21.2.1 配方法 同步教学讲义（知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2.1 配方法同步教学讲义同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：直接开平方法 1.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 2.形如x2＝p或（nx+m）2＝P（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 3.注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点02：配方法解一元二次方程 1. 定义： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法 . 2. 方程 x 2=p 的解（根）的情况 （1）当 p>0 时，方程有两个不等的实数根 x 1=－ ， x 2= ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x 1=x 2=0； （3）当 p<0 时，方程没有实数根 . 题型1： 直接开方法 【例1】下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【练1】若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 【练2】一元二次方程的解为：（　　） A． B． C． D．无实数解 题型2： 配方法 【例1】用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【练1】用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 题型2： 配方法的应用 【例1】用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（    ） A．5 B． C． D．2 【练1】已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 一、单选题 1．一元二次方程配方后是（　　） A． B． C． D． 2．把一元二次方程配方成的形式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．把方程化成的形式，则（   ） A．17 B．14 C．11 D．7 4．老师出示问题：“解方程．”四位同学给出了各自的答案．小琪：；子航：；一帆：；萱萱：．你认为谁的答案正确？你的选择是（   ） A．小琪 B．子航 C．一帆 D．萱萱 5．方程的两个根是（   ） A． B． C． D． 6．下列方程中，能用直接开平方法解的是（   ） A． B． C． D． 7．用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（   ） A．4 B．9 C．12 D．14 8．用配方法解方程，正确的解法是（   ） A． B． C．，原方程无解 D． 二、填空题 9．方程的根是 ． 10．若关于的一元二次方程可配成的形式， ． 11．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为 ． 12．方程的解是 ． 13．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 14．一元二次方程配方，得，则是 ． 15．已知方程，则 ． 16．定义新运算：，若，则x的值为 ． 三、解答题 17．用配方法解方程： (1)． (2)； 18．把关于x的一元二次方程配方，得． (1)_______，_______． (2)求出此时方程的解． 19．（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 20．阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.1 配方法同步教学讲义同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：直接开平方法 1.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 2.形如x2＝p或（nx+m）2＝P（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 3.注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方． 知识点02：配方法解一元二次方程 1. 定义： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法 . 2. 方程 x 2=p 的解（根）的情况 （1）当 p>0 时，方程有两个不等的实数根 x 1=－ ， x 2= ； （2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x 1=x 2=0； （3）当 p<0 时，方程没有实数根 . 题型1： 直接开方法 【例1】下列方程中，有两个相等实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过解方程逐一判断即可，掌握一元二次方程解法是解题的关键． 【详解】解：、，右边为负数，无实数根，不符合题意； 、，解得，即两个相等的实数根，符合题意； 、，解得，，有两个不等实根，不符合题意； 、，解得，有两个不等实根，不符合题意； 故选：． 【练1】若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 【答案】D 【分析】将代入方程中，得，再求解关于的方程即可． 本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：将代入方程中， 得， ∴， ∴， 解得或． 故选：D． 【练2】一元二次方程的解为：（　　） A． B． C． D．无实数解 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ∴， 故选：B． 题型2： 配方法 【例1】用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 【练1】用配方法解方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，再配方即可得出结果，熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：A． 题型2： 配方法的应用 【例1】用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．先移项，再配方得出，得出，求出，，再代入求出答案即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 所以， 所以，， ∴． 故选：C． 【练1】已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 一、单选题 1．一元二次方程配方后是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元二次方程－配方法，先移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得，， 方程两边同时加 16 得，， 即：， 故选：C． 2．把一元二次方程配方成的形式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， ∴， 则， ∴． 故选：C． 3．把方程化成的形式，则（   ） A．17 B．14 C．11 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．将常数项移到方程的两边，两边都加上一次项系数的一半的平方配成完全平方公式后即可得出答案． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ， 故选A． 4．老师出示问题：“解方程．”四位同学给出了各自的答案．小琪：；子航：；一帆：；萱萱：．你认为谁的答案正确？你的选择是（   ） A．小琪 B．子航 C．一帆 D．萱萱 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解方程解答即可． 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法解方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得， 故萱萱：的正确． 故选：D． 5．方程的两个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；先移项，然后直接开平方法即可求解. 【详解】解：， 即， ， ，． 故选：A． 6．下列方程中，能用直接开平方法解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握直接开方法，是解题的关键． 直接开平方法适用于形如（）的方程，需判断各选项能否转化为该形式． 【详解】 解：选项A： 移项得，两边除以9得． 可直接开平方得， 故选项A可用直接开平方法解． 选项B： 移项得，两边除以9得． 因，实数范围内无解，无法直接开平方， 故选项B不符合． 选项C： 移项得，因式分解为， 解得或． 方程需通过因式分解或求根公式解，无法直接开平方， 故选项C不符合． 选项D： 移项得，因， 故实数范围内无解，无法直接开平方， 故选项D不符合． 综上，只有选项A符合直接开平方法的条件． 故答案为：A． 7．用配方法解方程，将方程变形为，则的值为（   ） A．4 B．9 C．12 D．14 【答案】B 【分析】将方程通过配方法变形为的形式，确定和的值后求和． 【详解】解： 原方程变形为： 提取二次项系数2： 对括号内的，加上一次项系数一半的平方，并保持等式平衡：即： 展开整理：移项得： 对比形式，得，， 故． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 8．用配方法解方程，正确的解法是（   ） A． B． C．，原方程无解 D． 【答案】A 【分析】将原方程整理为标准二次方程形式，通过配方法转化为完全平方形式，进而求解． 【详解】解：将方程移项，得 两边同除以2，得 将常数项移到右边，即两边加上， 得 左边为完全平方式，右边合并常数项，得 两边开平方，得解得 故答案为：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握其步骤是解题的关键． 二、填空题 9．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： ∴， ∴，， 故答案为：，． 10．若关于的一元二次方程可配成的形式， ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了配方法的应用．先利用配方法得到，再确定、的值，然后计算的值． 【详解】解：， 整理得， 配方得，即， 所以，， 所以． 故答案为：25． 11．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，代数式求值，先把移到右边，再方程两边加上，把方程配成的形式，进而得到的值，最后代入到代数式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，任意有理数的平方都为非负数，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程-直接开平方法，任意有理数的平方都为非负数，即可解答． 【详解】解： ， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴． 13．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及三角形的三边关系，解一元二次方程得，结合三边关系得第三边的长，则第三边为8，再根据三角形的周长公式计算，即可求出答案． 【详解】解：， ， 解得， 三角形的两边长分别为4和6， 第三边的长， 即第三边的长， 第三边的长是一元二次方程的一个根， 第三边为8， 则三角形的周长为， 故答案为：18． 14．一元二次方程配方，得，则是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了配方法，掌握配方步骤正确计算是本题的解题关键．将原方程进行配方，然后求解即可． 【详解】解： ， ，，即， ． 故答案为：9． 15．已知方程，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握整体的思想是解题的关键．把看做一个整体，利用直接开平方的方法解方程得到或，再根据偶次方的非负性得到，则． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 16．定义新运算：，若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程；根据新定义以及已知条件，可得，利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 17．用配方法解方程： (1)． (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据配方法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可． （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，． （2）解：， ， 配方得， ∴ ∴ ∴， ∴，． 18．把关于x的一元二次方程配方，得． (1)_______，_______． (2)求出此时方程的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了用配方法求一元二次方程. 根据配方法步骤进行求解：移项，二次项系数化为1，配方，开方． 【详解】解：（1）移项，得， 配方，得. 由与是同一个方程， 得，，解得，； （2）将代入，得， 两边开平方，得， ，． 19．（过程纠错改错）下面是小君同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次项系数化为，得，第一步 配方，得，……第二步 变形，得，……………… 第三步 开方，得，………………… 第四步 解得，．…………… 第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是___________； (2)上面小君同学的解题过程中，从第___________步开始出现错误，写出正确的解答过程． 【答案】(1)完全平方公式 (2)二，过程见解析 【分析】本题考查配方法解一元二次方程， （1）根据解答过程得出依据即可； （2）根据配方法判断即可； 掌握利用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：上面小君同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：完全平方公式； （2）上面小君同学的解题过程中，从第二步开始出现错误，写出正确的解答过程如下： 正确过程如下： ， 解：移项，得：， 二次项系数化为，得：， 配方，得：， 变形，得：， 开方，得∶， 解得∶，． 20．阅读材料： 利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 例如：求代数式的最小值． 原式 ， 当时，有最小值是2． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案； （2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， 的最小值是3； （2）解： ， ，， ， 无论取任何实数时，多项式的值总为正数． 4 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$