21.2.2 公式法同步教学讲义（知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2.2 公式法同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：一元二次方程根的判别式 1. 定 义： 一 般 地，式 子叫 做 一 元 二 次 方 程 ax 2+bx+c根的判别式，通常用希腊字母“Δ ”表示它，即 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 (1) Δ >0 方程有两个不等的实数根； (2) Δ =0 方程有两个相等的实数根； (3) Δ <0 方程没有实数根 . 知识点02：用公式法解一元二次方程 1. 求 根 公 式 的 定 义： 当 ∆ ≥ 0 时， 方 程 ax 2+bx+c=0(a ≠ 0)的实数根可写为 x= 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax 2+bx+c=0的求根公式 . 2. 公式法 (1) 定义： 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. (2)用公式法解一元二次方程的步骤 题型1： 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例1】下列一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【练1】关于x的一元二次方程 的根的情况是 （    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【练2】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 题型2： 根据一元二次方程根的情况求参数 【例1】已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(　 　) A． B． C．且 D．且 【练1】若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【练2】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．3 题型3： 用公式法解一元二次方程 【例1】方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【练1】下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 【练2】用公式法解方程，下列代入公式正确的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 4．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 5．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 7．若关于x的方程有实数根，则m的范围是（　　） A． B． C． D． 8．下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 9．一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下面是嘉淇在学习了直接开平方法解方程时做的4个小题，其中正确的有（   ） ①，解方程，得； ②，解方程，得，； ③，解方程，得，； ④，解方程，得，，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 12．关于x的方程有实数根，则m应满足的条件是 ． 13．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 14．嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ． 15．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ． 16．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 17．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 18．定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)． 20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求的值． 22．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.2 公式法同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：一元二次方程根的判别式 1. 定 义： 一 般 地，式 子叫 做 一 元 二 次 方 程 ax 2+bx+c根的判别式，通常用希腊字母“Δ ”表示它，即 2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 (1) Δ >0 方程有两个不等的实数根； (2) Δ =0 方程有两个相等的实数根； (3) Δ <0 方程没有实数根 . 知识点02：用公式法解一元二次方程 1. 求 根 公 式 的 定 义： 当 ∆ ≥ 0 时， 方 程 ax 2+bx+c=0(a ≠ 0)的实数根可写为 x= 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax 2+bx+c=0的求根公式 . 2. 公式法 (1) 定义： 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. (2)用公式法解一元二次方程的步骤 题型1： 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【例1】下列一元二次方程有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．分别计算出四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断各方程根的情况即可． 【详解】解：A．，，方程有2个不相等的实数根，所以A选项不符合题意； B．，方程没有实数根，所以B选项不符合题意； C．，方程有2个不相等的实数根，所以C选项不符合题意； D．，方程有2个相等的实数根，所以D选项符合题意． 故选：D． 【练1】关于x的一元二次方程 的根的情况是 （    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】先确定方程中、、的值，再计算根的判别式，根据与的大小关系来判断即可．本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式 及根据其值判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：方程中，，， ， 方程有两个不相等的实数根 故选：D ． 【练2】关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键．先求出的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 题型2： 根据一元二次方程根的情况求参数 【例1】已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(　 　) A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：D． 【练1】若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 【练2】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A．6 B．4 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故选：D． 题型3： 用公式法解一元二次方程 【例1】方程的两个根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式． 利用一元二次方程的求根公式进行求解即可． 【详解】解：，， ， 根据求根公式得， ， ∴，， 故选：A． 【练1】下列一元二次方程的根是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案． 【详解】A、中，，不符合题意； B、中，，不符合题意； C、中，，不符合题意； D、中，，符合题意． 故选：D． 【练2】用公式法解方程，下列代入公式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程整理为标准形式后，确定各项系数，代入求根公式即可． 【详解】解：原方程 移项得标准形式 ， 对应 ，，． 一元二次方程求根公式为 ． 代入系数： 选项D：分子为 即 ，分母为 ，根号内为 ，完全正确． 而其他选项均存在系数或符号错误． 故答案为：D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的公式法，熟记公式是解题的关键． 一、单选题 1．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于的方程，求解方程即可． 【详解】解：， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：． 故选：B． 2．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程无实数根．根据方程的系数结合根的判别式，得出关于的一元一次不等式，并解不等式得出的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴． 故选：B． 3．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程根的判别式进行解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴一元二次方程没有实数根． 故选：C． 4．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是根的判别式，一元二次方程的定义，根据题意得出关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 5．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，解题关键是掌握求一元二次方程根的情况的方法． 根据一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，列出式子求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：B． 7．若关于x的方程有实数根，则m的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程——直接开平方法，根据能用直接开平方法求解的一元二次方程的特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，因为关于x的方程有实数根， 所以， 解得． 故选：D． 8．下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，方程有两个实数根，但不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； B、，方程有两个实数根，但不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； C、，不能判断一定大于零，即不一定有两个不相等的实数根，该选项不符合题意； D、，方程一定有两个不相等的实数根，该选项符合题意； 故选：D． 9．一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，完全平方公式，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．由方程有两个相等的实数根可得，即，再由可得，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 10．下面是嘉淇在学习了直接开平方法解方程时做的4个小题，其中正确的有（   ） ①，解方程，得； ②，解方程，得，； ③，解方程，得，； ④，解方程，得，，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程，根据判别式判断方程的解即可． 【详解】①， ∵ ∴原方程在实数范围内无解，故错误； ②， 解得，，故错误； ③， ∴原方程在实数范围内无解，故错误； ④， 解得，故正确． 综上所述，其中正确的有1个． 故选：A． 二、填空题 11．已知方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式即可进行解答． 【详解】解：根据题意得： ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 12．关于x的方程有实数根，则m应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】需要分类讨论：①当该方程是一元一次方程时，二次项系数；②当该方程是一元二次方程时，二次项系数，；综合①②即可求得m满足的条件． 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解答本题要注意分类讨论，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【详解】解：①当关于x的方程是一元一次方程时， ， 解得，； ②当是一元二次方程时， ，且， 解得，且； 综合①②知，m满足的条件是． 故答案为：． 13．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意得，解方程即可．解题的关键是掌握：根的判别式是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴实数的值是． 故答案为：． 14．嘉阳准备解一元二次方程，发现常数项“”印刷不清楚，嘉阳妈妈看了该题的答案后说：“这个方程是有实数根的．”则印刷不清楚的常数项“”可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查根的判别式，设常数项“”为，根据方程的系数，结合根的判别式，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的任意一值，即可得出结论．牢记“当方程有实数根”是解题的关键． 【详解】解：设常数项“”为，则， ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴常数项“”可能是． 故答案为：（答案不唯一）． 15．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据“关于x的方程有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可． 本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 故答案为： 16．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 17．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 18．定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解题中新运算定义是解答的关键．先根据题意得到方程，再根据方程解的情况得到，进而解不等式求解即可． 【详解】解：由题意，可化为，即， ∵该方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ，，， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， ， 20．已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等实数根，可知，然后即可求得的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【详解】（1）解： 方程有两个不相等实数根， ， 解得； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 方程为， 解得，， 方程的另一个根是． 21．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）求出，从而得证； （）将代入方程得：，然后求出的值即可． 【详解】（1）证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得：， 解得：， ∴的值为． 22．已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． (1)求m的取值范围； (2)已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)且 (2)10 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质； （1）利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围； （2）利用等腰三角形的性质，可得出，进而可得出，解之可得出m的值，将其代入原方程，可求出，的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论． 【详解】（1）解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； （2）解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$