专题03 全等三角形常见辅助线添加6大题型（专项训练）数学冀教版2024八年级上册

专题03 全等三角形常见辅助线添加6大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、必备辅助线添法一 倍长中线法 1 题型二、必备辅助线添法二 截长补短法 2 题型三、必备辅助线添法三 旋转法 3 题型四、必备辅助线添法四 作平行线法 5 题型五、必备辅助线添法五 作垂线法 6 题型六、必备辅助线添法六 见直角作延长线 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、必备辅助线添法一 倍长中线法 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 1．在中，，则的中线取值范围是 ． 2．如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 3．方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 4．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 5．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 题型二、必备辅助线添法二 截长补短法 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 6．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 7．综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 8．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 9．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 10．现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 题型三、必备辅助线添法三 旋转法 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【模型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 11．已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 12．如图，在和中，，，，．    (1)如图1，当点D在上时，，，则______； (2)如图2，当B、C、E三点共线时，D在上，连接，F是的中点，过点A作，交的延长线于点G，求证：且； (3)如图3，B、C、E三点共线，且，将线段绕点A以每秒的速度逆时针旋转，同时线段绕点E以每秒的速度顺时针旋转后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当和互相平行或者垂直时，请直接写出此时t的值． 13．如图，在等腰中，，，直线经过点C，且点A，B在直线的同侧，过点A作于D．    (1)求证：； (2)点E在的延长线上，将线段绕点C逆时旋转得到线段，连接交直线于H． ①依题意补全图形； ②由作图过程猜想线段与的数量关系（不要求证明）． 14．已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 15．在四边形中，，现将一个角的顶点落在点A处． (1)如图①，当该角的两边分别与边相交于E、F时．求证：； (2)现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段与之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索） 题型四、必备辅助线添法四 作平行线法 16．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 17．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 18．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 19．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 20． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 题型五、必备辅助线添法五 作垂线法 21．小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 22．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 23．如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 24．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 25．【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图①，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，∴．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，是的中线，点在的延长线上，，，，求的度数． 【问题解决】 （3）如图③，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，，点为中点，连接并延长交于点，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，，求服务区的面积． 题型六、必备辅助线添法六 见直角作延长线 26．如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 27．如图，中，，，是的角平分线， ，则的最大值为（    ） A．30 B．10 C．20 D．40 28．如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 ． 29．如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 30．如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． 1．如图，五边形中，，，，M为边的中点，，，则五边形的面积为（   ）． A．30 B．28 C．24 D．20 2．如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 4．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 5．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有 ．（只填写序号） 6．如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则与的比值为 ． 7．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则 度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为 ． 8．如图，在中，，，，在边上取一点，连接，且，若，，则的长为 ． 9．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    10．如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于 ．    11．（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 12．综合与实践 【问题情境】 （1）在进行课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，，，，求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点，直接写出线段与的数量关系（无需说明理由）． 13．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 14．在中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于点．求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 15．如图，在中，平分交于点，平分交于点交于点，连接． (1)求的度数； (2)判断与的大小关系，并证明； (3)若，求的值． 16．（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 17．如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 18．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 19．已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，探究与的数量关系，并说明理由； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，则的值为__________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 全等三角形常见辅助线添加6大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、必备辅助线添法一 倍长中线法 1 题型二、必备辅助线添法二 截长补短法 2 题型三、必备辅助线添法三 旋转法 3 题型四、必备辅助线添法四 作平行线法 5 题型五、必备辅助线添法五 作垂线法 6 题型六、必备辅助线添法六 见直角作延长线 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、必备辅助线添法一 倍长中线法 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【常见模型】 1．在中，，则的中线取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，证明三角形全等是解题的关键．延长到F，使，连接，则易证明，有；利用三角形三边不等关系得，由此即可求得中线取值范围． 