21.1 一元二次方程同步教学讲义（知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.1 一元二次方程同步教学讲义同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：一元二次方程的概念 1.等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的“三要素” 一是整式方程； 二是只含有一个未知数； 三是未知数的最高次数是 2． 知识点02：一元二次方程的一般形式 1. 一 般 形 式： 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax 2+bx+c=0(a ≠ 0) ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式 . 其中 ax 2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项 . 2. 知识点03：一元二次方程的根 1. 定义： 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2. 检验一元二次方程根的步骤 步骤 1： 将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边求值 . 步骤 2 ： 若方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解(根)；否则，这个数不是一元二次方程的解(根) . 题型1： 一元二次方程的定义 【例1】下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【练1】方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 题型2：化成 一元二次方程的一般式 【例1】已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 【练1】把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型3： 一元二次方程的解 【例1】若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【练1】若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 题型4：由 一元二次方程的解求参数 【例1】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【练1】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 题型5：由 一元二次方程的定义求参数 【例1】关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【练1】若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 一、单选题 1．下列方程为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 4．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 6．若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（   ） A．1， B．1， C．2， D．3，0 7．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 8．关于x的方程是一元二次方程，则a满足（   ） A． B． C． D．a为任意实数 9．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．一元二次方程的一个解为，则 ． 11．若关于的方程的一个根是2，则的值为 ． 12．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 13．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 14．当 时，关于x的方程是一元二次方程． 15．若关于x的方程的一个根是2，则m的值为 ． 16．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 17．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 三、解答题 18．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 19．若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 20．已知关于x的一元二次方程的一个根是，求m的值． 21．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1 一元二次方程同步教学讲义同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：一元二次方程的概念 1.等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程，叫做一元二次方程. 2. 一元二次方程的“三要素” 一是整式方程； 二是只含有一个未知数； 三是未知数的最高次数是 2． 知识点02：一元二次方程的一般形式 1. 一 般 形 式： 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax 2+bx+c=0(a ≠ 0) ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式 . 其中 ax 2 是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项 . 2. 知识点03：一元二次方程的根 1. 定义： 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 2. 检验一元二次方程根的步骤 步骤 1： 将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边求值 . 步骤 2 ： 若方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解(根)；否则，这个数不是一元二次方程的解(根) . 题型1： 一元二次方程的定义 【例1】下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式及需满足的条件． 根据一元二次方程的定义，逐一分析选项，判断是否符合“只含一个未知数、未知数最高次数是2、整式方程”这几个条件． 【详解】解：A、方程，当时，方程变为，此时未知数最高次数是1，是一元一次方程，不满足一元二次方程“二次项系数不为0，且未知数最高次数是2”的条件，所以不一定是一元二次方程； B、不是方程，因为它没有等号，不构成等式关系，而方程是含有未知数的等式，所以不符合一元二次方程的定义； C、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且是整式方程（整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程），符合一元二次方程的定义，所以是一元二次方程； D、中含有两个未知数和，属于二元一次方程，不符合一元二次方程“只含一个未知数”的条件． 故选：C． 【练1】方程①；②；③；④中，一元二次方程个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的认识，只含有一个未知数且未知数最高次数是二次的整式方程是一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：①在分母中含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； ②含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； ③只有一个未知数，未知数次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意； ④只有一个未知数，未知数次数为2，是整式方程，是一元二次方程，符合题意． 是一元二次方程的是③，④，共两个， 故选：B． 题型2：化成 一元二次方程的一般式 【例1】已知关于x的一元二次方程，则一次项系数为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式 （），再确定一次项系数． 本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握将方程化为一般形式后确定各项系数的方法是解题的关键． 【详解】解： ， ∴一次项系数为 ， 故选：A． 【练1】把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 题型3： 一元二次方程的解 【例1】若一元二次方程中的a，b，c满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义，即可求解． 【详解】解：∵当方程可化为． ∴方程必有一根为． 故选：C． 【练1】若关于x的一元二次方程一个根为，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查一元二次方程的根，将方程的根代入即可得到等式，正确理解一元二次方程的根的定义是解题的关键 【详解】解：∵关于x的一元二次方程一个根为， ∴将代入方程得 故选：B 题型4：由 一元二次方程的解求参数 【例1】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， 故选：． 【练1】若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，理解方程的根的定义，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．由一元二次方程的根为得，化简得，整体代入计算，即可求解． 【详解】解：将代入， 得， 则， 则， 故选：C． 题型5：由 一元二次方程的定义求参数 【例1】关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件． 根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即，且，解出m的值即可． 【详解】解：由题意可知：，且， 所以且．所以． 故选：B． 【练1】若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 一、单选题 1．下列方程为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并正确判断是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义依次判断． 【详解】解：A、符合定义，符合题意，故选项正确； B、含有两个未知数不符合定义，不符合题意，故选项错误； C、未知数的最高次数是3不符合定义，不符合题意，故选项错误； D、含有分式不符合定义，不符合题意，故选项错误； 故选：A． 2．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 3．关于的方程，下列说法错误的是（   ） A．二次项系数为1 B．一次项系数为 C．常数项为0 D．它是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得． 【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 则说法错误的是C， 故选：C． 4．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 5．一元二次方程的二次项系数是2，下列说法错误的是（    ） A．是它的一个根 B．一次项系数是3 C．常数项是1 D．是它的一个根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义及其解的定义．熟练掌握一元二次方程的一般式，以及相应基本概念是解题关键． 将原方程化为一般形式，确定各项系数，并验证各选项的正确性． 【详解】将原方程化为一般形式：． A、当时，左边，成立，选项A正确； B、一次项系数为，选项B错误； C、常数项为1，选项C正确； D、当时，左边，成立，选项D正确． 故选：B． 6．若关于x的一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（   ） A．1， B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，方程的两根互为相反数，据此可得，求得m的值，继而可得答案． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ， 解得， ， 故选：C． 7．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解，但一定要注意一元二次方程二次项系数不等于0，然后舍去不满足的取值即可． 【详解】解：把 代入， 得到： ∴或 ∵ 方程是一元二次方程， ∴ ， ∴， ∴； 故选：B ． 8．关于x的方程是一元二次方程，则a满足（   ） A． B． C． D．a为任意实数 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义；一般地，形如（a，b，c都是常数，且）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 9．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 10．一元二次方程的一个解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是由一元二次方程的解求参数．将一元二次方程的解代入后即可求出的值． 【详解】解：一元二次方程的一个解为， ， 解得． 故答案为：． 11．若关于的方程的一个根是2，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的定义．把一元二次方程的根代入并解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：的方程的一个根是2， ， 解得， 即的值为． 故答案为：． 12．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义得，解之即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 13．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故答案为：． 14．当 时，关于x的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 15．若关于x的方程的一个根是2，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及解一元一次方程，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 将代入，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是2， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解； 根据一元二次方程解的定义求出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 18．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 19．若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 20．已知关于x的一元二次方程的一个根是，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 21．已知关于x的方程． (1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数和一次项系数． (2)若此方程是一元一次方程，求出a的值． 【答案】(1)，方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为 (2)2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义． （1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即，且的形式，然后根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题； （2）根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】（1）解： 移项、合并同类项，得， ∴方程的二次项为，一次项为，常数项为3，二次项系数为，一次项系数为； （2）解：若方程是一元一次方程，则，， 解得． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$