21.2.3 因式分解法同步教学讲义（知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2.3 因式分解法同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法的概念：使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.因式分解的方法： ①提公因式法：am+bm=m(a+b)； ②公式法：平方差公式：a2-b2 =(a+b)(a-b) ； 完全平方公式：a2-2ab+b2 =(a-b) 2 ,a2+2ab+b2 =(a+b) 2 ； ③十字相乘法：x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)。 3.因式分解法求解一元二次方程的步骤： 一移：使方程的右边为0； 二分：将方程的左边因式分解； 三化：将方程化为两个一元一次方程； 四解：写出方程的两个解. 简记口诀：右化零，左分解；两因式，各求解. 知识点02：选用适当的方法解方程 一元二次方程的解法选择基本思路： 题型1：因式分解解一元二次方程 【例1】一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【练1】一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【练2】已知方程，代数式的值（ ） A．0 B．或2 C．0或4 D．4 题型2：换元法解一元二次方程 【例1】已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【练1】关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【练2】已知，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．或2 一、单选题 1．一元二次方程的根是（       ） A． B． C．或 D．或 2．用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 4．若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 5．已知，则的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．3或 6．方程解的个数（   ） A． B． C． D． 7．用因式分解法解下列方程，正确的是（   ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 8．关于的方程均为常数，的解是，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一元二次方程的解是 ． 10．定义新运算：，若，则的值为 ． 11．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 12．已知关于x的一元二次方程的两个根恰好分别是直角的两边长，则的面积为 ． 13．若方程的一个根为0，则另一个根为 ． 14．对于实数，我们定义新运算※，则方程※的解为 ． 15．方程的解是 ． 16．对于实数a、b，规定新运算．例如：．若，则 ． 三、解答题 17．解方程： (1) (2)． 18．如果是一元二次方程的一个解，求另外一个解和值． 19．关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求c的取值范围． 20．解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学： 两边同时除以， 得， 则． 乙同学： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)解一元二次方程的基本思想是____________（填“降次”或“消元”）； (2)请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.3 因式分解法同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法的概念：使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.因式分解的方法： ①提公因式法：am+bm=m(a+b)； ②公式法：平方差公式：a2-b2 =(a+b)(a-b) ； 完全平方公式：a2-2ab+b2 =(a-b) 2 ,a2+2ab+b2 =(a+b) 2 ； ③十字相乘法：x2+(m+n)x+mn=(x+m)(x+n)。 3.因式分解法求解一元二次方程的步骤： 一移：使方程的右边为0； 二分：将方程的左边因式分解； 三化：将方程化为两个一元一次方程； 四解：写出方程的两个解. 简记口诀：右化零，左分解；两因式，各求解. 知识点02：选用适当的方法解方程 一元二次方程的解法选择基本思路： 题型1：因式分解解一元二次方程 【例1】一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 或， ， 故选：B． 【练1】一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解的方法求解方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ，， 故选：B． 【练2】已知方程，代数式的值（ ） A．0 B．或2 C．0或4 D．4 【答案】C 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，由题意得或，即可求解． 【详解】解：， 或， 当时，解得， 此时， 代数式的值为0或4， 故选C． 题型2：换元法解一元二次方程 【例1】已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 【练1】关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的结构相同，则解相同是解题的关键．通过换元法，将新方程转化为原方程的形式，从而利用已知解推导出新解． 【详解】解：∵原方程 的解为 ，， ∴令新方程 中的 ，则方程变为 ，与原方程形式相同， ∴新方程的 解与原方程的 解相同，即 或 ， ∴ 或， ∴此时新方程解得 或 ； 故选：B ． 【练2】已知，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握相关运算方法为解题关键，先将方程变为，令， 得到一个一元二次方程，求出t的值，再根据即可得出结果 【详解】解：， ， 令， ， 解得：或， ， （舍去）， 的值是3， 故选：B 一、单选题 1．一元二次方程的根是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： ， 或， 所以或． 则一元二次方程的根是或． 故选：C． 2．用十字相乘法解一元二次方程，变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 直接根据十字相乘法求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 3．方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解． 【详解】解：由方程，得或， 解得，． 故选：C． 4．若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可． 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 5．已知，则的值是（   ） A． B．4 C．或4 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，则由原方程，得，解方程求得t值，即可得的值. 【详解】解：设，则由原方程，得， 整理，得， 解得或． ∴或； 故选C． 6．方程解的个数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题涉及绝对值方程的求解，需要根据绝对值的性质，分情况讨论去掉绝对值符号，将方程转化为一元二次方程来求解，然后判断根的个数． 【详解】解：①当时， 此时，原方程可化为， ∵，，， ∴由求根公式， 解得：或， ∵， ∴； ②当时， 此时，原方程可化为， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， 综上，方程有两个根和． 故选：B． 7．用因式分解法解下列方程，正确的是（   ） A．，或 B．，或 C．，或 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，掌握方法是解题的关键． 因式分解法要求方程右边为时，才能将左边因式分解分别等于；需逐一验证各选项是否符合该条件． 【详解】解：选项A： 方程，根据因式分解法，即或， 故选项A正确． 选项B： 方程，右侧非0，不能直接令各因式等于1． 故选项B错误． 选项C： 方程，右侧为6， 故选项C错误． 选项D： 方程，应分解为或， 但选项仅给出，漏解， 故选项D错误． 故选：A． 8．关于的方程均为常数，的解是，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的来求解．此题主要考查了换元法解一元二次方程，注意由两个方程的特点进行简便计算是解题的关键． 【详解】解：已知方程 的解为 ，． 对于新方程 ，可令 ， 则方程变为 ，与原方程形式相同． 故方程的解为 或 ，即： 或 ． 解得： 或 故方程的解是，． 故选：B． 二、填空题 9．一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 ∴，． 故答案为：，． 10．定义新运算：，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意． 根据题意，可得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 11．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，再根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 当时，三边为3，4，6，能组成三角形， ∴这个三角形的周长为； 当时，三边为2，3，6，不能组成三角形． 故答案为：13． 12．已知关于x的一元二次方程的两个根恰好分别是直角的两边长，则的面积为 ． 【答案】6或10 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，也考查了三角形的面积．先利用因式分解解方程得到或，再讨论：当斜边为5时，利用勾股定理计算出另一条直角边的长度，然后计算此时三角形的面积；当直角边为5时，直接计算三角形的面积． 【详解】解：， ∴， ∴或， 当斜边为5时，另一条直角边的长度为， 所以的面积， 当直角边为5时，的面积， 综上所述，的面积为6或10． 故答案为：6或10． 13．若方程的一个根为0，则另一个根为 ． 【答案】1 【分析】本题考查解一元二次方程因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程． 利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 或， ，， 另一个根是1． 故答案为：1． 14．对于实数，我们定义新运算※，则方程※的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算与一元二次方程的求解，解题的关键是根据新运算规则将方程转化为常规一元二次方程． 依据新运算※，把※转化为，得到方程后求解． 【详解】解：方程为，解得． 15．方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据因式分解解一元二次方程的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴，， 解得：，． 故答案为：， 16．对于实数a、b，规定新运算．例如：．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了新运算和解一元二次方程的应用，解此题的关键是得出关于x的一元二次方程，题目比较好，难度适中．先阅读新运算，根据新运算得出，求出方程的解即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 三、解答题 17．解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵, ∴ 解得，． （2）解：∵， ∴ 解得，． 18．如果是一元二次方程的一个解，求另外一个解和值． 【答案】另外一个解为， 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入中，求出b的值，进而求解一元二次方程即可． 【详解】将代入中，得， 解得， 故一元二次方程为， 即， 则另外一个解为． 19．关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：（1）当时，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程无实数根是解题的关键． （1）把代入一元二次方程，求出的值即可； （2）根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴方程可化为， ∴， 解得； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：． 20．解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学： 两边同时除以， 得， 则． 乙同学： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)解一元二次方程的基本思想是____________（填“降次”或“消元”）； (2)请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)降次 (2)都错误．见解析， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是解题过程中注意符号的选择． （1）根据解一元二次方程的思想是降次直接选即可得到答案； （2）根据一元二次方程的解法直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：解一元二次方程的基本思想是降次， 故答案为：降次； （2）解：都错误． 正确的解答过程如下： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$