21.3.3用一元二次方程解决几何图形问题 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册 21.3.3用一元二次方程解决几何图形问题同步练习 一、基础训练 知识点1：一般图形的面积问题 1.一个面积为35 m² 的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，则这个苗圃的长为 ( ) A.5m B.6m C.7m D.8m 2.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为 64 cm² 的矩形.设矩形的长为x cm，则可列方程为 ( ) A. x(20+x)=64 B. x(20-x)=64 C. x(40+x)=64 D. x(40-x)=64 3.一个菱形的两条对角线相差2cm，面积是 24 cm²，则菱形的周长是 cm. 4.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25 m)，现已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m². 知识点2：边框与甬道问题 5.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上花草.若种植花草的面积为540m²，求道路的宽.如果设道路的宽为 xm，根据题意，所列方程正确的是( ) A.(20-x)(32-x)=540 B.(20-x)(32-x)=100 C.(20+x)(32-x)=540 D.(20-x)(32+x)=540 6.如图，某小区有一块长为30m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为594 m²，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度是 m. 7.如图,某矩形相框长26 cm,宽20cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是x cm，若相框内部的面积为280cm²，求相框边的宽度. 二、提高训练 8.从一块正方形的木板上锯掉2m 宽的长方形木条，剩下的面积是 48 m²，则原来这块木板的面积是 ( ) A.100m² B.64 m² C.121m² D.144m² 9.在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米，则花边的宽为 米. 10.如图，已知点 A 是一次函数y=x-4图象上的一点，且矩形ABOC 的面积等于3，则点A的坐标为 11.如图,要设计一幅宽20cm,长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3 ：2，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度? 12.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙，求： (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗? 13.小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm²，小林该怎么剪? (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm².”他的说法对吗?请说明理由. 14.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm ,BC=7 cm,点 P 从点A 开始沿AB 边向点 B 以 1 cm/s的速度移动，点Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以2cm /s的速度移动. (1)如果点 P，Q分别从点 A，B同时出发，那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm²? (2)如果点 P，Q分别从点 A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm? (3)在问题(1)中,△PBQ的面积能否等于 7 cm²?说明理由. 参考答案 一、基础训练 知识点1：一般图形的面积问题 1.一个面积为35 m² 的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，则这个苗圃的长为 (C) A.5m B.6m C.7m D.8m 2.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为 64 cm² 的矩形.设矩形的长为x cm，则可列方程为 (B) A. x(20+x)=64 B. x(20-x)=64 C. x(40+x)=64 D. x(40-x)=64 3.一个菱形的两条对角线相差2cm，面积是 24 cm²，则菱形的周长是 20 cm. 4.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25 m)，现已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m². 解:设AB= x m,则 BC=(50-2x)m, 根据题意得x(50-2x)=300, 解得 10,x₂=15, 当x=10时,BC=50-2×10=30>25, 故x₁=10不合题意,舍去, ∴x=15,则可以围成AB为15m,BC为20m的矩形 知识点2：边框与甬道问题 5.如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上花草.若种植花草的面积为540m²，求道路的宽.如果设道路的宽为 xm，根据题意，所列方程正确的是(A) A.(20-x)(32-x)=540 B.(20-x)(32-x)=100 C.(20+x)(32-x)=540 D.(20-x)(32+x)=540 6.如图，某小区有一块长为30m，宽为24 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为594 m²，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度是 1 m. 7.如图,某矩形相框长26 cm,宽20cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，都是x cm，若相框内部的面积为280cm²，求相框边的宽度. 解:由题意得 (26-2x)(20-2x)=280, 整理得 解得 (不合题意，舍去) 则相框边的宽度为3cm 二、提高训练 8.从一块正方形的木板上锯掉2m 宽的长方形木条，剩下的面积是 48 m²，则原来这块木板的面积是 (B) A.100m² B.64 m² C.121m² D.144m² 9.在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米，则花边的宽为 1 米. 10.如图，已知点 A 是一次函数y=x-4图象上的一点，且矩形ABOC 的面积等于3，则点A的坐标为(3,-1）或(1，-3） 11.如图,要设计一幅宽20cm,长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3 ：2，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度? 解：∵矩形图案的长、宽比为 30:20 =3:2, 所以中央矩形的长、宽之比也应为3：2， 设其长为3x，则 宽为 得 x=5 , 从而上、下边宽为 (20-2x)×0.5=10-x= 左、右宽为(30-3x)×0.5 = 12.如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙，求： (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗? 解：(1)设与墙垂直的一边长为x米，则 平行的一边为(33-2x+2)米, 根据题意,得 x(33-2x+2)=150, 解得 (不合题意，舍去)， ∴长为15米，宽为10米 (2)设与墙平行的一边长为 y米，则 垂直的一边边长为 米， 根据题意，得 整理得y²-35y+400=0， 此方程无实数根， ∴不能围成面积为200平方米的鸡场 13.小林准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm²，小林该怎么剪? (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm².”他的说法对吗?请说明理由. 解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则 另一个正方形的边长为(10-x)cm， 由题意得 解得 =28， 所以小林应把铁丝剪成12cm和28cm的两段 (2)假设能围成. 由(1)得, 化简得 -4×1×26=-4<0, ∴此方程没有实数根, 所以小峰的说法是对的 14.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm ,BC=7 cm,点 P 从点A 开始沿AB 边向点 B 以 1 cm/s的速度移动，点Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以2cm /s的速度移动. (1)如果点 P，Q分别从点 A，B同时出发，那么几秒后,△PBQ的面积等于4cm²? (2)如果点 P，Q分别从点 A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm? (3)在问题(1)中,△PBQ的面积能否等于 7 cm²?说明理由. 解:(1)设x 秒后,△PBQ 的面积等于4cm², 根据题意得x(5-x)=4, 解得x₁=1,x₂=4. ∵当x=4时,2x=8>7,不合题意,舍去, ∴x=1 (3)设y秒后,PQ的长度等于5cm, 根据题意得 解得 (舍去),y₂=2, ∴y=2 (3)设z秒后,△PBQ的面积等于7 cm², 根据题意得x(5-z)=7,此方程无解, ∴不能 学科网（北京）股份有限公司 $$