2026届高三物理一轮复习讲义：第六章第1讲 动量和动量定理

第六章 动量守恒定律 第1讲 动量和动量定理 【复习目标】 1.理解动量和冲量的概念，理解动量定理及其表达式。 2.能用动量定理解释生活中的有关现象。 3.会用动量定理进行相关计算，并会在流体力学中建立“柱状”模型。 【考点突破】 考点一　动量和冲量 【知识梳理】 1.动能、动量、动量变化量的比较 动能 动量 动量变化量 特点 状态量 状态量 过程量 关联方程 Ek＝，Ek＝pv，p＝，p＝ 联系 (1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系 (2)若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化，但动量发生变化时动能不一定发生变化 2.冲量的计算 (1)恒力的冲量:直接用定义式I＝Ft计算。 (2)变力的冲量 ①平均值法:方向不变的变力的冲量，若力的大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，则力F在某段时间t内的冲量I＝t，其中F1、F2为该段时间内初、末两时刻力的大小。 ②图像法:作出F－t变化图线，图线与t轴所围的面积即为变力的冲量。如图所示。 ③动量定理法:对于易确定始、末时刻动量的情况，求出该力作用下物体动量的变化量，再由动量定理I＝Δp求解。 角度1　对动量、冲量、动量变化量的理解 【典例剖析】 例1 如图所示，学生练习用脚颠球。某次足球由静止自由下落1.25 m，被重新颠起，离开脚部后竖直上升的最大高度仍为1.25 m。已知足球与脚部的作用时间为0.1 s，足球的质量为0.4 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，则(　　) A.足球下落到与脚部刚接触时动量大小为4 kg·m/s B.足球自由下落过程重力的冲量大小为2 N·s C.足球与脚部作用过程中动量变化量为零 D.脚部对足球的平均作用力为足球重力的9倍 答案　B 解析　足球自由下落到脚部的速度v＝＝5 m/s，动量大小p＝mv＝0.4×5 kg·m/s＝2 kg·m/s，A错误;足球自由下落的时间t＝＝0.5 s，重力的冲量大小I＝mgt＝0.4×10×0.5 N·s＝2 N·s，B正确;根据运动的对称性，足球与脚部作用过程中，动量变化量Δp＝－mv－mv＝－2×0.4×5 kg·m/s＝－4 kg·m/s，C错误;足球与脚部作用过程中，根据动量定理可得(mg－F)t＝Δp，解得F＝44 N＝11mg，D错误。 角度2　恒力冲量的计算 【典例剖析】 例2 (多选)(2025·贵州贵阳模拟)如图所示，一个质量为m的物块以初速度v0冲上倾角为θ的斜面，经过时间t速度变为零。物块与斜面间动摩擦因数为μ，重力加速度为g。设初速度方向为正方向，在时间t内，下列说法正确的是(　　) A.物块受到的合力的冲量为mv0 B.物块受到的重力的冲量大小为mgtsin θ C.物块受到的支持力的冲量大小为mgtcos θ D.物块受到的摩擦力的冲量为－μmgtcos θ 答案　CD 解析　由动量定理有I合＝0－mv0，所以合力的冲量为－mv0，故A错误;重力的冲量大小为IG＝mgt，故B错误;对物块受力分析，其支持力大小为FN＝mgcos θ，支持力的冲量大小为I支＝mgcos θ·t＝mgtcos θ，故C正确;物块受到的摩擦力大小为Ff＝μmgcos θ，所以受到摩擦力的冲量为If＝－μmgcos θ·t＝－μmgtcos θ，故D正确。 角度3　利用F－t图像求冲量 【典例剖析】 例3 (2025·安徽合肥模拟)如图甲所示，质量为0.4 kg的物块在水平力F的作用下由静止释放，物块与足够高的竖直墙面间的动摩擦因数为0.4，力F随时间t变化的关系图像如图乙所示，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。在0~8 s时间内，下列判断正确的是(　　) A.物块运动的最大速度为10 m/s B.物块一直向下运动，且速度不为0 C.t＝6 s时物块距离出发点最远 D.0~4 s内摩擦力的冲量大小为32 N·s 答案　A 解析　当物块受到的摩擦力与重力相等时，有mg＝μF0，解得F0＝10 N，可知0~2 s内物块向下做加速运动，2~4 s内物块向下做减速运动，4 s末物块的速度为零，4~6 s内物块静止，6~8 s内物块向下做加速运动，则t＝8 s时物块离出发点最远，B、C错误;2 s末物块速度最大，0~2 s内摩擦力的冲量大小为If1＝t1＝×2 N·s＝4 N·s，由动量定理得mgt1－If1＝mv，解得v＝10 m/s，A正确;0~4 s内摩擦力的冲量大小为If2＝t2＝×4 N·s＝16 N·s，D错误。 【即时训练】 1.(2025·湖北黄冈高三期中)质量相等的A、B两个物体静置在同一水平面上，分别受到水平拉力F1、F2的作用，经过时间t0和3t0，分别撤去F1和F2，两个物体速度v随时间t变化的图像如图所示，设F1和F2对A、B的冲量分别为I1和I2，F1和F2对A、B做的功分别为W1和W2，下列结论正确的是(　　) A.I1>I2，W1>W2 B.I1<I2，W1>W2 C.I1<I2，W1<W2 D.I1>I2，W1<W2 答案　B 解析　由图像可知，A、B两物体匀减速运动的加速度大小都为a＝，根据牛顿第二定律，匀减速运动过程中有Ff＝ma，则摩擦力大小相等，v－t图线与时间轴所围成的面积表示物体的位移，则位移之比x1∶x2＝6∶5;对A、B全过程分别运用动能定理得W1－Ffx1＝0，W2－Ffx2＝0，可知，W1∶W2＝6∶5，则W1>W2，根据图像知，A、B两物体匀加速运动的加速度分别为和，根据牛顿第二定律，匀加速运动过程中有F－Ff＝ma'，可得F1＝m，F2＝m，则F1∶F2＝12∶5，故<1，因此I1<I2，综上可知，B正确。 考点二　动量定理的理解和应用 【知识梳理】 对动量定理的理解 (1)Ft＝p'－p是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同。 (2)Ft＝p'－p除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合力的冲量是动量变化的原因。 (3)动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和。 (4)由Ft＝p'－p，得F＝，即物体所受的合力等于物体的动量对时间的变化率。 【典例剖析】 角度1　用动量定理解释生活中的现象 【典例剖析】 例4 (2025·广东佛山模拟)有关高楼坠物的事故报道屡屡见诸报端，一次次事故引发全民关注这“悬在城市上空的痛”。关于坠物，以下说法正确的是(　　) A.坠物下落过程处于超重状态 B.坠物对被砸物体的作用力等于其重力 C.被砸物体很危险是因为坠物的动量变化很大 D.被砸物体很危险是因为坠物的动量变化很快 答案　D 解析　坠物下落过程加速度方向向下，坠物处于失重状态，故A错误;坠物与被砸物体接触后做减速运动，具有向上的加速度，处于超重状态，所以坠物对被砸物体的作用力大于其重力，故B错误;根据动量定理F合t＝Δp，可知被砸物体很危险是因为坠物的动量变化很快，故C错误，D正确。 【解题妙招】 用动量定理解释现象 (1)Δp一定时，F的作用时间越短，力就越大;作用时间越长，力就越小。 (2)F一定，此时力的作用时间越长，Δp就越大;力的作用时间越短，Δp就越小。 角度2　动量定理的有关计算 【典例剖析】 例5 (2024·广东卷，14)汽车的安全带和安全气囊是有效保护乘客的装置。 (1)安全带能通过感应车的加速度自动锁定，其原理的简化模型如图甲所示。在水平路面上刹车的过程中，敏感球由于惯性沿底座斜面上滑直到与车达到共同的加速度a，同时顶起敏感臂，使之处于水平状态，并卡住卷轴外齿轮，锁定安全带。此时敏感臂对敏感球的压力大小为FN，敏感球的质量为m，重力加速度为g。忽略敏感球受到的摩擦力。求斜面倾角的正切值tan θ; (2)如图乙所示，在安全气囊的性能测试中，可视为质点的头锤从离气囊表面高度为H处做自由落体运动，与正下方的气囊发生碰撞。以头锤到气囊表面为计时起点，气囊对头锤竖直方向作用力F随时间t的变化规律，可近似用图丙所示的图像描述。已知头锤质量M＝30 kg，H＝3.2 m，重力加速度大小g＝10 m/s2。求: ①碰撞过程中F的冲量大小和方向; ②碰撞结束后头锤上升的最大高度。 答案　(1)　(2)①330 N·s　竖直向上 ②0.2 m 解析　(1)敏感球受竖直向下的重力mg、敏感臂竖直向下的压力FN以及斜面的支持力FN1，由牛顿第二定律可知(mg＋FN)tan θ＝ma 解得tan θ＝。 (2)①由F－t图像可知碰撞过程中F的冲量大小 IF＝×0.1×6 600 N·s＝330 N·s 方向竖直向上。 ②头锤落到气囊上时的速度v0＝＝8 m/s 与气囊作用过程由动量定理得(取向上为正方向) IF－Mgt＝Mv－(－Mv0) 解得v＝2 m/s 则上升的最大高度h＝＝0.2 m。 【即时训练】 2.(多选)(2024·全国甲卷，20)蹦床运动中，体重为60 kg的运动员在t＝0时刚好落到蹦床上，对蹦床作用力大小F与时间t的关系如图所示。假设运动过程中运动员身体始终保持竖直，在其不与蹦床接触时蹦床水平。忽略空气阻力，重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.t＝0.15 s时，运动员的重力势能最大 B.t＝0.30 s时，运动员的速度大小为10 m/s C.t＝1.00 s时，运动员恰好运动到最大高度处 D.