专题04 全等三角形的动点问题（专项训练）数学冀教版2024八年级上册

专题04 全等三角形的动点问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、动点全等问题 1 题型二、多动点全等问题 2 题型三、三角形中的动点全等问题 3 题型四、四边形中的动点全等问题 5 题型五、存在“拐点”的动点全等问题 6 题型六、动点全等中的面积问题 8 题型七、动点全等中的最值问题 8 题型八、全等三角形动点问题综合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、动点全等问题 1．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为 秒时，和全等． 2．如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 3．如图，，，动点从点（不含点），以 个单位长度秒的速度沿射线运动，点为射线 上一动点，且始终保持，当点运动 秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 4．如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 题型二、多动点全等问题 5．如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 7．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 8．如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（   ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 题型三、三角形中的动点全等问题 9．如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等． 10．在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点． (1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）． (3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系． 11．（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 12．如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为 ． 题型四、四边形中的动点全等问题 13．如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 14．如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 15．如图，在长方形中，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接． (1)当时，求证：； (2)求的面积： (3)当的面积是的面积的倍时，直接写出线段的长． 16．如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为 ． 题型五、存在“拐点”的动点全等问题 17．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 18．【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点的直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 （Ⅰ）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________． （Ⅱ）当为多少时，的面积为？ 【深入探究】 （Ⅲ）如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ （Ⅳ）请利用备用图探究，当点在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 19．如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 20．如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 题型六、动点全等中的面积问题 21．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒 ． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求t为何值时，与的面积相等； (3)求t为何值时，与全等； (4)是否存在t值，使，且？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 22．如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线的右侧作，且，过点作直线于点． 观察发现： （1）如图①，当点在线段上时，判断线段与之间的关系，并说明理由． 探究迁移： （2）如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，试判断（1）中的结论是否还成立？此时吗？请说明理由． 拓展应用： （3）如图③，当点在线段的延长线上时，当，时，直接写出和的面积． 23．如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线的右侧作，且． 观察发现： （1）如图①，当点在线段上时，过点作的垂线，垂足为，判断线段与之间的关系，并说明理由； 探究迁移： （2）将如图①中的，连接，交直线于点，我们很容易发现．如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，线段和线段之间的关系有没有变化？此时吗？说说理由． 拓展应用： （3）如图③，当点在线段的延长线上时，当，时，求和的面积． 24．如图①，在中，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边运动，返回到点停止．同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿边运动，回到点停止．设点的运动时间为秒． (1)当点到边的中点时，若点到边中点，则的值为______． (2)当的面积等于面积的一半时，求的值． (3)如图②，在中，．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形与全等，直接写出的值． 题型七、动点全等中的最值问题 25．如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ．    26．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 27．如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 28．如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 题型八、全等三角形动点问题综合 29．在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． (1)如图①，点D在线段上，求证：． (2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 30．如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，E点旋转至点F． (1)如图1，过F点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，求证：是的2倍； (3)E是射线上一点，直线交直线于D点，若，则　　　． 31．如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 32．如图，为等边三角形，直线与边交于点，，为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接． (1)如图，若，与交于点，且，，求的长度； (2)如图，若与交于点，且为中点，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，连接，当最短时，在直线和线段上分别取点和点，且，连接、，直接写出（或者表示出）当取得最小值时的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形的动点问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、动点全等问题 1 题型二、多动点全等问题 2 题型三、三角形中的动点全等问题 3 题型四、四边形中的动点全等问题 5 题型五、存在“拐点”的动点全等问题 6 题型六、动点全等中的面积问题 8 题型七、动点全等中的最值问题 8 题型八、全等三角形动点问题综合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、动点全等问题 1．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵点在延长线上， ∴， 若，则， ∴运动时间， 若，则， ∴运动时间， 故答案为：或． 2．如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与全等，则t的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可． 