九年级数学上学期第一次月考（苏科版第1～2章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版2012九年级上册第1章~第2章。 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 【答案】C 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：C． 2．下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、， ， ∵时， ∴，即关于的方程一定有两个实数根，故该选项符合题意； B、当时，原方程变为， 解得，， 故该选项不符合题意， C、， ， 当时，，即关于的方程没有实数根，故该选项不符合题意； D、， ， 当时，，即关于的方程没有实数根，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中，， ， 斜边上的中线长， 因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长. 故选：B． 4．已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是方程的解， ， ，故A错误； 由题意得，该方程有两个实数根， ， ∴，故B错误； 的两个解为，， ， ，故C正确，D错误． 故选：C． 5．如图，内接于，且，连接并延长交于点D，交于点E，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接， 为的直径， ， ∵均为所对圆周角， ∴， ， 同理：， ， ， ， ， 故选：C． 6．如图，在中，，，D为中点，则当最大时，的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，取的中点，连接， ， ， ∵为中点， ∴是的中位线， ， ∵点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当与相切时，最大， ， ， 故选： C． 二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 7．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴解得：． 8．一元二次方程的两个根为、，且，其中■表示一个数，则■为 ． 【答案】 【详解】解：由一元二次方程的两根为，， 故， 又， 故， 解得． 故答案为：． 9．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵． ∴， ∴， ∴弧的长为． 故答案为：． 10．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 【答案】 【详解】解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 11．如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为 ．（结果保留） 【答案】 【详解】解：如图，连接， 则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴内接正六边形的周长为：， ∴的周长与其内接正六边形的周长的差为：， 故答案为：． 12．如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ； 【答案】 【详解】解：∵是的半径，是的切线， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，为的两条弦，于E，于H，已知，，则的半径为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作直径，连接，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 的半径为． 故答案为：． 14．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，排水管水面宽为，则此时水管水面上升了 m． 【答案】或 【详解】解：设上升后的水面为，即， 过作于，交于，连接， 则， ∵， ∴在中，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 当水面未过圆心时，， 当水面超过圆心时，， 即水管水面上升了或， 故答案为：或． 15．实数，满足，则的最小值等于 ． 【答案】/ 【详解】解：， ， ， ， ， 实数，满足， ， 当时，， 当时， 有2个实数根， ， 解得：且， ， ， 的最小值为； 综上所述，的最小值为． 16．如图，点A是射线上的动点，，点D在边上，且，连接，，当最大时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：作经过点、且与射线相切的，切点为．连接、、，、、，与交于点，连接， ∵、、、共圆， ∴， ∵是的外角， ∴ ．   ∴，即切点对应的最大 ．   ∴当点在点时，最大． 过点作于点， 因为， ∴点是的中点． ∵，， ∴， ∴，． ∵与射线相切于， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，． 在中，，， 根据勾股定理得． ∴． 【点睛】本题考查圆的切线性质、垂径定理、矩形判定与性质及勾股定理，解题关键是利用圆的性质确定最大时的位置（作过、且与相切的圆，切点为使最大的点）． 三、解答题（本题共10小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）解方程： (1)； (2)． 【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 3分 （2）解：方程整理得，， ∴， ∴或， ∴，． 6分 18．（4分）已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 【详解】（1）解：把，代入方程，得， 解得， 设方程的另一个根为， 由根和系数的关系得，， ∴， 即方程的另一个根为； 2分 （2）解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4分 19．（5分）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 【详解】解：圆心落在上，平分， 线段垂直平分线段， 、、三点所在圆的圆心在上， ， 连接，则， 2分 设的半径为， ， ， ， 解得：， 该圆形工件的半径． 5分 20．（5分）二中附校八年级准备用2400元购买一批学习用品作为奖品奖励优秀学生，已知甲种学习用品的单价比乙种学习用品的单价少2元，如果用这些钱全部购买甲种学习用品比全部购买乙种学习用品可多买200件，那么请求出这两种学习用品的单价分别是多少元？ 【详解】解：设甲种学习用品的单价为元，则乙种学习用品的单价为元 ∴， 2分 ∴，（不合题意舍去） 经检验，是原方程的解， ∴乙种学习用品的单价为：元． 答：这两种学习用品的单价分别是4元、6元． 5分 21．（6分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 1分 ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； 3分 （2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 6分 22．（6分）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 【详解】（1）证明：， ， 即； ∴ 2分 （2）解：如图，是的直径， ∵， ∴，， 设，则． ． 4分 在中，由勾股定理得， 解得， ， ． ∴在中由勾股定理得． 6分 23．（6分）如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 【详解】（1）如图所示，即为与互余的角． ∵ ∴是圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵为的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∴即为与互余的角； 2分 （2）如图所示，点O即为所求． 4分 ∵ ∴ ∴点D在线段的垂直平分线上 ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点F在线段的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴，即点O是中点． 6分 24．（6分）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径，   ∴，即， 1分 ∵， ∴， ∴，， ∵，    ∴， ∵，     ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 3分 （2）解：连接， ∵，是的中点，      ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴是等边三角形， 4分 ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ∴阴影部分的面积为． 6分 25．（6分）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； 2分 （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； 4分 （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 6分 26．（12分）已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 2分 （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即的半径为； 5分 （3）解；如图3所示，过点D作交延长线于E，于H， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 8分 ∴， ∴， ∴； 如图4所示，设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 10分 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的内心与点O的距离为． 12分 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·参考答案 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 C A B C C C 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 7． 8．9 9． 10． 11． 12． 13． 14．或 15． 16． 三、解答题（本题共10小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【详解】（1）解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 3分 （2）解：方程整理得，， ∴， ∴或， ∴，． 6分 18．【详解】（1）解：把，代入方程，得， 解得， 设方程的另一个根为， 由根和系数的关系得，， ∴， 即方程的另一个根为； 2分 （2）解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4分 19．【详解】解：圆心落在上，平分， 线段垂直平分线段， 、、三点所在圆的圆心在上， ， 连接，则， 2分 设的半径为， ， ， ， 解得：， 该圆形工件的半径． 5分 20．【详解】解：设甲种学习用品的单价为元，则乙种学习用品的单价为元 ∴， 2分 ∴，（不合题意舍去） 经检验，是原方程的解， ∴乙种学习用品的单价为：元． 答：这两种学习用品的单价分别是4元、6元． 5分 21．【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 1分 ∵所对的圆周角是，圆心角是， ∴， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线； 3分 （2）∵是的直径，，垂足为M，的半径是2， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 根据勾股定理得， ∴． 6分 22．【详解】（1）证明：， ， 即； ∴ 2分 （2）解：如图，是的直径， ∵， ∴，， 设，则． ． 4分 在中，由勾股定理得， 解得， ， ． ∴在中由勾股定理得． 6分 23． 【详解】（1）如图所示，即为与互余的角． ∵ ∴是圆的直径 ∴ ∵ ∴ ∵为的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∴即为与互余的角； 2分 （2）如图所示，点O即为所求． 4分 ∵ ∴ ∴点D在线段的垂直平分线上 ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∴点F在线段的垂直平分线上 ∴垂直平分 ∴，即点O是中点． 6分 24． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的直径，   ∴，即， 1分 ∵， ∴， ∴，， ∵，    ∴， ∵，     ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 3分 （2）解：连接， ∵，是的中点，      ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴是等边三角形， 4分 ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ∴阴影部分的面积为． 6分 25． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； 2分 （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； 4分 （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 6分 26．【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 2分 （2）解：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即的半径为； 5分 （3）解；如图3所示，过点D作交延长线于E，于H， ∵为直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 8分 ∴， ∴， ∴； 如图4所示，设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， 10分 ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的内心与点O的距离为． 12分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版2012九年级上册第1章~第2章。 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（   ） A．0 B．2 C． D．或2 2．下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有两个实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，则它的外心与顶点C的距离为（    ） A． B． C． D． 4．已知是关于x的方程的一个解，该方程的另一个解为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，内接于，且，连接并延长交于点D，交于点E，连接，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，D为中点，则当最大时，的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 7．已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为 ． 8．一元二次方程的两个根为、，且，其中■表示一个数，则■为 ． 9．如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则弧的长为 ． 第9题 第11题 第12题 10．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 11．如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为 ．（结果保留） 12．如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ； 13．如图，为的两条弦，于E，于H，已知，，则的半径为 ． 14．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，某天下雨后，排水管水面宽为，则此时水管水面上升了 m． 第14题 第16题 15．实数，满足，则的最小值等于 ． 16．如图，点A是射线上的动点，，点D在边上，且，连接，，当最大时，的长为 ． 三、解答题（本题共10小题，共62分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）解方程： (1)；(2)． 18．（4分）已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 19．（5分）丁字尺是一种作图工具，如图1所示为丁字尺，可以看作由两把互相垂直的直尺（直尺的宽度均忽略不计）组成，并且部分平分部分．现将丁字尺放在一个圆形工件上（圆心为），其示意图如图所示，使得、、分别落在上，这样圆心就会落在上，已知，，请求出该圆形工件的半径． 20．（5分）二中附校八年级准备用2400元购买一批学习用品作为奖品奖励优秀学生，已知甲种学习用品的单价比乙种学习用品的单价少2元，如果用这些钱全部购买甲种学习用品比全部购买乙种学习用品可多买200件，那么请求出这两种学习用品的单价分别是多少元？ 21．（6分）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为2，求的长． 22．（6分）如图，在中，弦相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，若是的直径，，求的长． 23．（6分）如图为一个含角的直角三角形及其外接圆，点在边上且为的角平分线，请用无刻度直尺按下列要求作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中，以点为顶点作一锐角，使之与互余； (2)在图2中，过点作线段的中点． 24．（6分）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 25．（6分）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 26．（12分）已知内接四边形中，平分． (1)如图1，若相交于E，求证：． (2)如图2，连接交于F．若，求的半径． (3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$