【详解】解：如图，延长到F，使，连接， 则； ∵为的中线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边不等关系得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 2．如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及三角形的三边关系，证明是本题的关键．延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 3．方法探索 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围，请你根据嘉嘉的思路写出完整解答过程问题解决 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过E作与相交于点F，且．求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围， （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 中线的取值范围是：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即平分． 4．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 5．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是___________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点，为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴， 此时，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型二、必备辅助线添法二 截长补短法 【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）． 【模型图示】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段． 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE＋DC＝AD 方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE 6．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 7．综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 8．在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB－AC＞PB－PC 【答案】见解析 【分析】截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN，可证得△APN≌△APC，可得到PC=PN，△BPN中，利用三角形的三边关系，即可求证；补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM，证明△ABP≌△AMP，可得PB=PM，在△PCM中，利用三角形的三边关系，即可求证． 【详解】解：截长法：在AB上截取AN=AC，连结PN， 在△APN和△APC中 ∵AN=AC，∠1=∠2，AP=AP， ∴△APN≌△APC， ∴PC=PN， ∵△BPN中有PB－PN＜BN， 即PB－PC＜AB－AC； 补短法：延长AC至M，使AM=AB，连结PM， 在△ABP和△AMP中， ∵AB=AM，∠1=∠2，AP=AP， ∴△ABP≌△AMP， ∴PB=PM， 又∵在△PCM中有CM＞PM－PC， 即AB－AC＞PB－PC． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，理解截长补短法是解题的关键． 9．【阅读】在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系．截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 【应用】把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以D为顶点作，交边于M、N． (1)若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点E，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； (2)当时，三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） (3)如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在的延长线上，完成图③，其余条件不变，则之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意得AD=BD，延长到E，使，连接，利用全等三角形的判定得出，，再根据全等三角形的性质结合图形即可证明； （2）证明方法与（1）一致，证明即可；     （3）在截取，连接，利用全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质结合图形即可得出结果． 【详解】（1）证明：根据题意得：AD=BD， 延长到E，使，连接 ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． （2）由（1）中条件得∠ACD+∠MDN=90°， 证明方法同（1）类似， ∴； （3）， 证明：在截取，连接， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴ 即 ∴ 即， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，找出各角之间的关系是解题关键． 10．现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得； （2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 题型三、必备辅助线添法三 旋转法 【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等． 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用． 【模型图示】 例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN 方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN 11．已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F． （1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：． （2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明． 小明第（1）问的证明步骤是这样的： 延长到Q使，连接， 证出得到，； 再证，得到，证出，即． 请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明． 【答案】(1)见解析(2)图2成立；图3不成立，见解析 【分析】（1）延长到Q使，连接，先证明，证出得到，；再证，得到，证出，即 （2）在图2仿照（1）的解法证明即可，图3也可以仿照（1）证明，只是结论不成立． 本题考查了三角形全等的判定和性质，半角模型的应用，熟练掌握半角模型，构造半角模型是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． （2）图2成立，图3不成立． 证明：如图2，延长到K使，连接， ∵，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 如图3，如图，延长到Q使，连接， ∵，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 12．如图，在和中，，，，．    (1)如图1，当点D在上时，，，则______； (2)如图2，当B、C、E三点共线时，D在上，连接，F是的中点，过点A作，交的延长线于点G，求证：且； (3)如图3，B、C、E三点共线，且，将线段绕点A以每秒的速度逆时针旋转，同时线段绕点E以每秒的速度顺时针旋转后立即以相同速度回转，设转动时间为t秒，当回到出发时的位置时同时停止旋转，则在转动过程中．当和互相平行或者垂直时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)t的值为或或或 【分析】（1）根据，求解即可； （2）延长交于T，证明，推出，推出，证明，推出，利用平行线的性质即可得结论； （3）从开始到结束出现平行，垂直，平行，平行四种情形，分别作出图象，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，    ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：证明：如图所示，延长交于T，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵， ∴， 由（2）可得， ∴ 第一次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，    ∴， 即， 解得； 第一次垂直时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，    由图可得： ∴， 即， 解得； 第二次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，    由图可得：， 即， 解得：， 第三次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，    由图可得： ， 即， 解得：； 第四次平行时，如图所示，点E旋转到点F位置，点B旋转到点G的位置，    由图可得：，， ∴， 即 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，满足条件的t的值为或或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 13．如图，在等腰中，，，直线经过点C，且点A，B在直线的同侧，过点A作于D．    (1)求证：； (2)点E在的延长线上，将线段绕点C逆时旋转得到线段，连接交直线于H． ①依题意补全图形； ②由作图过程猜想线段与的数量关系（不要求证明）． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）求出，，根据同角的余角相等得出结论； （2）①作，且，连接交于H，即可补全图形； ②过点B作于S，在上截取，连接，先证，可得，再证，可得，，最后再证即可． 【详解】（1）证明：∵是平角，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①补全图形如图所示：    ②； 证明：过点B作于S，在上截取，连接，    ∵，， ∴， 由（1）知， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 14．已知，四边形中，，绕B点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于E，F． 当绕B点旋转到时，如图（1），易证：． 当绕B点旋转到时，在图（2）和图（3）中这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 【答案】图（2）成立，有，证明见解析；图（3）不成立，有，理由见解析 【分析】证明图（2）．延长至点K，使，连接，证明，然后证明，根据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可； 证明图（3），延长至G，使，同理可证，，，据线段之间的数量关系可得之间的关系，然后进行判断即可． 【详解】解：图（2）成立，图（3）不成立， 的关系是．证明如下： 证明图（2）．理由如下： 延长至点K，使，连接， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图（3），延长至G，使， 同理可证，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的关系是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质．正确作出辅助线，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．在四边形中，，现将一个角的顶点落在点A处． (1)如图①，当该角的两边分别与边相交于E、F时．求证：； (2)现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段与之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索） 【答案】(1)见解析 (2)不成立， 【分析】（1）延长到H点，使，连接，先证，再证即可解决问题； （2）如图②，在上截取，证得，然后证得，即可得到结论． 【详解】（1）如图①， 延长到H点，使，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 在和中， ， ∴ ∴ ∵ ∴； （2）（1）中的结论不成立， 如图②，在上截取， 在与中， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在与中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键在于正确地作出辅助线，证明相关的三角形全等． 题型四、必备辅助线添法四 作平行线法 16．已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 17．在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，    在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 18．如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 19．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 【详解】解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ∵CQ＝PA， ∴ 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20． P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 题型五、必备辅助线添法五 作垂线法 21．小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． (2)成立，证明见解析． 【分析】（1）根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，由此即可得出结论； （2）成立，过点A作，，构造全等三角形即可证明，从而得出结论成立． 【详解】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上 故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． （2）结论：平分仍然成立； 证明：如解图3，过点A作，，    ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， 又∵，， ∴平分， 故（1）结论正确． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质及判定、角平分线判定定理是解题的关键． 22．如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G． （1）求证：△EAF≌△DAF； （2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠DCF＝45°． 【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论； （2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°． 【详解】证明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC， ∴∠CAD＝∠ACB＝90°， ∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B＝45°， ∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°， ∴∠EAF＝∠DAF， 在△EAF和△DAF中， ， ∴△EAF≌△DAF（SAS）； （2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M， ∵FA⊥FM，∠FAM＝45°， ∴∠FMA＝45°＝∠FAM， ∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°， ∵EF＝FC， ∴∠FEM＝∠FCA， 在△AEF和△MCF中， ， ∴△AEF≌△MCF（AAS）， ∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF， ∵△EAF≌△DAF， ∴∠EFA＝∠DFA， ∴∠DFA＝∠MFC， ∴∠AFM＝∠DFC＝90°， ∵DF＝EF＝CF， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠DCF＝45°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23．如图，在中，，，，，延长交于.求证：. 【答案】详见解析 【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案. 【详解】如图，过点D作的延长线于点G， ， ， ， 又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD， ∴， ， 又∵BC=BE， ， 又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG， ∴， ∴EF=DF. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 24．（1）如图，在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足． 【积累经验】①如图1，当时，直接写出线段，，之间的数量关系是_______． 【类比迁移】②如图2，当时，①中的结论是否仍然成立?请说明理由． 【拓展应用】 （2）如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G，G是的中点吗?请说明理由． 【答案】（1）①；②问题①中结论仍然成立，理由见解析 （2）G是的中点，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． （1）①由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； ②由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）作于M，于N，先证，根据全等三角形的性质得到，同理，由此可得，再由此证明，由全等三角形的性质得到，于是得到点G是的中点． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：； ②问题①中结论仍然成立，理由如下： ， ， ， 又，， ， ，， ； （2）G是的中点，理由如下： 如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． 25．【问题提出】 在数学活动课上，老师给出如下问题： （1）如图①，在中，是边上的中线，，，且边的长度为奇数，求的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，∴．根据小明的方法思考，的长为 ； 【问题探究】 （2）如图②，是的中线，点在的延长线上，，，，求的度数． 【问题解决】 （3）如图③，某学校新分到一块四边形空地，需要建设新图书馆，根据规划安排，将设为藏书区，设为阅览区，且，，，点为中点，连接并延长交于点，将设为公共活动区，设为行政辅助区，设为服务区，其中放置存包柜方便读者使用．若，，求服务区的面积． 【答案】（1）3或5；（2）；（3）服务区的面积为 【分析】本题主要考查了三角形中线、三角形三边关系、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意，并结合三角形三边关系可得，即，结合边的长度为奇数，即可获得答案； （2）延长至点，使，证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，即可获得答案； （3）延长到，使得，连接，，证明，易得，，再证明，易得，，然后确定，即，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，，， ∵，， ∴， ∵，即， ∴，即， ∵边的长度为奇数， ∴的长为3或5． 故答案为：3或5； （2）如图②，延长至点，使， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，， ∵， 易知， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图③，延长到，使得，连接，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即服务区的面积为． 题型六、必备辅助线添法六 见直角作延长线 26．如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 27．如图，中，，，是的角平分线， ，则的最大值为（    ） A．30 B．10 C．20 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，中线的性质．明确面积最大时的情况是解题的关键． 如图，延长交于点，证明，则，，即为的中线，则，由，可得，当时，最大，即最大，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，    ∵是的角平分线， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴为的中线，则， ∵， ∴， ∴当时，最大，即最大， ∴， 故选：B． 28．如图，是的角平分线，，垂足为D，，，则 ． 【答案】61 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，利用三角形的外角性质计算即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：61． 29．如图，是的角平分线，，，，的面积是3，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积；延长交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，由三角形的中线得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，有关三角形中线的三角形面积的求法是解题的关键． 【详解】解：延长交于， 是的角平分线，， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 30．如图，中，的角平分线相交于点，过作交的延长线于点，交于点． (1)求度数； (2)求证：； (3)猜想线段的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理； （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌； （3）延长交于，分别证明、，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线， ， ， （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ∴； （3）解：， 证明如下：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 1．如图，五边形中，，，，M为边的中点，，，则五边形的面积为（   ）． A．30 B．28 C．24 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，全等三角形的判定和性质，添辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键．延长到F，使，连接、、，易证，，，五边形的面积转化成了三角形的面积，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长到F，使，连接、、， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴，   在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的面积 = ． 故选：A． 2．如图，在中，，点在边上，，点在边上，，过点作交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质； 设，延长到点，使，连接，延长和交于点，根据已知条件证明，即可求解． 【详解】解：延长到点，使，连接，延长和交于点，如图： 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 3．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】在上截取，连接， 先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，由此即可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵平分，平分， ，， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 （写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 5．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有 ．（只填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；延长交于，过作于，过作于，同理可得：，可得，证明，证明，可得，从而可得结论； 【详解】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作，    ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 延长交于，过作于，过作于，    ∵为中点； 同理可得：， ∴，， ∴，而， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴；故④正确． 故答案为：①②③④． 6．如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则与的比值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，分两种情况讨论，构造全等三角形解决问题． 作，交(或的延长线)于H，利用证明，得，，再证明，得，从而解决问题．注意分两种情况讨论，即点D在线段外和在线段上． 【详解】解：①当点在线段的延长线上时，作，交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∴； 当点在上时，作，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴ ∴； 故答案为：或． 7．在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在=的右侧作，使，，连接． （1）如图1，当点在线段上，如果，则 度； （2）点D在直线上移动，若，．则α，β之间的数量关系为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论． （1）先证，根据即可证明；可得，由进而可得； （2）分①点D在线段上，②点D在延长线上，③点D在的延长线上，分别加以讨论即可． 【详解】解：（1）， ， ， 在和中， ， ； ， ∵， ， （2）点D在线段上，如图： ， ， ， 在和中， ， ； ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当点D在的延长线上时，如图：   ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③当点D在的延长线上时，如图： 同理可得， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴； 综上所述α，β之间的数量关系为：或． 故答案为：（1）；（2）或． 8．如图，在中，，，，在边上取一点，连接，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于，首先证明，再，得，，再根据高相等的两个三角形面积比等于底之比解决问题． 【详解】如图，过点作交的延长线于点， . ， ， . 在和中， ， ，，. 在和中， ， ， ，. ， ， ， . ， . ， ， ， ， 故答案为. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质以及三角形面积等知识．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】延长，交点于，可证，得出，，则，当时，取最大值，即取最大值． 【详解】解：如图：延长，交点于，   平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即；   ， ， 当时，取最大值，即取最大值． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是利用三角形中线的性质得到． 10．如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于 ．    【答案】 【分析】如图，将逆时针旋转到，连接、，则，，，证明，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，将逆时针旋转到，连接、，    ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，平行线间距离相等，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于正确的添加辅助线构造全等三角形． 11．（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 【答案】（1）同角的余角相等；；（2）①见解析；②8；③8或16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，分类讨论和设参数求解是解答的关键． （1）根据等角的余角性质和“”求解即可； （2）①先根据余角性质证明，进而利用“”证明结论即可； ②证明得到，，进而求解即可； ③分当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，当点D中线段的延长线上时，三种情况，分别利用全等三角形的性质和等高的三角形面积之间的关系求解即可． 