运动员每次与蹦床接触到离开过程中对蹦床的平均作用力大小为4 600 N 答案　BD 解析　根据题图分析可知，t＝0.15 s时，运动员对蹦床作用力最大，则此时运动员下降至最低点，运动员的重力势能最小，A错误;t＝0.30 s时，运动员离开蹦床，做竖直上抛运动，经2 s后，即t＝2.30 s时再次落至蹦床上，根据竖直上抛运动的对称性可知，t＝1.30 s时，运动员运动至最大高度处，根据v＝gΔt可知，运动员在t＝0.30 s时的速度大小v0＝10 m/s，B正确，C错误;对运动员与蹦床一次相互作用过程，根据动量定理有(－mg)Δt＝mv0－(－mv0)，代入数据解得＝4 600 N，D正确。 考点三　应用动量定理处理流体类问题 【知识梳理】 研究 对象 流体类:液体流、气体流等，通常已知密度ρ 微粒类:电子流、光子流、尘埃等，通常给出单位体积内粒子数n 分析 步骤 ①构建“柱体”模型:沿流速v的方向选取一段小柱体，其横截面积为S ②微元研究 小柱体的体积ΔV＝vSΔt 小柱体质量m＝ρΔV＝ρvSΔt 小柱体粒子数N＝nvSΔt 小柱体动量p＝mv＝ρv2SΔt 3 建立方程，应用动量定理FΔt＝Δp研究 【典例剖析】 例6 (2025·湖北襄阳模拟)2024年3月29日，我国研制的朱雀三号可重复使用垂直起降回收验证火箭在酒泉卫星发射中心圆满完成试验任务。若该火箭在距离地面的高度约1 m时，底部配备的4台着陆反推发动机开始点火竖直向下喷气，使火箭在竖直方向上的速度在0.2 s内由8 m/s降到2 m/s。已知反推发动机喷气过程中火箭受到的平均推力大小为F，喷出气体的密度为ρ，4台发动机喷气口的直径均为d，喷出气体的重力忽略不计，喷出气体的速度远大于返回舱的速度。则喷出气体的速度大小为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　以Δt时间内喷出的气体为研究对象，设喷出气体的速度为v，则每台发动机喷出气体的质量为m＝ρ··vΔt，根据牛顿第三定律可得返回舱对气体的作用力为F'＝F，对4台发动机喷出的气体，由动量定理可得F'Δt＝4mv－0，联立解得v＝，故D正确。 【即时训练】 3.(2025·山东青岛模拟)高楼出现火情时，需要一种举高喷射消防车。如图，某高楼离地面65 m处出现火情，消防车正在灭火中。已知水炮炮口与楼房距离为15 m，与地面距离为60 m，水炮每分钟喷出3 m3的水，水柱刚好垂直打中着火房间窗户，水流冲击到窗户玻璃后向四周流散。重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A.水泵对水做功的功率约为3.3×104 W B.水泵对水做功的功率约为3.8×104 W C.水流对窗户玻璃冲击力约为500 N D.水流对窗户玻璃冲击力约为900 N 答案　B 解析　将水喷到窗口的过程的逆向看作是平抛运动，则水喷到窗口时的速度v＝＝x＝15× m/s＝15 m/s，每秒喷出水的质量为 kg/s＝50 kg/s，水泵对水做功的功率约为P＝(gh＋v2)＝50×10×65 W＋×50×152 W≈3.8×104 W，选项A错误，B正确;水喷射到窗户上由动量定理有－FΔt＝0－mv，解得F＝v＝50×15 N＝750 N，选项C、D错误。 【限时训练】（40min） 1.(多选)在光滑水平面上，原来静止的物体在水平力F的作用下，经过时间t、通过位移L后动量变为p，动能变为Ek。以下说法正确的是(　　) A.在F作用下，若这个物体经过位移2L，其动量等于2p B.在F作用下，若这个物体经过位移2L，其动能等于2Ek C.在F作用下，若这个物体经过时间2t，其动能等于2Ek D.在F作用下，若这个物体经过时间2t，其动量等于2p 答案　BD 解析　在光滑水平面上，物体所受合力大小等于F的大小，根据动能定理得FL＝Ek，则物体位移变为原来的2倍，动能变为原来的2倍，根据p＝知，动量变为原来的倍，故A错误，B正确;根据动量定理得Ft＝p，物体运动时间变为原来的2倍，则动量变为原来的2倍，根据Ek＝知，动能变为原来的4倍，故C错误，D正确。 2.(多选)(2023·新课标卷，19)如图，使甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静止于水平桌面上，甲的N极正对着乙的S极，甲的质量大于乙的质量，两者与桌面之间的动摩擦因数相等。现同时释放甲和乙，在它们相互接近过程中的任一时刻(　　) A.甲的速度大小比乙的大 B.甲的动量大小比乙的小 C.甲的动量大小与乙的相等 D.甲和乙的动量之和不为零 答案　BD 解析　根据F－μmg＝ma可得a＝F－μg，因m甲>m乙，故a甲<a乙，则任意时刻甲的速度大小比乙的小，A错误;m甲>m乙，又μ甲＝μ乙，则Ff甲>Ff乙，故甲和乙组成的系统所受合外力向左，合外力的冲量方向向左，即甲的动量大小比乙的小，B、D正确，C错误。 3.(多选)(2025·广东广州模拟)如图甲所示，一个质量m＝1 kg的物块静止在水平面上，现用水平力F向右拉物块，F的大小随时间变化关系如图乙所示。已知物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度大小g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是(　　) A.0~4 s内，重力的冲量大小为0 B.0~4 s内，重力的冲量大小为40 N·s C.4 s末，物块的速度大小为8 m/s D.4 s末，物块的速度大小为9 m/s 答案　BD 解析　0~4 s内，重力的冲量大小为IG＝mgt＝40 N·s，故A错误，B正确;当水平力满足F＝Ff＝μmg＝2 N，即t＝1 s时物块才开始运动，则1~4 s内由F－t图像可知水平力F的冲量大小为IF＝×3 N·s＝15 N·s，由动量定理可得IF－μmgt＝mv，代入数据解得4 s末物块的速度大小为v＝9 m/s，故C错误，D正确。 4.在汽车相撞时，汽车的安全气囊可使头部受伤率减少约25%，面部受伤率减少80%左右。如图所示，某次汽车正面碰撞测试中，汽车以108 km/h的速度撞上测试台后停下，安全气囊在系有安全带的司机的正前方水平弹出，司机用时0.2 s停下。车内司机的质量为50 kg，则下列说法正确的是(　　) A.安全气囊的作用是减小碰撞前后司机动量的变化量 B.安全气囊对司机的作用力小于司机对安全气囊的作用力 C.碰撞过程中安全气囊和安全带对司机的冲量大小为300 N·s D.碰撞过程中安全气囊和安全带对司机的平均作用力大小为7 500 N 答案　D 解析　汽车剧烈碰撞瞬间，安全气囊弹出，立即跟司机身体接触。司机在很短时间内由运动到静止，动量的变化量是一定的，由于安全气囊的存在，作用时间变长，根据动量定理Δp＝FΔt知，司机所受作用力减小，A错误;由牛顿第三定律知，B错误;碰撞过程中安全气囊和安全带对司机的冲量大小I＝Δp＝mΔv＝50×30 N·s＝1 500 N·s，对司机的平均作用力 N＝7 500 N，C错误，D正确。 5.(多选)(2023·广东卷，10)某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型，多个质量均为1 kg的滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力。开窗帘过程中，电机对滑块1施加一个水平向右的恒力F，推动滑块1以0.40 m/s的速度与静止的滑块2碰撞，碰撞时间为0.04 s，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为0.22 m/s，关于两滑块的碰撞过程，下列说法正确的有(　　) A.该过程动量守恒 B.滑块1受到合外力的冲量大小为0.18 N·s C.滑块2受到合外力的冲量大小为0.40 N·s D.滑块2受到滑块1的平均作用力大小为5.5 N 答案　BD 解析　取向右为正方向，滑块1和滑块2组成的系统的初动量为p1＝mv1＝1×0.40 kg·m/s＝0.40 kg·m/s，碰撞后总的动量为p2＝2mv2＝2×1×0.22 kg·m/s＝0.44 kg·m/s，p1≠p2，则滑块的碰撞过程动量不守恒，故A错误;对滑块1，取向右为正方向，则有I1＝mv2－mv1＝1×0.22 kg·m/s－1×0.40 kg·m/s＝－0.18 kg·m/s，负号表示方向水平向左，故B正确;对滑块2，取向右为正方向，则有I2＝mv2＝1×0.22 kg·m/s＝0.22 kg·m/s，故C错误;对滑块2，根据F12Δt＝I2，解得F12＝5.5 N，则滑块2受到滑块1的平均作用力大小为5.5 N，故D正确。 6.(多选)(2025·河北石家庄模拟)如图所示，某航拍小型无人机有四个相同的风扇，每个风扇的半径均为R，当它在无风的天气悬停时，每个风扇都呈水平状态，风扇吹出的空气速度大小都等于v，吹出的空气流动方向相同。已知空气的平均密度为ρ，则无人机悬停时，不考虑其他位置空气流动的影响。下列说法正确的是(　　) A.风扇吹出的空气流动方向竖直向上 B.单位时间内每个风扇吹出的空气的质量为ρπR2v C.无人机的总重力等于4ρπR2v2 D.每个风扇对空气做功的功率为ρπR2v2 答案　BC 解析　无人机悬停时受到的升力与其重力平衡，风扇吹风方向均为竖直向下，故A错误;单位时间内被每个风扇推动的空气质量为＝ρ＝ρπR2v，故B正确;根据动量定理有FΔt＝Δm·v，解得每个风扇对空气的作用力为F＝ρπR2v2，无人机的总重力G＝4F＝4ρπR2v2，故C正确;每个风扇对空气做功的功率为P＝ρπR2v3，故D错误。 7.一宇宙飞船的横截面积为S，以v0的恒定速率航行，当进入有宇宙尘埃的区域时，设在该区域，单位体积内有n颗尘埃，每颗尘埃的质量为m，若尘埃碰到飞船前是静止的，且碰到飞船后就粘在飞船上，不计其他阻力，为保持飞船匀速航行，飞船发动机的牵引力功率为(　　) A.Snm B.2Snm C.Snm D.2Snm 答案　C 解析　时间Δt内粘在飞船上的尘埃质量为M＝v0ΔtSnm，对粘在飞船上的尘埃，由动量定理得FΔt＝Mv0－0，解得飞船对这些尘埃的作用力为F＝Snm;根据牛顿第三定律及平衡条件，可知为保持飞船匀速航行，飞船发动机的牵引力F'＝F，牵引力的功率为P＝F'v0＝Snm，故C正确，A、B、D错误。 8.(2024·重庆卷，4)活检针可用于活体组织取样，如图所示。取样时，活检针的针芯和针鞘被瞬间弹出后仅受阻力。质量为m的针鞘在软组织中运动距离d1后进入目标组织，继续运动d2后停下来。若两段运动中针鞘整体受到的阻力均视为恒力，大小分别为F1、F2，则针鞘(　　) A.被弹出时速度大小为 B.到达目标组织表面时的动能为F1d1 C.运动d2的过程阻力做的功为(F1＋F2)d2 D.运动d2的过程动量变化量大小为 答案　A 解析　对针鞘根据动能定理有－(F1d1＋F2d2)＝－mv2，解得v＝，故A正确;针鞘到达目标组织表面后，继续前进d2减速至零，则针鞘到达目标组织表面的动能Ek＝F2d2，故B错误;针鞘运动d2的过程中，阻力做的功为－F2d2，故C错误;针鞘运动d2的过程中，动量变化量大小Δp＝，故D错误。 9.(2025·黑龙江大庆月考)如图所示为清洗汽车用的高压水枪。设水枪喷出水柱直径为D，水流速度为v，水柱垂直汽车表面，水柱冲击汽车后水的速度为零。手持高压水枪操作，进入水枪的水流速度可忽略不计，已知水的密度为ρ。下列说法正确的是(　　) A.高压水枪单位时间喷出的水的质量为ρπvD2 B.高压水枪单位时间喷出的水的质量为ρvD2 C.水柱对汽车的平均冲力为ρD2v2 D.当高压水枪喷口的出水速度变为原来的2倍时，喷出的水对汽车的压强变为原来的4倍 答案　D 解析　高压水枪单位时间喷出水的质量为m0＝ρV＝ρπ·v＝πρvD2，A、B错误;设汽车对水柱的平均冲力为F，由动量定理得Ft＝mv，即Ft＝ρπvD2t·v，解得F＝ρπv2D2，由牛顿第三定律知水柱对汽车的平均冲力大小为ρπv2D2，C错误;高压水枪喷出的水对汽车产生的压强p＝＝ρv2，则当高压水枪喷口的出水速度变为原来的2倍时，喷出的水对汽车的压强变为原来的4倍，D正确。 10.(2025·北京人大附中模拟)为保证航海安全，海员需进行跳水训练。某次跳水训练中，质量m＝75 kg的海员从距水面h＝5 m的跳台边缘处由静止自由下落，下落过程中双脚并拢，脚尖绷直，身体始终保持竖直。忽略空气阻力，g＝10 m/s2。 (1)求海员从离开跳台到接触水面所用的时间; (2)已知海员本次跳水触水瞬间受到水的作用力方向竖直向上，大小F＝ρCAv2，式中水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，比例系数C＝6，触水瞬间的有效面积A＝1.0×10－3 m2，求海员触水瞬间加速度的大小; (3)若海员从触水到速度减为0用时2 s，求该过程中水对海员平均作用力的大小。 答案　(1)1 s　(2)2 m/s2　(3)1 125 N 解析　(1)海员从离开跳台到接触水面过程中做自由落体运动，有h＝gt2，解得t＝1 s。 (2)海员触水瞬间的速度v＝gt＝10 m/s 设海员触水瞬间的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有mg－F＝ma 又F＝ρCAv2，解得a＝2 m/s2。 (3)规定竖直向下为正方向，设海员受到水的平均作用力大小为，方向竖直向上，由动量定理得 (mg－)t'＝0－mv，解得＝1 125 N。 11.如图所示，蹦床运动员与网作用时，通过“曲腿然后用力蹬网”的动作使自己越蹦越高。某次训练时，一个质量m＝50 kg的蹦床运动员，从静止通过“曲腿然后用力蹬网”，蹦起的最大高度距离水平网面为h1＝0.8 m，之后第1次向下落着网，与网相互作用后沿竖直方向蹦回到离水平网面h2＝1.8 m高处。假设运动员与网接触的时间均为Δt＝0.8 s，从第1次离开水平网面开始，每次运动员与水平网相互作用中消耗的能量相同，不计空气阻力，忽略运动员与蹦床作用时的能量损失，重力加速度g取10 m/s2。 (1)求运动员蹦起后第1次触网过程中动量的变化量Δp; (2)求(1)中运动员对水平网面的平均作用力大小; (3)运动员第2次下落后，与网接触又弹起的这段时间内，求蹦床对运动员的冲量大小(计算结果可以保留根式)。 答案　(1)500 kg·m/s，方向竖直向上　 (2)1 125 N　(3)100(7＋) N·s 解析　(1)设第1次下落触网时的速度大小为v1，有＝2gh1，解得v1＝4 m/s 设蹦回到h2高度前离网时的速度大小为v2，有＝2gh2 解得v2＝6 m/s 取竖直向上为正方向，第1次触网与网接触的时间内动量的变化量Δp＝mv2－(－mv1) 代入数据解得Δp＝500 kg·m/s，方向竖直向上。 (2)取竖直向上为正方向，由动量定理得('－mg)Δt＝Δp 代入数据解得'＝1 125 N 由牛顿第三定律得，运动员对水平网面的平均作用力大小为1 125 N。 (3)每次运动员消耗的能量为E＝mgΔh＝mg(h2－h1)＝500 J 运动员两次提供的能量为2E＝mg(h3－h1) 解得h3＝2.8 m 由＝2gh3得v3＝＝2 m/s 取竖直向上为正方向，由动量定理得I－mgΔt＝mv3－(－mv2) 解得I＝100(7＋) N·s。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 动量守恒定律 第1讲 动量和动量定理 【复习目标】 1.理解动量和冲量的概念，理解动量定理及其表达式。 2.能用动量定理解释生活中的有关现象。 3.会用动量定理进行相关计算，并会在流体力学中建立“柱状”模型。 【考点突破】 考点一　动量和冲量 【知识梳理】 1.动能、动量、动量变化量的比较 动能 动量 动量变化量 特点 状态量 状态量 过程量 关联方程 Ek＝，Ek＝pv，p＝，p＝ 联系 (1)都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系 (2)若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化，但动量发生变化时动能不一定发生变化 2.冲量的计算 (1)恒力的冲量:直接用定义式I＝Ft计算。 (2)变力的冲量 ①平均值法:方向不变的变力的冲量，若力的大小随时间均匀变化，即力为时间的一次函数，则力F在某段时间t内的冲量I＝t，其中F1、F2为该段时间内初、末两时刻力的大小。 ②图像法:作出F－t变化图线，图线与t轴所围的面积即为变力的冲量。如图所示。 ③动量定理法:对于易确定始、末时刻动量的情况，求出该力作用下物体动量的变化量，再由动量定理I＝Δp求解。 角度1　对动量、冲量、动量变化量的理解 【典例剖析】 例1 如图所示，学生练习用脚颠球。某次足球由静止自由下落1.25 m，被重新颠起，离开脚部后竖直上升的最大高度仍为1.25 m。已知足球与脚部的作用时间为0.1 s，足球的质量为0.4 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，则(　　) A.足球下落到与脚部刚接触时动量大小为4 kg·m/s B.足球自由下落过程重力的冲量大小为2 N·s C.足球与脚部作用过程中动量变化量为零 D.脚部对足球的平均作用力为足球重力的9倍 角度2　恒力冲量的计算 【典例剖析】 例2 (多选)(2025·贵州贵阳模拟)如图所示，一个质量为m的物块以初速度v0冲上倾角为θ的斜面，经过时间t速度变为零。物块与斜面间动摩擦因数为μ，重力加速度为g。设初速度方向为正方向，在时间t内，下列说法正确的是(　　) A.物块受到的合力的冲量为mv0 B.物块受到的重力的冲量大小为mgtsin θ C.物块受到的支持力的冲量大小为mgtcos θ D.物块受到的摩擦力的冲量为－μmgtcos θ 角度3　利用F－t图像求冲量 【典例剖析】 例3 (2025·安徽合肥模拟)如图甲所示，质量为0.4 kg的物块在水平力F的作用下由静止释放，物块与足够高的竖直墙面间的动摩擦因数为0.4，力F随时间t变化的关系图像如图乙所示，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。在0~8 s时间内，下列判断正确的是(　　) A.物块运动的最大速度为10 m/s B.物块一直向下运动，且速度不为0 C.t＝6 s时物块距离出发点最远 D.0~4 s内摩擦力的冲量大小为32 N·s 【即时训练】 1.(2025·湖北黄冈高三期中)质量相等的A、B两个物体静置在同一水平面上，分别受到水平拉力F1、F2的作用，经过时间t0和3t0，分别撤去F1和F2，两个物体速度v随时间t变化的图像如图所示，设F1和F2对A、B的冲量分别为I1和I2，F1和F2对A、B做的功分别为W1和W2，下列结论正确的是(　　) A.I1>I2，W1>W2 B.I1<I2，W1>W2 C.I1<I2，W1<W2 D.I1>I2，W1<W2 考点二　动量定理的理解和应用 【知识梳理】 对动量定理的理解 (1)Ft＝p'－p是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同。 (2)Ft＝p'－p除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合力的冲量是动量变化的原因。 (3)动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和。 (4)由Ft＝p'－p，得F＝，即物体所受的合力等于物体的动量对时间的变化率。 【典例剖析】 角度1　用动量定理解释生活中的现象 【典例剖析】 例4 (2025·广东佛山模拟)有关高楼坠物的事故报道屡屡见诸报端，一次次事故引发全民关注这“悬在城市上空的痛”。关于坠物，以下说法正确的是(　　) A.坠物下落过程处于超重状态 B.坠物对被砸物体的作用力等于其重力 C.被砸物体很危险是因为坠物的动量变化很大 D.