尖已剥胭脂笔，四破犹包翡翠茸”，月季被誉为“花中皇后”，具有非常高的观赏价值．某品种的月季花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键数是解题的关键；据此写成的形式即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 如图，正方体的表面展开图上写有“新时代好少年”六个字，还原成正方体后“代”的对面的字是（ ） A. 新 B. 好 C. 少 D. 年 【答案】D 【解析】 【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可． 本题考查了正方体展开图中的相对面的文字问题，熟练掌握展开图的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得“代”字一面相对的面上的字为“年”， 故选：D． 3. 下列运算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A.，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 4. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式性质及同类二次根式定义，熟记同类二次根式的定义是解决问题的关键． 先利用二次根式性质对各选项中的二次根式进行化简，再根据同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】解：，，， 与是同类二次根式，可以合并． 故选：C． 5. 如图，一次函数与的图象交于点，且经过点，则关于的一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：根据两条直线的交点求不等式的解集，运用数形结合思想，且结合一次函数与的图象交于点，且经过点，即可得出的解集． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于点，且经过点， ∴当时，则， 故选：B 6. 下列说法正确的是（ ） A. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式； B. “掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件； C. 的算术平方根是； D. 若一组数据的方差，则这组数据的总和为24 【答案】D 【解析】 【分析】根据所学数学知识，判断即可． 本题考查了事件的判断，算术平方根，方差，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A. 调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式； 故错误，不符合题意； B. “掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是必然事件； 故错误，不符合题意； C. 的算术平方根不是； 故错误，不符合题意； D. 若一组数据的方差，则这组数据的总和为24，正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，是的直径，点C，D在上，连接若，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，先结合得出，再根据是的直径，得出，最后由直角三角形的两个锐角互余，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：A． 8. 学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（ ） A. 2小时 B. 3小时 C. 4小时 D. 5小时 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，正确表示工作量，工作效率，工作时间的关系是解题的关键．设还需要m小时，根据题意，得，解方程即可． 【详解】解：设还需要m小时，根据题意，得， 解得． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点，是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的投影长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、坐标与图形，延长、分别交轴于点、，作轴于点，交于点，由题意得出，从而得出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，延长、分别交轴于点、，作轴于点，交于点， ∵，木杆两端的坐标分别为，， ， ， ，即， ， ∴木杆在轴上的投影长为 6 ， 故选：C． 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可． 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴, 故①正确； 根据抛物线的图象得，直线与抛物线的交点在第一象限， ∴， ∴, 故②正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故的两个根分别是， 故多项式可因式分解为， 故③不正确； 根据题意，得，即， 根据题意，当时，抛物线有最大值，且为， 故当时，在抛物线顶点的上方， 故关于的方程无实数根． 故④正确； 故选：C． 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 函数y＝的自变量x的取值范围为____________． 【答案】x≥－1 【解析】 【详解】由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 12. 如图，已知，若，，则____°． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．先根据求出的度数，再由求出的度数，进而可得出结论． 【详解】∵， 故答案为：40． 13. 设、是方程的两个根，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，是方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系进行列式，解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴， 故答案为． 14. 如图，P是直线l外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点B，D；②分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E；③作直线交于点F． 若，，则四边形的面积为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题的关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解．先依据作图步骤得出，垂直平分，进而得到的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果． 【详解】解：由作图步骤可知， 步骤①中，以点P为圆心画弧，交直线l于点B，D， ， 步骤②中，分别以点B、点D为圆心，大于的长为半径作弧相交于点E， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 四边形的对角线与互相垂直， ， 故答案为：12． 15. 如图，四边形是边长为2的正方形，是等腰直角三角形，，E是边上一点，连接． （1）若时，则______（用含的式子表示）： （2）当和的面积相等时，______． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】（1）由是等腰直角三角形，，得，，求出∠，知，故； （2）过F作交延长线于H，设交于G，由和的面积相等，可得，即可证明，得，故，而，有，从而求出． 【详解】解：（1）∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）过F作交延长线于H，设交于G，如图： ∵和的面积相等， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴； 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形性质，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和相似三角形判定定理． 三、用心解一解（本大题共9小题，满分75分．请认真谈题，冷静思考.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，涉及特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂；先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再化简二次根式，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E， (1)求证：AC=DE； (2)求△BDE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）20 【解析】 【分析】（1）证明四边形ACED为平行四边形，即可证得AC=DE； （2）由在菱形ABCD中AB=5、AC=6、AC⊥BD，然后根据勾股定理求出OB的长，进而求得BD的长，然后由DE=AC=6，再说明BD⊥DE，最后运用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：∵菱形ABCD中， ∴AD//BC,即AD//CE ∵AC//DE ∴四边形ACED为平行四边形 ∴AC=DE； （2）∵菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ∴AC⊥BD，OC=AC=3,BD=2OB ∵AB=5 ∴OB= ∴BD=2OB=8 ∵AC//DE，AC⊥BD ∴BD⊥DE，即△BDE为直角三角形 ∵DE=AC=5 ∴△BDE为直角三角形的面积为=20． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握菱形的对角线互相平分且垂直是解答本题的关键． 18. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）请画出将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，则点的坐标为______； （2）请画出绕原点逆时针旋转的图形，则点的坐标为______； （3）在（）的旋转过程中，点运动的路径长为______（结果保留） 【答案】（1）画图见解析，； （2）画图见解析，； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转变换、平移变换，求弧长，解题的关键是掌握旋转和平移的性质以及弧长公式． （）将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形，再写出的坐标即可； （）将绕原点逆时针旋转的图形，画出，再写出点的坐标； （）先求出，再由旋转性质可得，最后根据弧长公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到的图形， ∴即为所求，点， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，将绕原点逆时针旋转的图形， ∴即为所求，点， 故答案：； 【小问3详解】 解：如上图，由网格可知，由旋转性质可知：， ∴点运动的路径长为， 故答案为：． 19. 2025年是“十四五”规划收官之年，鄂尔多斯市某校对七、八年级的学生进行了党史学习宣传教育，其中七、八年级的学生各有500人．为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计，如图，整理如下： 七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10． 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 8 8 众数 a 7 中位数 8 b 八年级抽取学生的测试成绩条形统计图 （1）填空： __________， __________；请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）； （3）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率． 【答案】（1）8，7，700 （2）七年级学生的党史掌握较好，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、统计表、中位数、众数等知识． （1）由众数和中位数的定义求解即可；由七、八年级的总人数乘以两个年级优秀人数所占的百分比，即可求解； （2）七、八年级的平均数和中位数相同，七年级的优秀率大于八年级的优秀率，即可求解； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：七年级学生有6人得8分，出现人数最多， ∴； 八年级学生的测试成绩位于第8位的是8， ∴； 人， 即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人； 故答案为：8，7，700； 【小问2详解】 解：通过数据对比发现，平均数和中位数两个年级相同， 方法一：因为七年级的众数8大于八年级的众数7，所以七年级学生党史知识掌握较好； 方法二：从优秀率来看，七年级的优秀率占，八年级的优秀率占，所以七年级学生的党史掌握较好； 【小问3详解】 解：由统计图表可知：七年级获得10分的有1人，八年级获得10分的有3人，画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种可能， ∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为． 20. 如图，为的直径，点C在上，过点O作交于点D，延长，交于点F，过点C作的切线，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等边对等角，熟练进行等量代换是解题的关键． （1）由切线的性质得，即，由得，再结合，通过等量代换得出，即可证明； （2）由为的直径，得，结合（1）中，通过导角证明，推出，再用勾股定理依次解和即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ； 【小问2详解】 解：为的直径， ， ，， 由（1）得， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，过点作轴于，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）E是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标． 【答案】（1）， （2）点或或或 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数求出，得出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，进而求出点B坐标，将点A，B坐标代入直线解析式中，建立方程组，求解即可得出结论； （2）设出点E坐标，进而表示出，，再分，，三种情况，建立方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵一次函数与反比例函数图象交于A与B，且轴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ 即， 根据勾股定理得： ∵点A在第二象限， ∴ 代入反比例解析式得，, 即 ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴， ∵点，在直线上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设点E的坐标为， 由（1）得， ∴， ∵是等腰三角形， ∴①当时，， ∴， ∴或； ②当时，， ∵点E的坐标为， ∴（等腰三角形的三线合一） ∴， ③当时， ∵，点E的坐标为， ∴ ∴ ∴ 综上，当点或或或时，是等腰三角形． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 22. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 【答案】（1）；（2）；（3）70米 【解析】 【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可． 【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'， ∵函数图象过点（0，30）和（1，35）， 则， 解得， ∴y1与x之间的函数关系式为． （2）∵时，， ∵的图象是过原点的抛物线， ∴设， ∴点，在抛物线上． ∴，即， 解得， ∴． 答：与的函数关系式为． （3）设小钢球和无人机的高度差为米， 由得或. ①时， ， ∵，∴抛物线开口向下， 又∵， ∴当时，的最大值为； ②时， ， ∵，∴拋物线开口向上， 又∵对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，的最大值为70． ∵， ∴高度差的最大值为70米． 答：高度差的最大值为70米． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差． 23. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，交延长线于点，以线段为邻边作矩形． （1）如图，连接，求的度数和的值； （2）如图，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图，当时，在平面内有一动点，满足，连接，请直接写出的最小值是______． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用正切的定义可得，即得，证明，得到，即可求解； （）过点作于点，先证明，得到，，又由锐角三角函数可得，设，则，即得，，代入（）解答即可求解； （）连接，由， 可得，即得，进而得到，，即得到是等边三角形，，即得，将绕点顺时针旋转，与重合，得到，连接，则，，，可得，过点作于，则，，利用直角三角形的性质和勾股定理得，得到，最后根据三角形的三边关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 又由（）知，， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转，与重合，得到，连接， 则，，， ∴， 过点作于，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的三边关系等，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上不与重合的一动点，过点作直线的平行线交轴于点，交轴于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图①，当点在第二象限时，若，求的值； （3）将，两点间的距离记为，当两点重合时其距离为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围及对应的的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，中点的定义，两直线平行的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求出直线解析式为，再由，求出直线的解析式为，得到，，由题意可知P点是的中点，则，求出符合条件的m的值即可； （3）①根据点C、E（坐标，直接可求；②分别求出，再由，得到，解得或，再由m的范围结合①即可求解． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线函数解析式为， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴可设直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴， 把代入，得， 解得， ∴直线的解析式为，， 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴点为线段的中点， ∴， 整理得，， 解得，， ∵点在第二象限时， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵，， ∴ ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 在同一平面直角坐标中画出函数和，如图， 当时，解得或，， 借助图象可得的解集为或， ∴当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $