精品解析：山西省忻州市部分学校2024-2025学年高三8月阶段性测试数学试题

2025年8月高三年级阶段性测试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则|z|＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为（ ） A. 12 B. 15 C. 17 D. 19 4. 直线与圆交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且9是和的等比中项，则的最小值是（ ） A. B. 36 C. 9 D. 49 7. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 10. 在中，角、、的对边分别为、、，则下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则 D. 若，，，则只有一解 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是，，的中点，点P在线段上，平面，则以下正确的是（ ） A. 与所成角为 B. 点P为线段的中点 C. 三棱锥的体积为 D. 平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则_________. 13. 已知函数，若，则实数的取值范围为______． 14. 设，为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）函数在上的最大值，并确定此时的值． 16. 如图，在正四棱锥中，已知，平面，点在平面内，点在棱上． （1）若点是的中点，证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 17. 如图，椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段的中点，点O为坐标原点.直线与直线相交于点M.已知面积有最大值为. （1）当点M坐标为时，求； （2）证明：. 18. 某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为10%，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. （1）从一批产品中随机抽取4件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； （2）若从另一批产品中随机抽取3件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望； （3）若从某一批次的产品中随机抽取件，记抽到的零部件的次品数为，且为奇数的概率为，求使的的最大值. 注：. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）若为函数的极小值点，求a的取值范围． （3）曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年8月高三年级阶段性测试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以. 故选：B. 2. 已知复数，则|z|＝（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算结合复数的模长公式求解即可. 【详解】， 则. 故选：C. 3. 一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为（ ） A. 12 B. 15 C. 17 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算规则，算出第60百分位数，再算出平均数，列出关于的等式，计算得出的值. 【详解】位置，根据百分位数的计算规则，第60百分位数是第5个数据，即7， 因为这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，所以， 解得. 故选：D 4. 直线与圆交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的相关知识即可求得弦长 【详解】由已知圆，圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 所以 故选： 5. 函数在上单调递增的必要不充分条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在上单调递增，则在上恒成立，再根据二次函数恒成立的等价条件求解即可. 【详解】由函数在上单调递增，得在上恒成立， 则，解得， 因此A是充分条件，B是充要条件，C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件. 故选：D 6. 已知，，且9是和的等比中项，则的最小值是（ ） A. B. 36 C. 9 D. 49 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用等比中项的定义建立方程，得到.通过观察目标式的结构，选择“乘1法”结合基本不等式，求出最小值.确保不等式取等时和的值满足原题条件. 【详解】由题可知，9是和的等比中项，因此，化简得，即，则. 因此，. ，， 由基本不等式可知，当且仅当即，时取等号. 则，当且仅当即，时取等号. 综上，的最小值为. 故选：C. 7. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 8. 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形为等边三角形确定点的坐标，然后可求出的中点的坐标，然后将其代入双曲线中解得离心率. 【详解】因为，所以正三角形的边长为. 所以点在轴上，且，所以. 所以的中点. 因为的中点在双曲线上，所以. 化简得，继续化简得， 解得. 所以解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得出，，即可逐一判断. 【详解】因数列是等差数列， 则，， 则，，则， 则公差（数列是递减数列），，时取得最大值， 故A、D错误；B、C正确； 故选：BC 10. 在中，角、、的对边分别为、、，则下列结论成立的是（ ） A. 若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则 D. 若，，，则只有一解 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，利用三角形的性质和正弦定理，即可判断正误；对B，利用和的性质，可得，再用诱导公式，即可求解；对C，利用正弦定理边转角，得，再利用的性质，即可求解；对于D，利用三角形解的个数的判断方法，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以A正确， 对于选项B，在锐角中，，因为在上单调递增， 所以，所以B正确， 对于C，因为，则， 即，又，则有，所以， 又在区间上单调递增，所以，则，所以C正确， 对于D，若，，，则， 因为，所以，则为锐角或钝角，即有两解，所以D错误． 故选：ABC． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是，，的中点，点P在线段上，平面，则以下正确的是（ ） A. 与所成角为 B. 点P为线段的中点 C. 三棱锥的体积为 D. 平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，连接，得出即为与所成角的平面角即可判断；对于B，连接，证明平面和平面重合即可判断；对于C，利用等体积法求出三棱锥的体积；对于D：先判断出平面截正方体所得截面为正六边形，边长为，即可判断. 【详解】对于A，连接， 因为分别为的中点，所以， 所以即为与所成角的平面角， 在中，，故， 所以与所成角为，故A正确； 对于B，连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 因为平面，平面， 所以平面平面， 而为平面和平面的公共边， 所以平面和平面重合， 所以点即为的交点， 所以点P为线段的中点，故B正确； 对于C：因为平面，所以点到平面的距离相等， 所以，故C错误； 对于D：分别取，，的中点为，连接， 在正方体中，， 所以，所以四点共面， 同理可证：共面， 在棱长为2的正方体中，所以. 同理可求：， 所以平面截正方体所得截面为正六边形，边长为， 面积为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】表示出，由向量垂直的条件，列式解出答案 【详解】因为，， 所以. 因为， 所以， 解得. 故答案为： 13. 已知函数，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，分析该函数的单调性，结合所求不等式可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 由图可知，在上是减函数． 因为，所以，即， 即，解得，所以实数的取值范围为． 故答案为：． 14. 设，为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】首先判断直线与抛物线无交点，过点作轴交于点，过点作交于点，即可得到，再设，，求出的最小值，即可得解. 【详解】由，消去整理得，则， 所以直线与抛物线无交点， 如图过点作轴交于点，过点作交于点， 则（当、重合时取等号）， 设，， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）函数在上的最大值，并确定此时的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）只需根据图形列方程依次求出的值即可； （2），结合三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 由题图知，，则， ∴．又， ∴． ∵，∴，∴，即， ∴的解析式为． 【小问2详解】 由（1）． ∵，∴， ∴当，即时，． 16. 如图，在正四棱锥中，已知，平面，点在平面内，点在棱上． （1）若点是的中点，证明：平面平面； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：由题意可得正四棱锥所有棱长均为，而是的中点， 所以， 又因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需通过证明线面垂直得到面面垂直，即证明平面， （2）先建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，求出平面的法向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，易知两两互相垂直，分别以为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，可得，． 由，得，所以，进而． 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 设二面角S-AC-P的平面角为θ，则， 故二面角的余弦值为． 【点睛】 17. 如图，椭圆C：的离心率为，左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，椭圆上有一动点D（异于A，B），点E为线段的中点，点O为坐标原点.直线与直线相交于点M.已知面积有最大值为. （1）当点M坐标为时，求； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明：设直线AD：，与椭圆C方程联立得，， 又，故，则，， 又，故直线的斜率， 所以，故. 【解析】 【分析】（1）利用题干中的条件先求出椭圆的方程，再设点E的坐标，利用D点在椭圆上即可求出点E坐标，利用两点间的距离公式即可求得结果. （2）设出直线的方程，与椭圆联立得到各个点坐标，利用斜率相乘等于即可证明结论. 【小问1详解】 由题意得，，，解得，， 故椭圆C的方程为. 当点M坐标为时，， 设，则. 代入椭圆方程得解得或0（舍去），即， 又，故. 【小问2详解】 略 18. 某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为10%，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. （1）从一批产品中随机抽取4件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； （2）若从另一批产品中随机抽取3件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望； （3）若从某一批次的产品中随机抽取件，记抽到的零部件的次品数为，且为奇数的概率为，求使的的最大值. 注：. 【答案】（1） （2）的分布列为 1 3 0.27 0.73 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项分布的概率公式可求解； （2）由题意可得的取值依次为1，3，利 二项分布的概率公式可求分布列，进而可求数学期望； （3）由题意得，为奇数的概率为，则为偶数的概率为，利用二项式的展开式可求得，进而计算即可. 【小问1详解】 由已知该批零部件次品率为10%，正品率为， 因为从该批零部件中随机抽取4件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 所以次品数为0件或1件， 所以所求概率为. 【小问2详解】 设抽取的零部件次品数为，则， 所以的取值依次为1，3，， ， ， 所以的分布列为 1 3 0.27 0.73 . 【小问3详解】 由题意得， 为奇数的概率为，则为偶数的概率为， 设， 则， ， 以上两式相减得， 所以. 由得， 所以，， 所以， 所以的最大值为20. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）若为函数的极小值点，求a的取值范围． （3）曲线上是否存在两个不同的点关于y轴对称？若存在，求出此时a的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 不存在，理由如下． 假定曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，设其坐标分别为，，， 则有，即， 化简得． 令，则， 由知函数在上单调递增， 由得，即，这与矛盾， 所以曲线上不存在两个不同的点关于y轴对称. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）按值取正负零分别讨论在0左右两侧值的正负而得解； （3）假定曲线存在两个不同的点关于轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于轴对称，利用导数判断单调性即可得解. 【小问1详解】 ，，， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ， ①若，则，单调递增，无极值，不符合题意． ②若，则当时，，，所以不可能为极小值点，不符合题意． ③若，令，则， 当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减， 则，又，当时，． 若，则， 当时，，当时，，所以为函数的极小值点，符合题意． 若，因为在上单调递增，的值从增到0， 所以直线与曲线在上的图象有公共点，即存在使得， 当时，，即， 所以存在，使得当时，， 当时，，此时为函数的极小值点，符合题意． 综上，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $