四川省巴中市南江县实验中学2024-2025学年初二下期入学考试数学试题

试卷第 1 页，总 5 页 南江县实验中学 2025 年春学期寒假大专题训练 八年级数学试卷 命题人：谭利民 审题人：张倩 一、 选择题（本题共计 12 小题 ，每题 4 分 ，共计 48 分 ） 1.下列各组数中，是勾股数的是（ ） A.1，√3，2 B.5，12，13 C.6，7，8 D.8，24，25 2.有下列各数：0.456， 3𝜋 2 ，(−𝜋)0，3.141926，0.1010010001…（相邻两个1之间0的 个数逐次加1），√4，√10，其中是无理数的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆， 图中的字母是它们的面积其中𝑆2 = 6𝜋，𝑆3 = 10𝜋，则𝑆1为（ ） A.8𝜋 B.4𝜋 C.16𝜋 D.4 4.下列计算正确的是（ ） A.√(−4)2 = −4 B.√−6 3 = √6 3 C.√49 = ±7 D.−√0.49 = −0.7 5.在正方形网格中，点𝐴、𝐵、𝐶的位置如图所示，建立适当的直角坐 标系后，点𝐵，𝐶的坐标分别是(−3,1)，(−2, −1)，则点𝐴在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角 线长为半径画弧，与数轴交于点𝐴，则点𝐴表示的数是（ ） A.−1.5 B.−√2 C.√2 D.−√3 7.我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证 明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．下面四幅图中，不能证明勾股定 理的是（ ） A. B. C. D. 8.下列命题中：①无理数都是无限小数；②√16的平方根是±4 ；③无理数与数轴上 的点一一对应；④两个无理数的和一定是无理数；正确的语句个数是 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.已知点(𝑚, 𝑛) 在第二象限，则函数𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑛的图象在平面直角坐标系中的位置大 试卷第 2 页，总 5 页 致是（ ） A. B. C. D. 10.小红同学对数据24，48，23，24，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的 个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 11.如图，直线𝑙1: 𝑦 = 3𝑥 − 1与直线𝑙2: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛相交于点𝑃(1, 𝑏)，则关于𝑥，𝑦的方 程组{ 𝑦 = 3𝑥 − 1 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 的解为（ ） A.{ 𝑥 = 1 𝑦 = 2 B.{ 𝑥 = 2 𝑦 = 1 C.{ 𝑥 = −1 𝑦 = 2 D.{ 𝑥 = 1 𝑦 = 4 12.某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个．每副 太阳镜需要2片镜片和1个镜架配成一套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产 品配套？设安排𝑥名工人生产镜片，𝑦名工人生产镜架，则可列方程组（ ） A.{ 𝑥 + 𝑦 = 60 2 × 200𝑥 = 50𝑦 B.{ 𝑥 + 𝑦 = 60 200𝑥 = 50𝑦 C.{ 𝑥 + 𝑦 = 60 2 × 50𝑥 = 200𝑦 D.{ 𝑥 + 𝑦 = 60 200𝑥 = 2 × 50𝑦 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 4 分 ，共计 24 分 ） 13.在函数𝑦 = 𝑥 √𝑥+4 中，自变量𝑥的取值范围是_____________． 14.√9的平方根是____________． 15.若一组数据“4, 𝑎, 5,6, 𝑏”的平均数是5，众数是5，则这组数据的方差____________． 16.一个等腰三角形的两条边分别为𝑚和𝑛，且满足|𝑚 − 4| + √𝑛 − 6 = 0，则等腰三角 形的周长等于_____________ 17.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我 国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1 所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正 方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为 1，则图中的大正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为___________． 18.如图，将长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，使点𝐵落在边𝐴𝐷 的延长线上的𝐵′处，𝐹𝐵′经过𝐶𝐷的中点𝑀，其中𝐴𝐵 = 8， 𝐴𝐵′ = 16，则𝐶𝐹 =____________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计 78 分 ） 19.计算（每题 5 分，共计 10 分） （1）：(−1)2025 + (− 1 3 ) −1 − (2 − √3) 0 + (√3 − 2)(√3 + 2)． 试卷第 3 页，总 5 页 （2）：( 1 2 √8 + 6√ 2 9 − 8√ 1 2 ) ÷ √2． 20.按要求解方程组．（每题 5 分，共计 10 分） （1）{ 5𝑥 − 3𝑦 = 18 2𝑥 + 𝑦 = 5 （代入法）； （2）{ 2𝑥 + 3𝑦 = 10 4𝑥 + 𝑦 = 5 （加减法） 21.（共计 8 分）综合与实践活动课上，老师让同学们以“平行线的等角转化功能”为主 题开展数学活动，已知直线𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷，点𝐸是𝐴𝐵和𝐶𝐷之间任意一点，连结𝐵𝐸、𝐶𝐸，完 成下面任务． 【任务一】(1)如图1，已知∠𝐵 = 45∘，∠𝐵𝐸𝐶 = 70∘，过点𝐸作𝐸𝐹 // 𝐴𝐵，求∠𝐶的度数； 【任务二】(2)如图2，∠𝐵 − ∠𝐶 = 90∘，判断𝐵𝐸与 𝐶𝐸的位置关系，并说明理由． 22.（共计 8 分）如图，在平面直角坐标系内，已知点 𝐴(−4,1)，𝐵(−2,4)，𝐶(−1,2)，点𝑃(𝑚 + 4, −5𝑚 − 6)，𝑃𝐵平 行于𝑥轴． （1）求出点𝑃的坐标； （2）作出△ 𝐴𝐵𝐶关于𝑦轴对称的△ 𝐴1𝐵1𝐶1； （3）在𝑦轴上找一点𝑄，使得2𝑆△𝐵𝐶𝑃 = 𝑆△𝐵𝑃𝑄，请直接写出点 𝑄的坐标_____． 23.（共计 10 分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从 七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描 述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用𝑥表示，共分成四组：𝐴．60 < 𝑥 ≤ 70；𝐵．70 < 𝑥 ≤ 80；𝐶．80 < 𝑥 ≤ 90；𝐷．90 < 𝑥 ≤ 100），下面给出了部分信 息： 试卷第 4 页，总 5 页 七年级20名学生的竞赛成绩为： 64，71，74，78，81，82，82，82，82，86， 86，87，88，92，93，97，98，98，99，100 八年级20名学生的竞赛成绩在𝐶组的数据是：83，83，83，86，87，88，89，90 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 86 86 中位数 86 𝑏 众数 𝑎 83 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中𝑎 =______，𝑏 =______，𝑚 =______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩 较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计 该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀(𝑥 > 90)的学生人数一共是多少？ 24.（共计 10 分）（1）已知4𝑎 − 11的平方根是±3,3𝑎 + 𝑏 − 1的算术平方根是1，𝑐是 √20的整数部分，求−2𝑎 + 𝑏 − 𝑐的立方根． （2）已知𝑎、𝑏、𝑐在数轴上的位置如图所示，化简√𝑎2 − |𝑎 + 𝑏| + √(𝑎 − 𝑐)2 + |𝑏 − 𝑐| 25.（共计 10 分）定义：我们将(√𝑎 + √𝑏)与(√𝑎 − √𝑏)称为一对“对偶式”．因为 (√𝑎 + √𝑏)(√𝑎 − √𝑏) = (√𝑎) 2 − (√𝑏) 2 = 𝑎 − 𝑏，可以有效的去掉根号，所以有一些题 可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知√12 − 𝑥 − √8 − 𝑥 = 2，求√12 − 𝑥 + √8 − 𝑥的值，可以这样解答： 试卷第 5 页，总 5 页 因为(√12 − 𝑥 − √8 − 𝑥) × (√12 − 𝑥 + √8 − 𝑥) = (√12 − 𝑥) 2 − (√8 − 𝑥) 2 = 12 − 𝑥 − 8 + 𝑥 = 4， 所以√12 − 𝑥 + √8 − 𝑥 = 2． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）已知：√18 − 𝑥 + √6 − 𝑥 = 6，则√18 − 𝑥 − √6 − 𝑥 =______； （2）化简： 1 √5+√3 =______； （3）计算： 1 √1+√3 + 1 √3+√5 + 1 √5+√7 +⋅⋅⋅ + 1 √2023+√2025 ． 26.（共计 12 分）如图1，直线𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏与𝑦轴交于点𝐴(0,6)，与𝑥轴交于点𝐵(3,0)， 直线𝑦 = −𝑥以每秒1个单位长度的速度向上平移，平移时交线段𝑂𝐴于点𝐷，交线段𝑂𝐵 于点𝐶，当点𝐶与点𝐵重合时结束运动，设运动时间为𝑡(𝑠)． （1）求出直线𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏的关系式； （2）当𝑡 = 1时，𝑃是直线𝐶𝐷上一点，当△ 𝐴𝐶𝑃的面积等于△ 𝐴𝑂𝐵的面积时，求点𝑃的 坐标； （3）如图2，在直线𝑦 = −𝑥运动过程中，过点𝐷作𝐷𝐸 ⊥ 𝑦轴交𝐴𝐵于点𝐸，连接𝐶𝐸，当 △ 𝐶𝐷𝐸为等腰三角形时，求𝑡的值．