【详解】解：∵， ∵， ∴当时，，， ∴点重合，点在点右侧， 此时，， ∴， 解得：； 当时，， 当点在点左侧时， 此时，， ∴， 解得：； 当点在点右侧时， 此时，， ∴， 解得：； 综上：则t的值为或或时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 3．如图，，，动点从点（不含点），以 个单位长度秒的速度沿射线运动，点为射线 上一动点，且始终保持，当点运动 秒时，与以点，，为顶点的三角形全等． 【答案】或或 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．设点运动时间为秒，根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出值即可． 【详解】解：， ， 设点运动时间为秒， ，， 当时， ， ， 解得：（舍）或； 当时， ， ， 解得：或； 综上：秒或秒或秒时，与以点，，为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 4．如图所示，在中，，，点D为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点P，若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，分情况根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：①点B在上时，作，交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 根据题意知，， 设，则， ∴， ∴, ∴； ②如图，点B在的延长线上，作于M， 用①中同样的解法可以得到， 设， ∴, ∴． 故答案为：3或． 题型二、多动点全等问题 5．如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】5或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键； 设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则，，，表示出，，再分与两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s， 由题意得，，，， 所以，， ∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上，动点M的运动速度是2或； 故答案为：5或． 6．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）或或 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：； （2）结论仍然成立，证明如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 7．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 【答案】6或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明得到，，则可推出只存在这种情况，则由，再分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的长，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 8．如图，在中，，，，P、Q是两个动点，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A－C－B的路线向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B－C－A的路线向终点A运动，点P和点Q都运动到各自的终点时停止，设运动时间为t（秒），直线经过点C，且l，过点P，Q分别作直线的垂线，垂足为E，F，当与全等时，t的值不可能是（   ） A．2 B．2.8 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图-基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值． 【详解】解：当P在上，Q在上时，如图，过点P，Q，C分别作直线l于点E，直线l于点F，于点D， ∵， ∴， ∵于E，于F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 当P在上，Q在上时，即P、Q重合时，则， 由题意得，， 解得； 当P在上，Q在上时，即A、Q重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，t的值为2或2.8或6． ∴t的值不可能是3． 故选：C． 题型三、三角形中的动点全等问题 9．如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是分情况讨论，根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而得出的值． 因为，所以分两种情况讨论：和，根据全等三角形对应边相等求出的长，再结合点的运动速度求出． 【详解】解： 情况一：， 此时， 已知，点的速度是，的长度就是点运动的路程，则， 把代入，可得（秒）； 情况二： 此时． 已知，， 把代入，可得（秒）． 综上，当或4时，以点为顶点的三角形和全等． 故答案为：2或4． 10．在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点． (1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）． (3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)图见详解，当点在线段的延长线上运动时：，当点在线段的延长线上运动时： 【分析】（1）根据证明，则可得，由点为的中点，可得，则可得，由可得； （2）同（1）证法相同，先证，则可得，由，，可得； （3）①当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得； ②当点在线段的延长线上运动时，同（1）得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：当点在线段上（不与重合）时，线段，，之间的数量关系为，理由如下： ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：①如图，当点在线段的延长线上运动时， 同（1）得， ∴ ∵，， ∴； ②如图，当点在线段的延长线上运动时， 同（1）得， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 11．（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 【答案】（1）同角的余角相等；；（2）①见解析；②8；③8或16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，分类讨论和设参数求解是解答的关键． （1）根据等角的余角性质和“”求解即可； （2）①先根据余角性质证明，进而利用“”证明结论即可； ②证明得到，，进而求解即可； ③分当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，当点D中线段的延长线上时，三种情况，分别利用全等三角形的性质和等高的三角形面积之间的关系求解即可． 【详解】解：（1）因为 所以， 所以（同角的余角相等） 又因为 所以； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴； ②∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，， ∴； ③当点D在线段上时，如图2，连接， ∵，的面积为4， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴不满足，故不符合题意，舍去； 当点D中线段的延长线上时，如图4，连接， 同理可证， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴， 综上，的面积为8或16． 12．如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 题型四、四边形中的动点全等问题 13．如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答． 【详解】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 14．如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为1或秒时，和全等． 故答案为：1或． 15．如图，在长方形中，，点是边的中点，点是边上的动点（点不与点重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接． (1)当时，求证：； (2)求的面积： (3)当的面积是的面积的倍时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点Q作于H，由旋转的性质可得，可证明，得到，再由线段中点的定义得到，则，再证明，即可证明； （2）延长交于G，先证明，，由全等三角形的性质得到，则，； （3）分点Q在点C右侧和点Q在点C左侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点Q作于H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图所示，延长交于G， ∵， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，当点Q在点C右侧时，过点Q作交延长线于H， 由（2）可得， ∵的面积是的面积的倍， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴； 如图所示，当点Q在点C左侧时，过点Q作于H， 同理可得， ∴， 同理可证明， ∴； 综上所述，的长为或． 16．如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 题型五、存在“拐点”的动点全等问题 17．如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，运用分类讨论思想是解题关键． 分两种情况进行讨论，①，②，根据题意得出和即可求解． 【详解】解： 四边形是长方形， ，， ， 或， 或． ①如图，当时， 根据题意，得：，， ，解得：； ②如图，当时， 根据题意，得：，， ，解得：； 当或时，与全等． 故答案为：或． 18．【问题背景】如图1，在中，已知，，是的高，，，过点的直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 （Ⅰ）请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________． （Ⅱ）当为多少时，的面积为？ 【深入探究】 （Ⅲ）如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ （Ⅳ）请利用备用图探究，当点在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）， （Ⅳ） 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （Ⅰ）根据题意列代数式即可； （Ⅱ）分点在线段上，点在延长线上两种情况计算即可； （Ⅲ）由得到，根据得到，再根据得到，得出，即可得到； （Ⅳ）证明，即可得到． 【详解】解：（Ⅰ）由题意得， ，， 故答案为：； （Ⅱ）由题意得，当点在线段上时，， ， ， ， ； 当点在延长线上时， ， ， ； 当为或时，的面积为； （Ⅲ），， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （Ⅳ），理由如下， 如图，， ， ， , ，， ， ， ， ， ． 19．如图，在中，，高相交于点，且． (1)求线段的长； (2)设动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿线段以每秒4个单位长度的速度向终点C运动，当点Q到达C点时，P、Q两点同时停止运动，连接．求当时，点P的运动时间是多少秒? (3)点F是直线上的一点且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的运动时间是1秒； (3)符合条件的t值为1s或s． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）只要证明即可解决问题； （2）证明，根据全等三角形的性质列式计算即可得结论； （3）分为点F在的延长线时，当时，，可求得结果；当点F在上，点Q在的延长线上时，当时，，即可求得另一个值． 【详解】（1）解：∵是高， ∴， ∵是高， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：设点的运动时间为秒，由已知得，， ， ， 由（1）得， ，， 又， 在和中， ， ， ， ， 解得， 点的运动时间是1秒； （3）解：存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；理由如下： ①如图中，当时， ， ∵，， ∴． ∴， ∴， 解得； ②如图中，当时， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述，存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等；符合条件的t值为1s或s． 20．如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点P在上时， ， ∴， ． ②当点P在上时， 过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或 （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点在上，点在上，时， ， ∴； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或或或 题型六、动点全等中的面积问题 21．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒 ． (1)用含t的代数式表示线段的长； (2)求t为何值时，与的面积相等； (3)求t为何值时，与全等； (4)是否存在t值，使，且？若存在，直接写出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时， (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）分类讨论当和两种情况即可； （2）由题意得，可得，类讨论当和两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：厘米， 当时，； 当时，； （2）解：由题意得：， ∴， 当时，， 此时，解得：； 当时，， 此时，解得：； 综上所述：当或时，与的面积相等； （3）解：由题意得：是直角三角形， ∴当，即点在上运动时，有与全等 此时， ∴ ∵，； ∴， 解得：； （4）解：分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：． 22．如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线的右侧作，且，过点作直线于点． 观察发现： （1）如图①，当点在线段上时，判断线段与之间的关系，并说明理由． 探究迁移： （2）如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，试判断（1）中的结论是否还成立？此时吗？请说明理由． 拓展应用： （3）如图③，当点在线段的延长线上时，当，时，直接写出和的面积． 【答案】（1），，理由见解析；（2）线段与之间的关系不变，，理由见解析；（3）和的面积分别为20和120 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质．通过“同角的余角相等”证明两角相等和灵活运用“割补法”求三角形面积是解答本题的关键． （1）通过证明，然后根据全等三角形的性质可得，再结合两条线段的位置关系进而得出结论； （2）先证明可得线段和的关系不变，再证明，同样可得出； （3）由（2）可知，和，可得，，，易得线段和的长度，进而求出；对于的面积，根据，可由“割补法”得到，即可求出答案． 【详解】（1）结论：，，理由如下， 根据题意可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故线段与之间的关系为：且； （2）结论：线段与之间的关系不变，，理由如下： 从图②可知，，， ∴， 同理可得，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图③，当点在线段的延长线上时， 同理可得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 则根据图形面积割补法可得： ， ∴， ∴和的面积分别为20和120． 23．如图，在中，，，为直线上一动点，连接．在直线的右侧作，且． 观察发现： （1）如图①，当点在线段上时，过点作的垂线，垂足为，判断线段与之间的关系，并说明理由； 探究迁移： （2）将如图①中的，连接，交直线于点，我们很容易发现．如图②，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，线段和线段之间的关系有没有变化？此时吗？说说理由． 拓展应用： （3）如图③，当点在线段的延长线上时，当，时，求和的面积． 【答案】（1）且，理由见解析；（2）线段与之间的关系不变，，理由见解析；（3）和的面积分别为24和88 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质．通过“同角的余角相等”证明两角相等和灵活运用“割补法”求三角形面积是解答本题的关键． （1）通过证明，然后根据全等三角形的性质可得，再结合两条线段的位置关系进而得出结论； （2）先证明可得线段和的关系不变，再证明，同样可得出； （3）由（2）可知，和，可得，，，易得线段和的长度，进而求出；对于的面积，根据，可由“割补法”得到，即可求出答案． 【详解】（1）结论：，，理由如下， 根据题意可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故线段与之间的关系为：且； （2）结论：线段与之间的关系不变，，理由如下： 从图②可知，，， ∴， 同理可得，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故本题结论为：与之间的关系不变，； （3）如图③，当点在线段的延长线上时， 同理可得，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 则根据图形面积割补法可得： ， ∴， ∴和的面积分别为24和88． 24．如图①，在中，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿边运动，返回到点停止．同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿边运动，回到点停止．设点的运动时间为秒． (1)当点到边的中点时，若点到边中点，则的值为______． (2)当的面积等于面积的一半时，求的值． (3)如图②，在中，．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形与全等，直接写出的值． 【答案】(1) (2)5或 (3)或或或 【分析】（1）先根据题意求得到，求出，由点运动到边中点，得到点Q运动的路程为，由此列出方程求解即可． （2）分点P在上和点P在上两种情况讨论，根据三角形面积公式即可解答； （3）取中点，过点H作交于点，连接，证明，得到，由可得以为顶点的三角形与全等时，或，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 解得：， 点运动到边中点， 点Q运动的路程为， ， ， ； （2）解：当点P在上时， ， ， ， ； 当点P在上时， 设中边上的高为h， ， ， ， ， ， ； 综上，当的面积等于面积的一半时，的值为5或； （3）解：如图，取中点，过点H作交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴以为顶点的三角形与全等时，或， 当，时， ①点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即； ②点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即； 当，时， ③点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即 ④点P在上且点Q在上， 此时， ∴， ∴，即； 综上，以为顶点的三角形与全等时，的值为或或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的面积，三角形全等的判定和性质，分类思想，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 题型七、动点全等中的最值问题 25．如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ．    【答案】3 【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角平分线全等模型，熟练掌握各性质并准确确定是解题的关键． 在上取一点，使，连接， 过点作于，易得，根据垂线段最短可知，利用三角形的面积求出，从而得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接， 过点作于，   是的平分线， ， ， ， ， ∴， ，， ， 解得， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 26．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 27．如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，找出使最小时点P的位置是解题的关键． 28．如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 题型八、全等三角形动点问题综合 29．在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． (1)如图①，点D在线段上，求证：． (2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在线段上移动时，，当点D在的延长线上时，；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，可证； （2）①当点D在线段上移动时，由（1）可知：，则，由，，可得，进而可得；②当点D在的延长线上时，同理求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点D在射线上移动时，或，理由如下： ①当点D在线段上移动时， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②当点D在的延长线上时， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 30．如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，E点旋转至点F． (1)如图1，过F点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，求证：是的2倍； (3)E是射线上一点，直线交直线于D点，若，则　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由，可得，再结合旋转的性质，通过即可证明全等； （2）过F点作交AC于H点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，设，，则，分别用含a的式子表示和，即可解题； （3）当点E在线段上时，过点F作于G点，设，，则，由（1）知，求得，，，由（2）知，求得，；当点E在线段的延长线上时，过点F作于G点，设，，则，由（1）知，，，，由（2）知，，即可． 【详解】（1）证明：证明：如图1， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ； （2）证明：过F点作交于H点，如图，    则， 由（1）知， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， 设，，则 ， ， ， 即是的2倍； （3）证明：当点E在线段上时，过点F作于G点，如图， ∵， ∴设，， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，过点F作于G点，如图4， ∵， ∴设，， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 综上，的值是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，比例线段的性质，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． 31．如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)或 【分析】（1）由得，利用即可得出结论； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质得，，则，可得为等边三角形，则，可得，得出，根据平行线的判定可得； （3）分两种情形：当时，当时，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图，当时， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当时， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，当垂直于的某边时，则或． 故答案为：或． 32．如图，为等边三角形，直线与边交于点，，为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接． (1)如图，若，与交于点，且，，求的长度； (2)如图，若与交于点，且为中点，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，连接，当最短时，在直线和线段上分别取点和点，且，连接、，直接写出（或者表示出）当取得最小值时的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)的度数为或． 【分析】（）由，则可证明，通过角所对直角边是斜边的一半得，根据旋转性质可知，，等边对等角有，则，最后再由角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）延长至，使，连接，证明，则，，设，，通过角度和差得，，从而得到，再证明，则，，再通过性质证明为等边三角形即可； （）分当点在线段上时，当点在线段延长线上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∵为等边三角形， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时， 作点关于直线对称点，当时，最短， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 绕点顺时针旋转，再截取， 在和中， ， ， ∴，， ∴当三点共线时，取得最小值， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在线段延长线上时， 作点关于直线对称点，当时，最短，绕点顺时针旋转，再截取， 在和中， ， ， ∴，，， ∵， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值， ∴， ∴， 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等边对等角，角所对直角边是斜边的一半，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$