被砸物体很危险是因为坠物的动量变化很快 【解题妙招】 用动量定理解释现象 (1)Δp一定时，F的作用时间越短，力就越大;作用时间越长，力就越小。 (2)F一定，此时力的作用时间越长，Δp就越大;力的作用时间越短，Δp就越小。 角度2　动量定理的有关计算 【典例剖析】 例5 (2024·广东卷，14)汽车的安全带和安全气囊是有效保护乘客的装置。 (1)安全带能通过感应车的加速度自动锁定，其原理的简化模型如图甲所示。在水平路面上刹车的过程中，敏感球由于惯性沿底座斜面上滑直到与车达到共同的加速度a，同时顶起敏感臂，使之处于水平状态，并卡住卷轴外齿轮，锁定安全带。此时敏感臂对敏感球的压力大小为FN，敏感球的质量为m，重力加速度为g。忽略敏感球受到的摩擦力。求斜面倾角的正切值tan θ; (2)如图乙所示，在安全气囊的性能测试中，可视为质点的头锤从离气囊表面高度为H处做自由落体运动，与正下方的气囊发生碰撞。以头锤到气囊表面为计时起点，气囊对头锤竖直方向作用力F随时间t的变化规律，可近似用图丙所示的图像描述。已知头锤质量M＝30 kg，H＝3.2 m，重力加速度大小g＝10 m/s2。求: ①碰撞过程中F的冲量大小和方向; ②碰撞结束后头锤上升的最大高度。 【即时训练】 2.(多选)(2024·全国甲卷，20)蹦床运动中，体重为60 kg的运动员在t＝0时刚好落到蹦床上，对蹦床作用力大小F与时间t的关系如图所示。假设运动过程中运动员身体始终保持竖直，在其不与蹦床接触时蹦床水平。忽略空气阻力，重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A.t＝0.15 s时，运动员的重力势能最大 B.t＝0.30 s时，运动员的速度大小为10 m/s C.t＝1.00 s时，运动员恰好运动到最大高度处 D.运动员每次与蹦床接触到离开过程中对蹦床的平均作用力大小为4 600 N 考点三　应用动量定理处理流体类问题 【知识梳理】 研究 对象 流体类:液体流、气体流等，通常已知密度ρ 微粒类:电子流、光子流、尘埃等，通常给出单位体积内粒子数n 分析 步骤 ①构建“柱体”模型:沿流速v的方向选取一段小柱体，其横截面积为S ②微元研究 小柱体的体积ΔV＝vSΔt 小柱体质量m＝ρΔV＝ρvSΔt 小柱体粒子数N＝nvSΔt 小柱体动量p＝mv＝ρv2SΔt 3 建立方程，应用动量定理FΔt＝Δp研究 【典例剖析】 例6 (2025·湖北襄阳模拟)2024年3月29日，我国研制的朱雀三号可重复使用垂直起降回收验证火箭在酒泉卫星发射中心圆满完成试验任务。若该火箭在距离地面的高度约1 m时，底部配备的4台着陆反推发动机开始点火竖直向下喷气，使火箭在竖直方向上的速度在0.2 s内由8 m/s降到2 m/s。已知反推发动机喷气过程中火箭受到的平均推力大小为F，喷出气体的密度为ρ，4台发动机喷气口的直径均为d，喷出气体的重力忽略不计，喷出气体的速度远大于返回舱的速度。则喷出气体的速度大小为(　　) A. B. C. D. 【即时训练】 3.(2025·山东青岛模拟)高楼出现火情时，需要一种举高喷射消防车。如图，某高楼离地面65 m处出现火情，消防车正在灭火中。已知水炮炮口与楼房距离为15 m，与地面距离为60 m，水炮每分钟喷出3 m3的水，水柱刚好垂直打中着火房间窗户，水流冲击到窗户玻璃后向四周流散。重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A.水泵对水做功的功率约为3.3×104 W B.水泵对水做功的功率约为3.8×104 W C.水流对窗户玻璃冲击力约为500 N D.水流对窗户玻璃冲击力约为900 N 【限时训练】（40min） 1.(多选)在光滑水平面上，原来静止的物体在水平力F的作用下，经过时间t、通过位移L后动量变为p，动能变为Ek。以下说法正确的是(　　) A.在F作用下，若这个物体经过位移2L，其动量等于2p B.在F作用下，若这个物体经过位移2L，其动能等于2Ek C.在F作用下，若这个物体经过时间2t，其动能等于2Ek D.在F作用下，若这个物体经过时间2t，其动量等于2p 2.(多选)(2023·新课标卷，19)如图，使甲、乙两条形磁铁隔开一段距离，静止于水平桌面上，甲的N极正对着乙的S极，甲的质量大于乙的质量，两者与桌面之间的动摩擦因数相等。现同时释放甲和乙，在它们相互接近过程中的任一时刻(　　) A.甲的速度大小比乙的大 B.甲的动量大小比乙的小 C.甲的动量大小与乙的相等 D.甲和乙的动量之和不为零 3.(多选)(2025·广东广州模拟)如图甲所示，一个质量m＝1 kg的物块静止在水平面上，现用水平力F向右拉物块，F的大小随时间变化关系如图乙所示。已知物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度大小g＝10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是(　　) A.0~4 s内，重力的冲量大小为0 B.0~4 s内，重力的冲量大小为40 N·s C.4 s末，物块的速度大小为8 m/s D.4 s末，物块的速度大小为9 m/s 4.在汽车相撞时，汽车的安全气囊可使头部受伤率减少约25%，面部受伤率减少80%左右。如图所示，某次汽车正面碰撞测试中，汽车以108 km/h的速度撞上测试台后停下，安全气囊在系有安全带的司机的正前方水平弹出，司机用时0.2 s停下。车内司机的质量为50 kg，则下列说法正确的是(　　) A.安全气囊的作用是减小碰撞前后司机动量的变化量 B.安全气囊对司机的作用力小于司机对安全气囊的作用力 C.碰撞过程中安全气囊和安全带对司机的冲量大小为300 N·s D.碰撞过程中安全气囊和安全带对司机的平均作用力大小为7 500 N 5.(多选)(2023·广东卷，10)某同学受电动窗帘的启发，设计了如图所示的简化模型，多个质量均为1 kg的滑块可在水平滑轨上滑动，忽略阻力。开窗帘过程中，电机对滑块1施加一个水平向右的恒力F，推动滑块1以0.40 m/s的速度与静止的滑块2碰撞，碰撞时间为0.04 s，碰撞结束后瞬间两滑块的共同速度为0.22 m/s，关于两滑块的碰撞过程，下列说法正确的有(　　) A.该过程动量守恒 B.滑块1受到合外力的冲量大小为0.18 N·s C.滑块2受到合外力的冲量大小为0.40 N·s D.滑块2受到滑块1的平均作用力大小为5.5 N 6.(多选)(2025·河北石家庄模拟)如图所示，某航拍小型无人机有四个相同的风扇，每个风扇的半径均为R，当它在无风的天气悬停时，每个风扇都呈水平状态，风扇吹出的空气速度大小都等于v，吹出的空气流动方向相同。已知空气的平均密度为ρ，则无人机悬停时，不考虑其他位置空气流动的影响。下列说法正确的是(　　) A.风扇吹出的空气流动方向竖直向上 B.单位时间内每个风扇吹出的空气的质量为ρπR2v C.无人机的总重力等于4ρπR2v2 D.每个风扇对空气做功的功率为ρπR2v2 7.一宇宙飞船的横截面积为S，以v0的恒定速率航行，当进入有宇宙尘埃的区域时，设在该区域，单位体积内有n颗尘埃，每颗尘埃的质量为m，若尘埃碰到飞船前是静止的，且碰到飞船后就粘在飞船上，不计其他阻力，为保持飞船匀速航行，飞船发动机的牵引力功率为(　　) A.Snm B.2Snm C.Snm D.2Snm 8.(2024·重庆卷，4)活检针可用于活体组织取样，如图所示。取样时，活检针的针芯和针鞘被瞬间弹出后仅受阻力。质量为m的针鞘在软组织中运动距离d1后进入目标组织，继续运动d2后停下来。若两段运动中针鞘整体受到的阻力均视为恒力，大小分别为F1、F2，则针鞘(　　) A.被弹出时速度大小为 B.到达目标组织表面时的动能为F1d1 C.运动d2的过程阻力做的功为(F1＋F2)d2 D.运动d2的过程动量变化量大小为 9.(2025·黑龙江大庆月考)如图所示为清洗汽车用的高压水枪。设水枪喷出水柱直径为D，水流速度为v，水柱垂直汽车表面，水柱冲击汽车后水的速度为零。手持高压水枪操作，进入水枪的水流速度可忽略不计，已知水的密度为ρ。下列说法正确的是(　　) A.高压水枪单位时间喷出的水的质量为ρπvD2 B.高压水枪单位时间喷出的水的质量为ρvD2 C.水柱对汽车的平均冲力为ρD2v2 D.当高压水枪喷口的出水速度变为原来的2倍时，喷出的水对汽车的压强变为原来的4倍 10.(2025·北京人大附中模拟)为保证航海安全，海员需进行跳水训练。某次跳水训练中，质量m＝75 kg的海员从距水面h＝5 m的跳台边缘处由静止自由下落，下落过程中双脚并拢，脚尖绷直，身体始终保持竖直。忽略空气阻力，g＝10 m/s2。 (1)求海员从离开跳台到接触水面所用的时间; (2)已知海员本次跳水触水瞬间受到水的作用力方向竖直向上，大小F＝ρCAv2，式中水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，比例系数C＝6，触水瞬间的有效面积A＝1.0×10－3 m2，求海员触水瞬间加速度的大小; (3)若海员从触水到速度减为0用时2 s，求该过程中水对海员平均作用力的大小。 11.如图所示，蹦床运动员与网作用时，通过“曲腿然后用力蹬网”的动作使自己越蹦越高。某次训练时，一个质量m＝50 kg的蹦床运动员，从静止通过“曲腿然后用力蹬网”，蹦起的最大高度距离水平网面为h1＝0.8 m，之后第1次向下落着网，与网相互作用后沿竖直方向蹦回到离水平网面h2＝1.8 m高处。假设运动员与网接触的时间均为Δt＝0.8 s，从第1次离开水平网面开始，每次运动员与水平网相互作用中消耗的能量相同，不计空气阻力，忽略运动员与蹦床作用时的能量损失，重力加速度g取10 m/s2。 (1)求运动员蹦起后第1次触网过程中动量的变化量Δp; (2)求(1)中运动员对水平网面的平均作用力大小; (3)运动员第2次下落后，与网接触又弹起的这段时间内，求蹦床对运动员的冲量大小(计算结果可以保留根式)。 学科网（北京）股份有限公司 $$