【详解】解：（1）因为 所以， 所以（同角的余角相等） 又因为 所以； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴； ②∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，， ∴； ③当点D在线段上时，如图2，连接， ∵，的面积为4， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴不满足，故不符合题意，舍去； 当点D中线段的延长线上时，如图4，连接， 同理可证， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴， 综上，的面积为8或16． 12．综合与实践 【问题情境】 （1）在进行课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______． 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，，，，求线段的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点，直接写出线段与的数量关系（无需说明理由）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）延长至点E，使，连接．证明，得，在中利用三角形三边关系即可求解； （2）延长交的延长线于点N，证明，得；再由可得，从而求得，即求得的长； （3）延长到N，使，则可证明，有，，从而易得，再证明，则，从而得，此即线段与的数量关系． 【详解】解：（1）如图，延长至点E，使，连接． ∵边上的中线为， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：延长交的延长线于点N，如图； ∵M为边的中点， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系为：； 如图，延长到N，使， ∵F为的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 即； ∵， ∴， ∴， ∴，此即线段与的数量关系． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质与判定，三角形三边不等关系，三角形中线的含义等知识，由中点构造全等三角形是解题的关键． 13．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题： ①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；（3）或或 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等角的余角相等，内角和定理等． （1）利用平角得定义即可求解； （2）①先证明出，得出即可得出结果；②证明出，得出即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，可知，而的表示由的位置决定，所以需要对的位置分别讨论继而得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 由题意得，根据点所在的位置分情况讨论： 当点E在上时，点D在上时，即， ∵点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，，，设运动时间为， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； 当点E在上时，点D在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：； 当到达时，在上时，即， ∴，， ∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等， ∴， ∴，解得：， 综上所述：当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 14．在中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于点．求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）当点在延长线上时，如图，交的延长线于，由，设则，分别，利用全等的性质求出，，，最后利用三角形面积公式计算即可． （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，则，，，可求得；二是点在线段上，设，则，则，，，于是得，，所以． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图，当点在延长线上时，连接交直线于，交的延长线于， ， ， 设，则， ， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，设，则， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 15．如图，在中，平分交于点，平分交于点交于点，连接． (1)求的度数； (2)判断与的大小关系，并证明； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）求解，结合角平分线的定义可得，进一步可得答案； （2）如图，作，连接，，证明，，可得，可得，从而可得答案； （3）如图，过作于，过作于，证明，，，可得，，结合，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，理由见解析： 如图，作，连接，， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过作于，过作于， ∴， 由（1）得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 16．（1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，且有于点于点，猜想与之间满足的数量关系，并说明理由． （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，，则的长为___________． （3）如图3，，，，连接，，且于点与直线交于点．若，求的面积． 【答案】（1），理由见解析；（2）6；（3）133 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，即可得解； （2）证明，得出，，即可得解； （3）过点作于，过点作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，，，证明，得到，进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴；    （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；    ∵，， ∴． 故答案为：6； （3）解：如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（2）思路可证，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 17．如图，在中，已知，平分，， (1)若的面积是，求的面积； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）延长交于点，可证，可得，进而由中线性质可得，，即得，即可求解； （）过点作于，过点作的延长线于，可证，可得，又由（）得，即可得，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：过点作于，过点作的延长线于，则， ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 18．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 19．已知：中，，，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，连接，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，探究与的数量关系，并说明理由； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，则的值为__________． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或1 【分析】(1)由可证得,于是可得； (2)过点作,交的延长线于点,由可证得,于是可得,然后利用三角形的面积公式即可得出结论； (3)设,则,分三种情况：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时；当点在的延长线上时，过点作,交的延长线于点，由全等三角形的判定与性质可求得相应线段的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）证明：在中，,当点在线段上时，, , , , 在和中, , , ； （2）解：，理由如下， 当点在线段的延长线上时,，如图2，过点作,交的延长线于点, , , ,, , , 在和中, , , , , , ,, ； （3）解：当点在直线上时，交直线于,分三种情况讨论， 当点在线段上时，如图3： , 设,则， 由（1）得：, ,， ， , , ， ， , 在和中 , ， , ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图4， 由图可得:,不可能， 此种情况不存在； 当点在的延长线上时， 如图5，过点作,交的延长线于点， , 设,则, , , , ， , , 在和中， ， ， ，， , , , ， ， ， 在和中， , , ， ， , ， ， ， 综上所述，或, 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，利用邻补角互补求角度，三角形的面积公式，线段的和与差等知识点，熟练掌握其性质并能灵活添加恰当的辅助线构造全等三角形是解决此题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$