精品解析：2024年宁夏吴忠市第六中学九年级数学二模测试卷

吴忠市第六中学23-24学年第二学期九年级数学二模测试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的众数和中位数分别是（ ） 某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次 A. 9.7，9.5 B. 9.5，9.8 C. 9.8，9.8 D. 9.8，9.7 4. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 6. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直角三角板的锐角顶点A落在上，其中，边、分别与交于D、E两点，连接，若的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 10. 计算：_______． 11. 已知实数a，b是方程的两根，则的值为______． 12. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为______． 13. 如图，在一张长方形纸条上画一条数轴，折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是_______． 14. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 15. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为14，则的面积为_______． 16. 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是_______． 三、解答题（每小题6分，共36分） 17. 如图是边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上． （1）在图1中，将补成中心对称图形； （2）图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点D，使得； （3）在图3中，仅用无刻度尺子在线段上找一点M，使得． 18. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15000元，学校需要最少购买多少个足球？ 19. 如图，在中，为对角线，、是上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 为庆祝中国共产党成立周年，文昌中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表： 各组别人数占比情况 组别 成绩范围 频数 A 2 B C 9 D （1）分别求，的值； （2）若把每组中各学生的成绩用该组数据的组中值代替（如～的组中值为），估计全校学生的平均成绩； （3）现要将组的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 21. 如图，一把人字梯立在地面上，，，梯子顶端离地面的高度是1.54米． （1）求的长； （2）移动梯子底端，当是等边三角形时，求顶点上升高度（精确到0.1米）． （参考依据：，，， 22. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜度数y度与镜片焦距x米成反比例，且y与x的反比例函数图象如图所示． （1）当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是多少米？ （2）小明原来佩戴度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为米，则小明的眼镜度数下降了多少度？ 四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，在中，，以BC为直径的⊙O与AC交于点D，DE是⊙O的切线． （1）计算的度数； （2）若，，求线段DE的长． 24. 如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与和的图象交于点，． （1）当时，线段，求，两点的坐标及值． （2）小明同学提出了一个猜想：“当值一定时，面积随值的增大而减小．”你认为他的猜想对吗？请说明理由． 25. 已知二次函数的图象经过原点O和点，其中． （1）当时 ①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ ②当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． （2）当时，在范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由． 26. （1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市第六中学23-24学年第二学期九年级数学二模测试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除法，合并同类项，解题的关键是熟练掌握整式乘除法、乘法公式的性质．根据整式乘除法、乘法公式的性质，对各个选项分别计算，即可得到答案． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 2. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查分式有意义的条件：分母不等于0，据此列不等式求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ ∴， 故选：A． 3. 某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的众数和中位数分别是（ ） 某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次 A. 9.7，9.5 B. 9.5，9.8 C. 9.8，9.8 D. 9.8，9.7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数和众数的知识，理解并掌握中位数和众数的定义是解题关键．将10次射击的成绩按照从小到大的顺序排列，结合中位数和众数的定义即可获得答案． 【详解】解：根据题意，将10次射击的成绩按照从小到大的顺序排列， 为9.3，9.5，9.5，9.5，9.8，9.8，9.8，9.8，10，10， 其中出现次数最多的为9.8，共计4次， ∴这10次成绩的众数是9.8， ∵10次射击的成绩排在第5位和第6位的是9.8和9.8， ∴这10次成绩的中位数是． 故选：C． 4. 七巧板是我国古代的一项发明，被誉为 “东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，关键是设小正方形板的边长，来求解出空白地板和整体正方形地板面积，由于小球不是落在空白区域就是阴影区域，利用减去小球落在空白区域的概率，即可得出结论． 【详解】解：如下图所示，可设小正方形④的边长为， 等腰直角三角形③和⑤相同，且直角边长为， ③与⑤面积和为， 等腰直角三角形⑦面积等于③与⑤的和， ⑦面积为， 等腰直角三角形①和②，直角边长为， ①与②的面积和为， 铺成的正方形地板面积为①面积的倍，即为． 得到空白图形①、②、③、⑤和⑦的面积和为与整体面积的比为， 小球停留在阴影部分的概率为． 故选：． 5. 如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示， 则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 6. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 7. 如图，直角三角板的锐角顶点A落在上，其中，边、分别与交于D、E两点，连接，若的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，先根据圆周角定理得到的度数，然后利用计算是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∴， 故选A． 8. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点P的坐标为， ∴， 即； ∴，， ∴点M的坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： =2（m2-9） =2（m+3）（m-3）． 故答案为：2（m+3）（m-3）． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 10. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂、特殊角的三角函数值、化简绝对值以及实数运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行零指数幂运算、特殊角的三角函数值以及化简绝对值，再进行乘法运算，然后相加减即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11. 已知实数a，b是方程的两根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则． 利用根与系数的关系得到，，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值． 【详解】解：∵实数a，b是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查位似图形的性质． 根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故答案为：． 13. 如图，在一张长方形纸条上画一条数轴，折叠纸条使数轴上表示的点与表示5的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查的是数轴上两点中点的求法． 根据折叠折痕的位置到和5的距离相等即可确定折痕所对应数即为两点的中点，由此求解． 【详解】解：折叠纸条，数轴上表示的点与表示5的点重合，， ∴折痕与数轴的交点表示的数是2 故答案2． 14. 如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______ 【答案】九##9 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提． 根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，， ， ， 而， 这个正多边形为正九边形， 故答案为：九． 15. 如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为14，则的面积为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图-作角平分线、角平分线的性质定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握角平分线的作法和性质是解题关键．过点作于点，点作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质定理可得，利用三角形面积公式可解得，易得，然后计算的面积即可． 【详解】解：如下图，过点作于点，点作于点， 由作图可知，平分， ∴， ∵，的面积为14， 即， 解得， ∴， ∴的面积． 故答案为：20． 16. 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为1~10时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则庚烷分子结构式中“H”的个数是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结归纳出图形变化规律． 根据题意，得到氢原子数目的规律，即可解答． 详解】解：观察，发现规律： 甲烷：氢原子的数目； 乙烷：氢原子的数目； 丙烷：氢原子的数目； ． 则庚烷分子结构式中“”的个数：， 故答案为：16． 三、解答题（每小题6分，共36分） 17. 如图是边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上． （1）在图1中，将补成中心对称图形； （2）在图2中，仅用无刻度尺子在线段上找一点D，使得； （3）在图3中，仅用无刻度尺子在线段上找一点M，使得． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）取格点，使得且，连接，易得四边形为平行四边形，结合平行四边形为中心对称图形，即可获得答案； （2）取格点，使得且，连接，易得四边形为平行四边形；连接，交于点，结合平行四边形的性质“平行四边形的对角线相互平分”，可知，即可获得答案； （3）取格点F，在线段上取点G，使得，且，连接交于点，易得，故有，所以． 【小问1详解】 解：如下图，四边形即为所求； 【小问2详解】 如下图，点D即为所求； 【小问3详解】 如下图，点M即为所求． 18. 为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15000元，学校需要最少购买多少个足球？ 【答案】（1）足球的单价是60元，篮球的单价是90元 ； （2）100 【解析】 【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，根据数量＝总价÷单价，结合用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校可以购买m足球，则可以购买（200﹣m）个篮球，利用总价＝单价×数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过15000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元， 依题意得： ， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意， ∴2x﹣30＝90． 答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元． 【小问2详解】 解：设学校可以购买m个足球，则可以购买（200﹣m）个篮球， 依题意得：60m+90（200﹣m）≤15000， 解得：m≥100， 答：学校最少可以购买100个足球． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 19. 如图，在中，为对角线，、是上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．连接，交于点，先根据平行四边形的性质可得，再证出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】证明：如图，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 20. 为庆祝中国共产党成立周年，文昌中学组织全校学生参加党史知识竞赛，从中任取名学生的竞赛成绩进行统计，绘制了不完整的统计图表： 各组别人数占比情况 组别 成绩范围 频数 A 2 B C 9 D （1）分别求，的值； （2）若把每组中各学生的成绩用该组数据的组中值代替（如～的组中值为），估计全校学生的平均成绩； （3）现要将组的甲、乙、丙、丁四位同学分成两组，每组两人一起合作进行比赛，并随机抽签决定分组．请用树状图或列表法来说明甲、乙两位同学分到同一组的概率． 【答案】（1）， （2）估计全校学生的平均成绩为分 （3）甲、乙两位同学分到同一组的概率为 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法、频数分布表和扇形统计图． （1）由抽取的人数乘以所占的百分比求出，即可求出的值； （2）求出样本平均数，即可得出答案； （3）画树状图，共有种等可能的结果，符合条件的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，则， 【小问2详解】 （分）， 即估计全校学生的平均成绩为82.5分； 【小问3详解】 解析：画树状图如图： 共有12种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有4种， 甲、乙两位同学分到同一组的概率为． 