3.1 列代数式表示数量关系（讲义）2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025-2026学年数学七年级上册人教版 第三章 代数式 3.1 列代数式表示数量关系（讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解代数式的意义，知道什么是代数式。 2. 能够根据简单的数量关系，正确地列出代数式。 3. 初步体会用字母表示数的优越性，以及代数式表示数量关系的简洁性和一般性。 4. 注意书写代数式的规范性。 知识点梳理 1. 用字母表示数 · 意义：用字母可以表示我们已经学过的任何数，也可以表示未知的数，还可以表示具有某种规律的数。例如：小明的年龄可以用字母 a 表示；长方形的长用 a 表示，宽用 b 表示。 · 优越性：用字母表示数，能把数量和数量关系一般化地、简明地表示出来。 2. 代数式的概念 · 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方，以及以后要学的开方）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 · 特别说明：单独的一个数或者一个字母也是代数式。例如：5，a，m 等都是代数式。 · 注意：代数式中不含有等号或不等号（如“等于”、“不等于”、“大于”、“小于”等）。 3. 列代数式表示数量关系 · 核心：把文字语言描述的数量关系转化为用数学符号表示的式子（代数式）。 · 步骤与方法： 1. 认真审题：理解题意，找出题目中的数量关系和运算关系。 2. 找出关键词：明确各数量之间的运算关系，如“和”、“差”、“积”、“商”、“倍”、“分”、“大”、“小”、“多”、“少”、“增加”、“减少”等。 · 常见的数量关系词语及对应的运算： · “和”、“加上”、“增加”、“比……多”：用加法，如“a与b的和”表示为 “a加b”。 · “差”、“减去”、“减少”、“比……少”：用减法，如“a与b的差”表示为 “a减b”（注意谁减谁）。 · “积”、“乘以”、“的几倍”：用乘法，如“a与b的积”表示为 “a乘b”；“x的3倍”表示为 “3乘x”。 · “商”、“除以”、“的几分之一”：用除法，如“a除以b的商”表示为 “a除以b”（注意谁除以谁）；“x的三分之一”表示为 “x乘三分之一”或“x除以3的商”。 · “平方”、“立方”：用乘方，如“a的平方”表示为 “a的二次方”；“b的立方”表示为 “b的三次方”。 3. 确定字母：选择适当的字母表示题目中的未知数或已知的数量（如果题目中已指定字母，则按题目要求）。 4. 列出式子：根据数量关系和运算顺序，把数和字母用运算符号连接起来，列出代数式。 · 举例： · “x的2倍与3的和” 表示为 “2乘x加3”。 · “a的平方减去b的差” 表示为 “a的二次方减b”。 · “比m的倒数大5的数” 表示为 “1除以m的商加5”（假设m不为0）。 · “汽车每小时行驶60千米，行驶t小时的路程” 表示为 “60乘t” 千米。 4. 代数式的书写规范 · 数与字母相乘： · 数字要写在字母的前面。例如：“a乘以3” 应写成 “3乘a” 或简写成 “3a”。 · 带分数与字母相乘时，要把带分数化成假分数。例如：“二又三分之一乘以x” 应写成 “三分之七乘x” 或 “三分之七x”。 · 字母与字母相乘： · 乘号可以省略不写，或用“·”（点）表示，但“·”不要与小数点混淆。例如：“a乘以b” 可以写成 “ab” 或 “a·b”。 · 通常按字母顺序书写。例如：“m乘n” 写成 “mn” 而不是 “nm”（虽然它们意义相同，但习惯上按字母表顺序）。 · 数与数相乘： · 乘号不能省略，也不能用“·”代替，要写成“乘”字或使用“×”符号。例如：“3乘以4” 应写成 “3乘4” 或 “3×4”，不能写成“34”或“3·4”。 · 含有除法运算的代数式： · 一般不用“÷”号，而是写成分数形式。例如：“a除以b” 应写成 “b分之a” 而不是 “a÷b”。 · “x与2的商” 表示为 “2分之x”。 · 带单位时： · 如果代数式是和或差的形式，后面有单位，那么整个代数式要加括号。例如：“（a加2）厘米”，“（5减x）千克”。 易错点提醒 1. 混淆运算顺序：例如，“a减去b的差的3倍” 应理解为 “（a减b）的3倍”，表示为 “3乘（a减b）”；而不是“a减（b的3倍）”。审题时要注意关键词和语序。 2. 代数式中出现单位时的书写错误：和或差形式的代数式带单位，忘记加括号。例如，“x米加y米” 应写成 “（x加y）米”，而不是 “x加y米”。 3. 字母与数相乘，数字书写位置错误或者漏写乘号：例如，把“3乘以a” 写成 “a3” 或 “3·a”（虽然“3·a”在某些情况下允许，但初学阶段建议省略乘号写成“3a”更规范）。 4. 对“除”和“除以”的理解错误：“a除b” 表示 “b除以a”，应写成 “a分之b”；而“a除以b” 才是 “b分之a”。 5. 带分数与字母相乘时，未将带分数化为假分数：例如，“二又三分之一x” 是错误的，应写成 “三分之七x”。 知识点总结 · 代数式：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式。 · 列代数式：关键在于准确理解题意，抓住表示运算关系的关键词，明确运算顺序，并用规范的符号和字母表示出来。 · 书写规范：数在前字母在后，乘号可省略（数与数相乘除外），除号用分数表示，带分数要化假分数，和差形式带单位要加括号。 · 用字母表示数：是代数的基本思想，它可以简明地表达数量关系和运算规律。 预习建议 1. 通读教材：仔细阅读教材中3.1小节的全部内容，初步理解什么是代数式，以及如何列代数式。 2. 动手实践：对于教材中的例题，先尝试自己独立思考，然后对照例题的解答，看看自己的思路是否正确，代数式的书写是否规范。 3. 完成课后练习：选择教材中少量基础的练习题进行尝试，检验自己的预习效果，找出不理解的地方。 4. 记录疑问：在预习过程中，遇到不明白的概念、关键词或例题，及时记录下来，带着问题听课，效率会更高。 5. 联系生活：思考一下生活中哪些数量关系可以用字母来表示，体会用字母表示数的好处。 巩固练习 一、选择题 1．代数式的正确含义是（　　） A．乘减 B．的倍减去 C．与的差的倍 D．与的积减去 2．用式子表示“比a的2倍大1的数”是（　　）． A． B． C． D． 3．下列代数式书写规范的是（　　） A．8x2y B．1b C．ax3 D．2m÷n 4．一个三位数，百位上的数字为x，十位上的数字比百位上的数字少3，个位上的数字是百位上的数字的2倍，这个三位数用含有x的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 5．对下列代数式作出解释，其中不正确的是（　　） A．a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，小明比他爸爸小（a﹣b）岁 B．a﹣b：今年小明b岁，小明的爸爸a岁，则小明出生时，他爸爸为（a﹣b）岁 C．ab：长方形的长为acm，宽为bcm，长方形的面积为abcm2 D．ab：三角形的一边长为acm，这边上的高为bcm，此三角形的面积为abcm2 6．下列式子中，符号代数式书写规范的是（　　） A．a•3 B．2ab2c C． D．a×b÷c 7．下列代数式书写规范的是 （　　） A．2a2 B．x+y厘米 C．1a D．（5÷3）a 8．下面判断语句中正确的是（　　） A．2+5不是代数式 B．（a+b）2的意义是a的平方与b的平方的和 C．a与b的平方差是（a﹣b）2 D．a，b两数的倒数和为 9．代数式的意义是（　　） A．x与y的一半的差 B．x减去y除以2的差 C．x与y的差的一半 D．x与y的的差 10．下面的说法正确的是（　　） A．﹣2不是代数式 B．﹣a表示负数 C．的系数是3 D．x+1是代数式 二、填空题 11．n的平方用代数式表示为　 　． 12．三个连续的奇数，如果中间的数用a表示，那么另外两个分别是　 　、　 　． 13．某商店经销一种“84消毒液”，每箱进价为元，该商店将进价提高后作为零售价销售，那么销售这种“84消毒液”10箱，可获得的利润是　 　元.（用含a的式子表示） 14．由2x﹣3y﹣4=0，可以得到用x表示y的式子y=　 　 15．一位同学在学会用字母表示数后，借助符号正确的描述了有理数的除法法则：a÷b=a×（b≠0），请你用文字描述该法则　 　 16．请你写出一个同时符合下列条件的代数式，（1）同时含有字母a，b；（2）是一个4次单项式；（3）它的系数是一个负无理数，你写出的一个代数式是　 　 ． 三、解答题 17．说出下列代数式的意义（1）2a+3；（2）（a+3）x；（3）；（4）． 18．小兴与小明相约阅读同一本爱国书籍，小兴每天读56页，读完这本书用了5天． （1）若小明每天读y页，x天刚好读完这本书．请问小明每天的阅读量与阅读的天数成什么关系？理由是什么？ （2）小明按照小兴的阅读速度阅读t天，他读了多少页？还剩多少页？已阅读量与剩下的阅读量成反比例关系吗？为什么？ 19．请你做评委：在一堂数学活动课上，同在一合作学习小组的小明、小亮、小丁、小彭对刚学过的知识发表了自己的一些感受： 小明说：“绝对值不大于4的整数有7个．” 小丁说：“若|a|=3，|b|=2，则a+b的值为5或1．” 小亮说：“﹣＜﹣，因为两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．” 小彭说：“代数式a2+b2表示的意义是a与b的和的平方” 依次判断四位同学的说法是否正确，如不正确，请帮他们修正，写出正确的说法． 20．为了丰富校园体育生活，某学校准备举行运动会，学校需要采购秩序册x份，有两个印刷厂前来联系业务，他们的报价相同． 甲厂的优惠条件是：按每份定价6元的八折收费，另收500元制版费； 乙厂的优惠条件是：每份定价6元的价格不变，而500元的制版费四折优惠． 问： （1）请用含x的式子表示，到甲厂采购需要支付　 　元，到乙厂采购需要支付　 　元； （2）当印制200份秩序册时，选哪个印刷厂所付费用较少，为什么？ 参考答案 1．C 2．C 3．A 4．A 5．D 6．C 7．A 8．D 9．C 10．D 11． 12．； 13． 14．y=x﹣ 15．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数． 16．﹣ab3 17．解：（1）a的2倍与3的和； （2）a+3与x的积或a与3的和的x倍； （3）的意义是c 除以ab的商； （4）x与（x﹣y）的商． 18．（1）解：小明每天的阅读量与阅读的天数成反比例关系，理由如下： 由题意可知，这本书籍的页数为页， 若小明每天读y页，x天刚好读完这本书，则， 的乘积是定值， 小明每天的阅读量与阅读的天数成反比例关系. （2）解：由题意可知，小兴的阅读速度为每天读56页， 则小明按照小兴的阅读速度阅读t天，他读了页，还剩页， 已阅读量与剩下的阅读量不成反比例关系，因为反比例关系是两种相关联的量乘积为定值，而已阅读量与剩下的阅读量的和为定值，乘积不是定值，所以不成反比例关系． 19．解：四个人说的只有小亮说法是正确的；小明的改为“绝对值不大于4的整数有9个．” 小丁的改为说：“若|a|=3，|b|=2，则a+b的值为±5或±1．” 小彭的改为说：“代数式a2+b2表示的意义是a的平方与b的平方的和”或“代数式a2+b2表示的意义是a、b的平方和”． 20．（1）； （2）解：当印制200份秩序册时， 甲厂的总费用：（元）． 乙厂的总费用：（元）． ， 答：选乙厂的付费较少． 学科网（北京）股份有限公司 $$