数列求和课件-2026届高三数学一轮复习

数列求和 高中总复习·数学 年份 卷别 具体考查内容及命题位置 2023 新课标Ⅰ卷 等差数列的和T7，等差等比综合应用T20 Ⅱ卷 等比数列的和T8,T17 Ⅲ卷 圆锥曲线与基本不等式结合求最值T21 2024 Ⅰ卷 等差等比数列的综合应用T19 Ⅱ卷 等差数列的和T12 Ⅲ卷 等差等比数列的和T9 2025 全国Ⅰ卷 等比数列的和T13，错位相减求和法T16 全国Ⅱ卷 等差数列的和T7，等比数列的和T9 天津卷 等差数列T6 2023~2025 考情分析 课标要求 1. 熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，能够利用公式求数列的 前n项和. 2. 会求一些非等差、等比数列的前n项和. 数列的求和,其关键是先求出数列的通项公式,然后 根据通项公式的结构，选择适当的求和方法.数列求和的 思路： 教材回顾 1、首先判断数列是等差还是等比数列？ 若是，则代公式，这就是公式法. 2、若不是，再考虑是否可以转化为等差 或等比数列求和. 分组求和与并项求和（师生共研过关） 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1（n∈N*）. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 因为Sn＋1＝2Sn＋1， 所以Sn＋1＋1＝2（Sn＋1）， 又S1＋1＝a1＋1＝2，所以数列{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以Sn＋1＝2×2n－1＝2n，即Sn＝2n－1， 当n≥2时，Sn－1＝2n－1－1， 所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－1＋1＝2n－1， 当n＝1时，a1＝1满足上式，故an＝2n－1，n∈N*. 目 录 高中总复习·数学 （2）设bn＝anan＋1＋log2（anan＋1）（n∈N*），求数列{bn}的前n项和 Tn. 解： bn＝anan＋1＋log2（anan＋1）＝2n－1·2n＋log2（2n－1·2n）＝22n－1 ＋2n－1， 所以数列{bn}的前n项和Tn＝21＋23＋25＋…＋22n－1＋1＋3＋5＋…＋2n －1＝ ＋ ＝ （4n－1）＋n2. 目 录 高中总复习·数学 小结： 分组转化法求和的常见类型 目 录 高中总复习·数学 （2025·山东名校联盟开学考）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 因为an＋1＝an＋2n，即an＋1－an＝2n，所以当n≥2时，an－an －1＝2（n－1），an－1－an－2＝2（n－2），…，a2－a1＝2， 累加得an－a1＝ ＝n2－n，又a1＝1，所以an＝n2－n＋1 （n≥2）， 经检验当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以an＝n2－n＋1. 目 录 高中总复习·数学 （2）bn＝（－1）n（an＋n－1），求数列{bn}的前2n项和S2n. 解： 因为bn＝（－1）n（an＋n－1），所以bn＝（－1）n·（n2－n ＋1＋n－1）＝（－1）nn2， 所以S2n＝－12＋22－32＋42－…－（2n－1）2＋（2n）2 ＝22－12＋42－32＋…＋（2n）2－（2n－1）2 ＝（2＋1）（2－1）＋（4＋3）（4－3）＋…＋[2n－（2n－1）]（2n＋ 2n－1） ＝1＋2＋3＋4＋…＋2n－1＋2n＝ ＝2n2＋n. 目 录 高中总复习·数学 裂项相消法求和（师生共研过关） 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，nSn＋1＝（n＋2）Sn. （1）求数列{an}的通项公式； 解： 因为nSn＋1＝（n＋2）Sn，且n∈N*，所以 ＝ ， 可知数列{ }为常数列，且 ＝ ＝ ， 则 ＝ ，则Sn＝ ， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝n， 且a1＝1也符合上式，所以an＝n，n∈N*. 目 录 高中总复习·数学 （2）设bn＝ ，若数列{cn}满足cn＝ ，求{cn}的前n 项和. 解： 由（1）可得bn＝2n，则cn＝ ＝ ＝ － ， 设{cn}的前n项和为Tn， 则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝ － ＋ － ＋…＋ － ＝1 － ， 所以{cn}的前n项和为1－ . 目 录 高中总复习·数学 解题技法 裂项相消法求和的步骤 提醒 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第 几项. 目 录 高中总复习·数学 　常见的裂项技巧 （1） ＝ （ － ）； （2） ＝ （ － ）； （3） ＝ ［ － ］； （4） ＝ （ － ）； （5） ＝ （ － ）. 目 录 高中总复习·数学 　（2024·浙江金丽衢十二校联考）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且 2Sn＝2an＋n2－1. （1）求an； 解： 因为2Sn＝2an＋n2－1， ① 所以当n≥2时，2Sn－1＝2an－1＋（n－1）2－1， ② ①－②得2an＝2an－2an－1＋2n－1，整理得an－1＝n－ ，n≥2， 所以an＝n＋ ，n∈N*. 目 录 高中总复习·数学 （2）求数列{ }的前n项和Tn. 解： 由（1）知an＝n＋ ， 所以 ＝ ＝ － ＝ － ， 所以Tn＝ ＋ ＋…＋ ＝ － ＋ － ＋…＋ － ＝ － . 目 录 高中总复习·数学 错位相减法求和（师生共研过关） （2024·全国甲卷理18题）记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝ 3an＋4. （1）求{an}的通项公式； 解： 因为4Sn＝3an＋4， ① 所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4， ② 则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1. 当n＝1时，由4Sn＝3an＋4得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0， 所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列， 所以an＝4×（－3）n－1. 目 录 高中总复习·数学 （2）设bn＝（－1）n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 解： 因为bn＝（－1）n－1nan＝（－1）n－1n×4×（－3）n－1＝ 4n·3n－1， 所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n－1， 所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n， 两式相减得－2Tn＝4＋4（31＋32＋…＋3n－1）－4n·3n＝4＋ 4× －4n·3n＝－2＋（2－4n）·3n， 所以Tn＝1＋（2n－1）·3n. 目 录 高中总复习·数学 解题技法 错位相减法求和的步骤 目 录 高中总复习·数学 提醒 （1）在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”， 以便下一步准确写出Sn－qSn； （2）作差后，等式右边由第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分 组成； （3）运算时，经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1 写成＋anbn＋1导致错误. 目 录 高中总复习·数学 （2025·邵阳第一次联考）设数列{an}满足a1＋ ＋…＋ ＝n2 （n∈N*）.等比数列{bn}的首项b1＝1，公比为2. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； 解： ∵a1＋ ＋…＋ ＝n2，n≥1，∴a1＋ ＋…＋ ＝（n－ 1）2，n≥2， 两式相减得 ＝n2－（n－1）2＝2n－1，即an＝n（2n－1），n≥2. 当n＝1时，a1＝1满足上式.∴an＝n（2n－1）＝2n2－n，n∈N*. 根据等比数列{bn}的首项b1＝1，公比为2，可知bn＝2n－1. 目 录 高中总复习·数学 （2）求数列{ }的前n项和Tn. 解： 由（1）知， ＝（2n－1）·2n－1. ∴Tn＝1×20＋3×21＋…＋（2n－3）×2n－2＋（2n－1）×2n－1， 2Tn＝1×21＋3×22＋…＋（2n－3）×2n－1＋（2n－1）×2n. ∴－Tn＝1＋2×21＋…＋2×2n－1－（2n－1）×2n ＝1＋2× －（2n－1）×2n ＝1＋4（2n－1－1）－（2n－1）×2n ＝2×2n－（2n－1）×2n－3 ＝（3－2n）×2n－3， ∴Tn＝（2n－3）2n＋3. 目 录 高中总复习·数学 　小结：数列求和的常用方法 （1）公式法：①等差数列{an}的前n项和Sn＝ ＝na1＋ ； ②等比数列{an}的前n项和Sn＝ 目 录 高中总复习·数学 （2）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数 列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再 相加减； （3）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并 项求和.形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解； （4）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项 可以相互抵消，从而求得前n项和； （5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数 列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法； （6）倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两 项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相 加法. 目 录 高中总复习·数学 作业：1. 数列{1＋2n－1}的前n项和为（　　） A. 1＋2n B. 2＋2n C. n＋2n－1 D. n＋2＋2n 解析： 由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋ ＝n＋2n－1. √ 目 录 高中总复习·数学 2. 已知数列{an}的通项公式为an＝ ，前n项和为Sn，若Sn＝9， 则项数n＝ ⁠. 解析：依题意，an＝ ＝ － ，因此Sn＝ －1＋ － ＋ － ＋…＋ － ＝ －1，又Sn＝9，所以 －1＝9，解得n＝99，所以项数n＝99. 99　 目 录 高中总复习·数学 3. 已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝ ⁠ ⁠. 解析：因为an＝n·2n，所以Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①.2Sn＝ 1·22＋2·23＋…＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②.①－②，得－Sn＝2＋22＋23 ＋…＋2n－n·2n＋1＝ －n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝（1－n）2n ＋1－2.所以Sn＝（n－1）2n＋1＋2. 谢谢！ （n－1）2n＋1＋ 2　 目 录 高中总复习·数学 $$