21. 如图，一把人字梯立在地面上，，，梯子顶端离地面的高度是1.54米． （1）求的长； （2）移动梯子底端，当是等边三角形时，求顶点上升的高度（精确到0.1米）． （参考依据：，，， 【答案】（1） （2）顶点A上升的高度约为0.2米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）利用等边三角形的性质可得，然后在利用锐角三角函数的定义求出的长，从而进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∵米， （米， 长约为2米； 【小问2详解】 解：当是等边三角形时，， ∵米， （米， 顶点上升的高度（米， 顶点上升的高度约为0.2米． 22. 很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米成反比例，且y与x的反比例函数图象如图所示． （1）当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是多少米？ （2）小明原来佩戴度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为米，则小明的眼镜度数下降了多少度？ 【答案】（1）当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是米 （2）小明的眼镜度数下降了度 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，求得反比例函数解析式并将矫正治疗后所配镜片焦距调整为代入反比例函数求出矫正后的度数是解题的关键． （1）先设近视眼镜的度数y度与镜片焦距x解析式为：，由函数图象可得，再将代入即可求解； （2）将代入即可求得焦距为米时近视眼镜的度数，再与度作比较即可求解． 【小问1详解】 解：设近视眼镜的度数y度与镜片焦距x解析式为：， 由函数图象可得：， 解得：， 则近视眼镜的度数y度与镜片焦距x解析式为：， 当时，， 解得：， 当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是米； 【小问2详解】 将代入得 ， ， 故小明的眼镜度数下降了度． 四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 如图，在中，，以BC为直径的⊙O与AC交于点D，DE是⊙O的切线． （1）计算的度数； （2）若，，求线段DE的长． 【答案】（1）90° （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，BD，由直径所对圆周角等于90度得∠BDO+∠ODC=∠BDC=90°，再由切线的性质得∠BDE+∠BDO=∠ODE=90°，所以∠BDE=∠ODC，∠ADE=∠BDO，然后由OB-OC，则∠C=∠ODC，BA=BC，则∠C=∠A，所以∠A+∠ADE=90°，最后由三角形内角和定理即可求解； （2）由（1）知：∠AED=∠ADB=90°，则tan∠A===，所以AD=2BD，AE=2DE，又因为AB=BC=2，在Rt△ADB中，由勾股定理，可求出BD=2，AD=4，再在Rt△ADE中，由勾股定理可求出DE长． 【小问1详解】 解：如图，连接OD，BD， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDO+∠ODC=∠BDC=90°， ∴∠BDE+∠ADE=∠BDA=90°， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠BDE+∠BDO=∠ODE=90°， ∴∠BDE=∠ODC，∠ADE=∠BDO， ∵OD=OC， ∴∠C=∠ODC， ∴∠C+∠ADE=∠C+∠BDO=90°， ∵BA=BC， ∴∠C=∠A， ∴∠A+∠ADE=90°， ∴∠AED=180°-（∠A+∠ADE）=90°； 【小问2详解】 解：由（1）知：∠AED=∠ADB=90°， ∴tan∠A===， ∴AD=2BD，AE=2DE， ∵AB=BC=2， ∴Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2， ∴（2BD）2+BD2=（2）2， ∴BD=2， ∴AD=4， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD2， （2DE）2+DE2=42， ∴DE=． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，正切的定义，熟练掌握切线的性质、圆周角定理的推论、正切的定义是解题的关键． 24. 如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与和的图象交于点，． （1）当时，线段，求，两点的坐标及值． （2）小明同学提出了一个猜想：“当值一定时，的面积随值的增大而减小．”你认为他的猜想对吗？请说明理由． 【答案】（1）点为，点 为，的值为． （2）小明猜想不正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，三角形面积，一次函数的性质等知识点，其中理解反比例函数的几何意义是解题的关键． （1）由过点作轴的垂线叫解析式为、两点可知：当点为，则点坐标为，点坐标为，再将，代入计算即可求解． （2）根据题意列出的关系式，再根据公式代入化简即可得出结论． 【小问1详解】 由题意可知：点为，则点坐标为，点坐标为． 当时，则点为，点 为， ． ． ． ． ． 点为，点 为，的值为． 【小问2详解】 由题意可知：，． ． 值一定， 的面积一定， 小明猜想不正确． 25. 已知二次函数的图象经过原点O和点，其中． （1）当时 ①求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ ②当和时（），函数值相等，求m，n之间的关系式． （2）当时，在范围内，y是否存在最大值18？若存在，求出相应的t和x的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；当时，有最大值为；； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （）当时，求出点坐标，利用待定系数法即可求出函数解析式，根据函数解析式即可求出二次函数的顶点坐标，进而解答问题； 根据和时，函数值相等，得出等式，然后整理化简即可得到m与n之间的关系式； （）求出二次函数的对称轴，由二次函数图象经过原点和点，可得，分和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解： 当时，， 把、代入得， ， ∴， ∴二次函数为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； ∵和时，函数值相等， ∴， 整理得，， ∵，则， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象经过原点， ∴， ∴二次函数， ∴对称轴为直线， ∵二次函数的图象经过原点和点， ∴， 当时，对称轴， ∵， ∴时，有最大值， 即， 整理得，， ∴或， ∵ ∴， ∴或不合，舍去； 当时，对称轴， ∵， ∴在对称轴的左侧，的值随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值， 即， 解得， ∴， ∴； 综上，，． 26. （1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． （2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． （3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【小问1详解】 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； 【小问2详解】 解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； 【小问3详解】 解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $